El residu si importa (2na part)

Ja en dos posts haviem parlat de la importància que té per a nosaltres que els alumnes mirin i analitzin el residu de les divisions: Jocs i pràctica de càlcul i El residu si importa (1a part). En la mateixa línia podem proposar algunes minilliçons en que a partir del resultat d'una divisió els alumnes han de trobar el resultat d'una altra:

El proper exemple apareix en el quadern 12 de Barba i Calvo (2005) 3x6.mat Ed. Barcanova 

I aquest en el quadern 15:

A més d'aquestes minilliçons, en aquest post, pretenem complementar la idea bàsica de donar importància als residus proposant una sèrie d'activitats en que mentre els alumnes practiquen divisions, els convidem a posar la seva atenció al residu de les divisions fetes

Divisions entre 9

• Amb tots els nombres del 1 al 9 i fent servir un cop cada dígit forma tres nombres, suma'ls i divideix el resultat entre 9. Torna a fer-ho amb altres nombres. Què tenen totes aquestes divisions en comú? 

Exemple: 45+612+9378=10035; 10035:9=1115r0
Resposta: Totes les divisions tenen en comú el residu que sempre dóna 0
Comentaris: es pot demanar als alumnes que trobin el menor i el major quocient possible (147+258+369):9=86 i (9876543+2+1):9=1097394
Font: http://nrich.maths.org/92

Divisions entre 4

• Tria diferents nombres acabats en 73 divideix-los entre 4, què tenen totes aquestes divisions en comú? Es manté la conclusió si tries diferents nombres acabats en 82? 

Exemple:

Resposta: tots els nombres acabats en les mateixes dues xifres en dividir-los entre 4 donen el mateix residu.
Comentaris: es pot demanar als alumnes que canviïn el divisor 4 per 3 o 5 i observin que el fet de ser divisions entre 4 i no entre un nombre qualsevol és bàsic.

Divisions entre 3

• Escriu tots els nombres de tres xifres possibles amb els dígits 2, 3 i 5. Divideix-los entre 3, què tenen en comú les sis divisions? Es manté la conclusió si tries altres 3 dígits? 

Exemple:

En aquesta conclusió s'aprecia la importància de que ho facin amb altres ternes de nombres abans
d'escriure la conclsuió final que passarà a ser "Tenen en comú que el residu a totes és el mateix"

Resposta: canviar l'ordre de les xifres del dividend no afecta el residu quan la divisió es fa entre 3
Comentaris: es pot preguntar als alumnes si es manté la conclusió si les divisions són entre 4 o ente 5.

• Tria un nombre i posa’l a la cel·la blava, multiplica’l per 4 i posa’l a la cel·la vermella. Fes les dues divisions Repeteix el procediment començant per altres nombres. Què hi observes? 

Exemple: triant 356, 356:3=118r2 i 1424:3=474r2
Resposta: el residu de les dues divisions sempre és el mateix
Justificació: la diferència entre els valors de les dues sèries és un múltiple de 3 i per tant, la distància dels dos nombres col·locats a les cel·les vermella i blava al múltiple de 3 més proper és la mateixa.
Comentaris: es pot demanar que a la cel·la vermella es col·loqui el valor de la cel·la blava per 7, 10, 13... i els residus sempre seran els mateixos

Divisions entre 7

• Tria un nombre de tres xifres. Escriu un nombre de sis xifres repetint dues vegades l’anterior. Divideix el nombre resultant entre 7. Repeteix els passos anteriors per altres nombres diferents. Què observes? 

Exemple: triant 356, 356356:7=50908
Resposta: totes les divisions tenen residu 0
Justificació: el nombre de sis xifres coincideix amb el nombre triat de tres xifres multiplicat per 1001 i per tant és divisible entre 7
Comentaris: es pot fer la mateixa tasca canviant el 7 per 13 si el que es vol és practicar divisions entre nombres de dues xifres.

Divisions entre 11

• Tria tres nombres capicues de 4 xifres i divideix-los entre 11. Tria tres nombres capicues de 3 xifres i divideix-los entre 11. Què hi observes? 

Exemple:

Resposta: Els nombres de 4 xifres capicues sempre tenen residu 0 quan es divideixen  entre 11 però els nombres capicues de 3 xifres poden tener qualsevol residu entre 0 i 10.

Divisions entre nombres de dues xifres

• Tria un nombre de tres xifres, divideix-lo entre 3 i el resultat divideix-lo entre 4. Divideix el nombre inicial entre 12 Torna a fer els dos passos anteriors partint d’altres nombres de tres xifres Què hi observes?

Exemples: trant 110, 110:3=36r2, 36:4=9 i 110:12=9r2, triant 140, 140:3=46r2, 46:4=11r2 i 140:12=11r8
Resposta: el quocient de la divisió entre 4 i entre 12 és el mateix però el residu no necessàriament.
Comentaris: les divisions entre 3 i entre 4 es poden intercanviar d'ordre que el quocient final no variarà, encara que si pot variar el residu. El quocient de dividir entre 15 coincideix amb el de dividir primer entre 5 i després entre 3, el quocient de dividir entre 16 coincideix amb el de dividir dos cops entre 4, etc.

Divisions decimals

• Omple la taula i fes una conjectura sobre la relació entre les dos últimes columnes

Resposta: Quan el residu és r la part decimal del quocient és .rrrrrrrr...
Comentaris: es pot canviar el divisor de 9 a 3 quan (la resposta passa a ser que quan el residu és 1 la part decimal del quocient és .333333... i quan el residu és 2 la part decimal del quocient és .66666...) o a 4 (la resposata passa a serque quan el residu és 1 la part decimal del quocient és .25, quan el residu és 2 la part decimal del quocient és .5 i quan el residu és 3 la part decimal del quocient és .75).