Els costa molt fer 3+?= 10

Una dificultat "històrica"

El primer problema el tenim en la dificultat que representa pels alumnes de primer o segon de Primària identificar situacions del tipus

acompanyada de la pregunta: quin és el nombre que sumat a 6 dóna 10?
Podem observar, per començar, que en la traducció de la situació a una pregunta comencem pel mig enlloc de per l'esquerra. Però més enllà d'aquesta qüestió de l'ordre, ens hem de plantejar la fórmula de sempre: no hem de començar la casa pel terrat. O sigui, no hem de començar l'activitat per l'expressió simbòlica sinó pel context. 

Què és el que l'alumne no sap resoldre?

Si nosaltres plantegem als alumnes l'exercici de dir quants dits estan amagats utilitzant les dues mans tal i com indica la figura i els alumnes ens contesten contesten "quatre" vol dir que saben resoldre "el problema". 

Imatge treta d'un applet de l'Institut Freudenthal que treballa sumes fins a 20 utilitzant les mans. Enllaç

Una altra cosa és que vulguem que associïn aquesta situació a una expressió simbòlica tipus a + ? = c. Per aconseguir-ho hem de ser curosos en el context amb el que presentem la situació inicial.

Situacions inicials de suma: problemes de transformació

Els problemes additius més accessibles pels alumnes són els anomenats "de transformació", és a dir, aquells en que se surt d'una situació inicial que és canviada per alguna acció per arribar a un resultat final.

 

Un context molt adequat per a treballar-los són els autobusos. El primers exemples els podem presentar col·lectivament. Un autobús retallat sobre una cartolina de mida DIN A5 amb una capsa enganxada al darrera per poder acomodar els passatgers ens permetrà simular viatges en els que, de moment, solament hi ha l'estació de sortida, una parada i l'estació d'arribada

© figuretes Playmobil

Amb aquest material podem plantejar problemes com per exemple: a l'autobús hi ha 5 viatgers, a la parada en pugen 3, quants arriben al final? Es discuteix la resposta. Al final s'ensenya el contingut de la capsa i es compten els clicks per comprovar si la resposta és correcta.

Treball en paper o en pissarra: representació en vinyetes
Un cop viscuda la situació, una seqüència de vinyetes pot ser un excel·lent enunciat d'un problema. En la figura inferior, els alumnes han d'interpretar que l'autobús porta 6 viatgers. A la parada n'hi pugen tres i cal saber quants n'hi ha en total a l'arribar al final.

Aquest procés pot portar associat un altre aspecte molt important: la transcripció simbòlica de l'acció portada a terme. És a dir com s'escriu en el "món de les Matemàtiques" el que acabem de fer. Confondre aquesta "traducció" de les vinyetes als símbols amb la idea d'operació associada ens pot portar problemes. En parlem més endavant.

El lloc de la incògnita: ampliar el camp del problemes
L'exemple tractat dóna com a dades els passatgers de la sortida i els que hi pugen (la transformació) deixant que la incògnita sigui l'arribada.


Canviar el lloc de la incògnita (la part ombrejada a les imatges inferiors) genera dos tipus nous de problemes completament diferents al primer i que també cal treballar-los,  per així "tancar" la comprensió d'aquest tipus de problemes

• Quan la incògnita està a la transformació

• Quan la incògnita està a l'estadi inicial.

Si els alumnes treballen en aquest contextos, associaran expressions del tipus (a + ? = c) i (? + b = c) al model dels autobusos corresponent. Cosa que donarà sentit a les expressions simbòliques fins ara tant llunyanes. És important destacar que els tres són problemes que els alumnes associen a una suma, tant en el moment descriure-ho simbòlicament con en el moment de calcular. Tot i que en el moment de resoldre´ls utilitzin estratègies que impliquin sumar o restar

L'expressió simbòlica i "operació"
El segon problema el tenim quan pretenem que els alumnes, un cop resolt el problema "de cap", ens posin per escrit el que anomenem "l'operació" i tenim com a objectiu que ens han de posar una resta.
Per exemple: davant d'un problema associat, a l'expressió:

7 + ? = 10

el problema el tindrem nosaltres si el que esperem o volem és que posi la resta

10 - 7 = 3

ja que no es correspon  amb l'acció viscuda.

No tots els nens i nenes, ataquen aquest tipus de situacions com una situació "de resta", fins i tot diríem que no ho fan majoritàriament Si els preguntes com ho han comptat forces alumnes et diran "he comptat 8, 9 i 10: n'han pujat 3" .
Podríem dir que en últim terme el que fa que un problema sigui de sumar o de restar (tot i  que depèn molt del context) no és el problema sinó l'estratègia del resolutor.
Això ens porta a que si un grapat d'alumnes ha solucionat el problema sumant i la seva operació no és una resta, es desconcertaran. Potser som nosaltres els equivocats a l'intentar diferenciar externament situacions de suma i de resta en lloc de identificar-les totes elles com a situacions additives, enlloc d'associar-les a les estratègies de resolució.

En aquest context 7 + ? = 10, és una manera d'expressar en llenguatge matemàtic una acció determinada i que l'alumne sigui capaç de fer aquesta traducció és un objectiu important. De fet, és el mateix que quan a 2n d'ESO proposem un problema "amb enunciat" i demanem els alumnes que "el plantegin", per exemple així: 3/4x + 23= 78. Dels nostres alumnes de Cicle Inicial, demanem el mateix: saber traduir una situació com la dels autobusos en llenguatge matemàtic posant 7+ ? = 10.

Però intentar incidir en el procés de resolució demanant-los que vegin que 7+ ? = 10 és el mateix que 10 - 7 = ? no es bo per a la salut, ni dels nens ni de la mestra (al igual que no és bo, tal com vam comentar en els posts dedicats a equacions, que el professor de 2n d'ESO digui als seus alumnes que per resoldre l'equació x+ 15 = 27 "es passa" el 15 restant).

Per acabar
Diríem que no és que les tasques del tipus 6 + ? =10 els costin molt, sinó que no li veuen el sentit, al que els demanem de manera descontextualitzada.I si a més pretenem que ho associïn a una operació que no és la que utilitzen per resoldre el problema, potser la millor solució serà centrar l'objectiu en que sàpiguen transcriure el llenguatge matemàtic a l'acció portada a terme i que resolguin el problema amb les seves estratègies de càlcul.

Hem deixat de banda els tipus de problemes que contextualitzen situacions de resta: els que els viatgers baixen enlloc de pujar. És interessant tenir present aquests sis tipus, els tres que hem vist de canvi creixent i els tres associats a la resta de canvi decreixent, per tenir una llista rica de models de problemes.

Altres contextos de problemes de suma: combinació i comparació

Carpenter

A més dels problemes de transformació o canvi, hi ha dos tipus més de problemes additius segons Carpenter, Fennema i altres en el seu llibre "las Matemáticas que hacen los niños" els de combinació i els de comparació. En el capítol 2 trobareu la part dedicada a la classificació de problemes additius.