24 de gener de 2015

Pràctica productiva: sistema d'equacions

Al post Pràctica productiva i equacions de segon grau ja vam comentar que al segon cicle de l'ESO també podem practicar destresses algebraiques bàsiques en un ambient de resolució de problemes. Avui ho exemplificarem en el cas de la resolució de sistemes d'equacions de primer grau amb dues incògnites (un tema del que també vam parlar a ).

Al post "Que parlin ells" també a l'ESO ja vam parlar sobre els sistemes d'equacions i com podem treballar amb els alumnes el descobriment d'estratègies per a resoldre'ls. Després d'aquests descobriments cal que practiquin aquesta destressa. Però, per què no substituir la proposta de llargues llistes de sistemes d'equacions per preguntes en que la cerca de patrons i regularitats i l'establiment de conjectures juguen un paper fonamental?

Un exemple de fitxa de treball 


1. Tria tres nombres parells consecutius i utilitza’ls com a coeficients de la primera equació (respectant l’ordre). Per als coeficients de la segona equació, tria tres nombres senars consecutius.   Resol el sistema resultant. 

Fes-ho de nou canviant la tria de nombres per als coeficients. Què hi observes?

2. Tria tres potències de base 2 i exponents consecutius i utilitza’ls com a coeficients de la primera equació (respectant l’ordre). Per als coeficients de la segona equació, tria tres potències de base 3 i exponents consecutius.  Resol el sistema resultant. 

Fes-ho de nou canviant la tria de nombres per als coeficients. Què hi observes?
3. Tria diferents nombres enters per completar les equacions i resol el sistema resultant. 
Si és possible, troba un cas en el que la solució 
  • doni valors enters per a x i y  
    • i que tots dos siguin parells 
    • i que tots dos siguin senars 
    • i que siguin un parell i  un senar  
  • no doni valors enters per a x o y 
  • no doni valors enters ni per a x ni per a y
Alguns comentaris
A l'activitat 1 es pot canviar la proposta demanat que triïn com a coeficients qualsevol terna de nombres en progressió aritmètica i la solució del sistema sempre serà x=-1, y=2 ja que qualsevol terna de nombres en progressió aritmètica el doble del central és igual a la suma dels dos de les puntes o el que és el mateix l'oposat del primer més el doble del segon sempre dóna el tercer.

A l'activitat 2 la solució del sistema sempre serà x=-6, y=5. Es pot canviar la proposta demanat que triïn com a coeficients qualsevol terna de nombres en progressió geomètrica però la solució depèn de la raó d'aquestes progressions, en el cas en que les raons siguin r i r+1 les solucions seran enteres.

A l'activitat 3 els alumnes poden trobar patrons com els següents (anomenem p i q els nombres triats per completar les equacions):
  • el valor de y sempre serà enter i tendrà la mateixa paritat que p
  • el valor de x serà enter quan p+q sigui parell i aquest valor enter de x serà parell quan, a més, p+q sigui múltiple de 4.
Es pot canviar la proposta per qualsevol sistema en que ad-bc sigui 2, sent a el coeficient de x i b el coeficient de y en la primera equació, c el coeficient de x i d el coeficient de y en la segona equació. 

Cap comentari:

Publica un comentari