15 de novembre de 2012

Quadrat màgics i nombres enters

Demanem a alumnes que estan començant a treballar amb nombres enters que inventin quadrats màgics en que totes les cel·les siguin nombres enters i files, columnes i diagonals sumin 0. 

Primer apareix l'exemple del quadrat en que les nou cel·les contenen al nombre 0. Poc després comencen a apareixer altre exemples:
Clarament no són aquests que tenen tants zeros els quadrats màgics que més ens interessen però ens permet arribar a la primera conclusió: hi ha infinits quadrats màgics de suma 0
Quan demanem exemples que no tinguin tants zeros apareixen alguns intents però de vegades fallen en una de les dues diagonals
El gran salt el donen els alumnes quan "veuen" que al centre cal posar un 0. A partir d'allí apareixen tants quadrats com alumnes hi ha involucrats en la tasca
Els reptes passen en primera instància per demanar quadrats a la carta, o sigui, afegint alguna condició:
 

A partir d'aquí podem fer més preguntes
  • En quants quadrats màgics de suma 0 apareix el nombre 3? Per poder comptar-los considerarem que dos quadrats màgics són iguals si tenen els mateixos nou nombres encara que estiguin en diferent ordre.
  • En quants quadrats màgics de suma 0 apareixen els nombres 3 i 5?
  • En quants quadrats màgics de suma 0 no apareixen nombres més grans que 10?
La Laura (@lau_morera) també ha aplicat aquesta activitat a l'aula i ens va fer arribar els comentaris següents:
  • Mentre feien la resolució per parelles, una de les preguntes que han sortit ha estat si podien utilitzar el zero. Sota la premissa de que havien d’omplir els quadrats amb nombres enters, no sabien segur si el zero era un nombre enter.
  • Quan s'ha afegit el requisit de que totes les caselles havien de ser diferents, un alumne ha preguntat si podia posar -3 si ja havia posat el 3.
  • Quan discutien sobre com deurien ser tots els quadrats màgics de suma 0, a més de la necessitat de posar un 0 al mig, un alumne ha dit que sempre que posaves un nombre en una cel·la el seu oposat havia de ser a la cel·la simètrica respecte del centre.
  • Un alumne, ha generat tots els seus quadrats a partir d’un multiplicant per constants.
  • Ara que ja saben construir quadrats màgics de suma 0 podem fer quadrats màgics de qualsevol suma (múltiple de 3) simplement sumant una constant a cada casella.



Un últim comentari: Al Calaix del Joan Jareño (@Calaix2) es pot trobar una activitat sobre quadrats màgics que complementa aquesta proposta.

www.xtec.cat/~jjareno%20/activitats/quadrats_magics/quadrat_3X3_abc.htm
Us recomanem especialment l'estudi que proposa per trobar tots els quadrats màgics de suma 3a, perquè triant a = 0 s'adjusta perfectament a la nostra proposta.


1 comentari:

  1. Si, era el que jo volia fer amb l'últim comentari! El link dedueix el que ha de posar partint de la base que al centre posa el nombre dividit entre 3.
    Jo el que porposava és crear-ne un qualsevol de centre 0 i sumarli a totes les caselles una constant. Surt, no? Si per exemple sumem 5 surt el típic. I el que els alumnes observen després és que la suma serà sempre múltiple de 3.

    ResponElimina