11 de novembre de 2012

Nombres amb forma (IV)

Ja fa uns quants posts que estem analitzant nombres amb forma i avui toquen els trapezoidals. Aquests nombres són la suma de 2 o més nombres consecutius.
Val a comentar que definits d'aquesta manera, els nombres triangulars són un cas particular dels trapezoidals (ja que aquí també es sumen nombres consecutius amb l'única restricció de que les sumes comencen des de l'1). Això pot ser una mica contraproduent des del punt de vista de la forma, però fer aquesta definicó tan ample té interés justificat en els resultats als que podem arribar. 



Després d'aquesta petita presentació proposem als nostres alumnes que omplin una taula escrivint cada nombre com a suma de nombres consecutius quan això sigui possible












Els alumnes no triguen en adonar-se que:
  • hi ha nombres que poden ser representats com a suma de nombres consecutius de diferents maneres (ex: 15=8+7, 15=6+5+4 o 15=5+4+3+2+1) 
  • tots els nombres senars són nombres trapezoidals perquè es poden escriure com a suma de dos nombres consecutius (ex: 7429 = 3714 + 3715 i en general: 2n+1= n+n+1) 
  • tots els múltiples de 3 són nombres trapezoidals perquè es poden escriure com a suma de tres nombres consecutius (ex: 2745 = 914 + 915 + 916  i en general: 3n= n-1 + n + n+1)
  • tots els múltiples de 5 són nombres trapezoidals perquè es poden escriure com a suma de cinc nombres consecutius (ex: 1365 = 271 + 272 + 273 + 274 + 275 i en general: 5n= n-2 + n-1 + n + n+1 + n+2)
I així successivament fins a poder justificar que els únics nombres que no són trapezoidals són les potències de 2.

Els trapezoidals no són els únicis resultats de sumes que tenen nom. Ja hem analitzat altres resultats que ens porten a les següents conclusions
I per afegir més nombres resultants de sumes que no havíem analitzant fins ara podem enunciar dues propietats:
  • la primera, molt coneguda: la suma dels primers nombres senars sabem que són quadrats
1+3+5+7+9+11+13=49
www.woollythoughts.com/afghans/rainbow.html 
  • i una segona: algunes sumes de nombres senars consecutius són nombres cúbics

I aquí afegim una idea visual que pot justificar aquest fet:
Una idea que podem plasmar amb cubets encaixables
4³ = 13+15+17+19 = (4²-3) + (4²-1) + (4²+1) + (4²+3)
5³ = 21+23+25+27+29 = (5²-4) + (5²-2) + 5² + (5²+2) + (5²+4)

Cap comentari:

Publica un comentari a l'entrada