Per què ens agrada el Median?

Aquells de vosaltres que seguiu l'espai que té el PuntMat al Scoop.it sabeu que allí anem recollint els blocs que seguim, les revistes que llegim, els vídeos que ens agraden, els applets que fem servir. A l'apartat: www.scoop.it/t/blocs-que-interessen-al-puntmat trobareu una referència al bloc "Median" del Don Steward i aquí il·lustrarem amb un exemple com creiem que es poden fer servir a classe les seves propostes, resumides en imatges.

En l'entrada de l'11 de febrer de 2012 apareix aquesta imatge

A segon d'ESO fa uns dies estàvem treballant amb operacions combinades i potències i vam pensar que podíem proposar als nostres alumnes (que no tenen idea encara que és això del quadrat d'un binomi) la cerca d'un patró que s'amaga darrera de la pregunta: què canvia entre els següents dos procediments?

• agafo dos nombres primer els elevo al quadrat i després sumo els resultats 
• agafo els mateixos dos nombres primer els sumo i després elevo al quadrat el resultat

Primer vam proposar uns quants casos particulars (amb a i b nombres naturals)

Després van anar arribant les conclusions

Aquí vam haver de detenir-nos a parlar de què passaria si ampliàvem el nostre conjunt de casos particulars

vam arribar a la conclusió de que la desigualtat era certa només si a i b eren totos dos positius o tots dos negatius i vam decidir continuar la cerca de conclusions fins que vam arribar a que:

Creiem que hagués estat una bona idea donar una mica de llum al per què d'aquest patró i no hagués estat difícil fer-ho amb algunes imatges:

A l'entrada del Median del 27 de novembre de 2011 havia una altra proposta que ens va agradar per portar a aquella mateixa classe

Quan la vam proposar als alumnes van començar a treballar amb les seves calculadores però sense un procediment concret per cercar les seves respostes i ens vam trobar que després d'una estona en les seves llibretes apareixien coses així:

Era moment de posar en comú estratègies i discutir sobre maneres d'atacar el problema. Una primera estratègia que va sortir era la de fer la descomposició factorial d'aquests nombres. Per exemple: per al 2401 l'alumna, el treball de la qual es veu a la imatge, no havia trobat cap resposta i per tant vam fer la seva descomposició:

La imatge és una captura de l'applet Árbol de Factores que tal com vam explicar al post Més sobre l'arbre de factors és el que utilitzem habitualment a classe.

Allí els alumnes van veure que 2401 es podia escriure com a 7 elevat a la 4 o, fent parelles amb dos 7, com a 49 elevat al quadrat. Això de fer grupets ens va donar noves idees.


Aquesta alumna havia vist que 59049 es podia escriure com 3 elevat a la 10 però no havia estat capaç de trobar altres respostes tal com li demanava l'exercici. Però si 59049=3x3x3x3x3x3x3x3x3x3, els deu 3 es podien agrupar de diferents maneres: de 2 en 2, de 5 en 5... i això ens va recordar als divisors del 10, que són quatre: 

• el 10 és un divisor i l'exponent d'una de les respostes 59049=3¹⁰ 
• el 5 és un divisor i l'exponent d'una de les respostes 59049=9⁵
• el 2 és un divisor i l'exponent d'una de les respostes 59049=243²  
• fins i tot, l'1 és un divisor que permet trobar una altra resposta 59049=59049¹ 

El que no van tenir temps de discutir és com la descomposició factorial d'un nombre pot ajudar-nos a resoldre el problema de la cerca de potències de diferent base quan el nombre té més d'un divisor primer.