23 de setembre de 2015

Els primers nombres cúbics

Després dels posts sobre els primers nombres quadrats (1 i 2), presentem una sèrie d'activitats sobre els primers nombres cúbics. Malgrat que no considerem que memoritzar aquesta sèrie sigui tan important com l'altra, ens dóna una excel·lent oportunitat de proposar petites investigacions de cerca de patrons i regularitats.

1) Suma de senars consecutius
Omple els buits i fes una conjectura:
3 + 5 = ___³
7 + 9 + 11 = ___³
13 + 15 + 17 + 19 = ___³
21 + 23 + 25 + 27 + 29 = ___³

Solució: Els buits anteriors s'omplen amb els nombres 2, 3, 4 i 5 respectivament.

Les següents imatges suggereixen una justificació:
El cub d'aresta 4 es pot descompondre com a suma de quatre nombres senars (dos d'ells menors que 16 i dos d'ells majors que 16: 13+15+17+19) 
El cub d'aresta 5 es pot descomposar com a suma de cinc nombres senars (25, els dos anteriors i els dos següents: 21+23+25+27+29) 

2) Divisions entre 6
Tria un nombre natural i calcula el seu cub. Divideix els dos nombres entre 6. Què hi observes?

Solució: les dues divisions tenen el mateix residu.

La justificació d'aquest fet es basa en el fet que n³-n sempre és múltiple de 6 (una qüestió que es podria comprovar factoritzant n³-n =(n-1)n(n+1) i com que es tracta de tres nombres consecutius segur que un d'ells és múltiple de tres i al menys un d'ells és parell)

3) Suma de cubs dels dígits (I)
Hi ha quatre nombres de tres xifres que coicideixen amb la suma dels cubs de les seves xifres: un d'ells és el 153 (comprova-ho!) els altres tres nombres estan entre 370 i 410 (troba'ls)

Solució: els altres tres nombres són 370, 371 i 407

Font: Always Kidding!

4) Suma de cubs dels dígits (II)
Tria un nombre de tres xifres múltiple de 3. Suma els cubs dels seus dígits. Suma els cubs dels dígits del resultat obtingut en la suma anterior. Suma els cubs dels dígits del resultat obtingut en la suma anterior. Fes-ho uns quants cops més. Què observes?

Exemple: 258  645  405  189  1242  81  513  153  153  ...

Solució: Sempre acabem en el 153 (que com ja hem comentat a l'apartat anterior és un nombre que coincideix amb la suma dels cubs de les seves xifres)

La primera observació que cal fer és que partint d'un múltiple de 3 totes els resultats obtinguts ho continuaran sent (un fet que es relaciona amb que la suma dels dígits és múltiple de 3 i com que en elevar al cub no canvia el residu de les divisions entre 3 (ni entre 6 com ja hem vist) la suma dels dígits del resultat també serà múltiple de 3).

I també es pot observar que l'ordre de les xifres d'un nombre no afecta tota la sèrie de nombres que ve al darrere. Això fa que l'afirmació de que sempre s'arriba al 153 es sosté en un anàlisi exhaustiu de uns 75 nombres d'inici.

Es fer propostes alternatives:
  • començant triant un nombre de tres xifres que no sigui múltiple de 3 però que el seu anterior ho sigui. Aquí sortirà altre nombre de tres xifres que coicideix amb la suma dels cubs de les seves xifres: 370
  • començant triant un nombre de tres xifres que el seu següent sigui múltiple de 3. Aquí sortiran altres dos nombres de tres xifres que coicideixen amb la suma dels cubs de les seves xifres: 371 i 407
5) Suma de cubs dels dígits (III)
Ja sabem que hi ha nombre amb la particularitat de coincidir amb la suma dels cubs de les seves xifres... però podem portar aquesta curiositat més enllà relaxant una mica l'expressió "la suma dels cubs de les seves xifres"

a) Calcula 
16³ + 50³ + 33³ =   
22³ + 18³ + 59³ =   
34³ + 10³ + 67³ =   
44³ + 46³ + 64³ =   
48³ + 72³ + 15³ =   
98³ + 28³ + 27³ =   
98³ + 32³ + 21³ = 

166³ + 500³ + 333³ =  
296³ + 584³ + 415³ = 
710³ + 656³ + 413³ = 
828³ + 538³ + 472³ = 

Solució: Les operacions plantejades tenen per resultat la concatenació de les tres bases 165033, 221859, 341067, 444664, 487215, 982827 i 983221; el mateix passa amb els nombres de tres xifres: 166500333, 296584415, 710656413 i 828538472


b) Calcula i fes una conjectura:
1³+5³+3³ = 
16³+50³+33³ = 
166³+500³+333³ = 
1666³+5000³+3333³ = 

Solució: Les operacions plantejades tenen per resultat 153, 165033, 166500333 i 166650003333. A partir d'aquests resultats sembla natural conjecturar que 16...6 ³ + 50...0 ³ + 33...3 ³ 16…650…033…3.


Justificació: independentment de l'objectiu de treball amb els nombres cúbics i treballant amb alumnes que ja tinguin una relació fluïda amb la manipulació algebraica, podem justificar la conjectura.

Si n = 16…6 llavors 3n+2=50…0 i 2n+1 = 33…3, per tant, n ³+(3n+2) ³+(2n+1)³ = n(6n+4) ²+(3n+2)(6n+4)+2n+1 = n · 100…0 ²+(3n+2) · 100…0+2n+1 = 16…6 · 100…0 ² + 50…0 · 100…0 + 33…3 = 16…650…033…3

6) La xifra final dels nombres cúbics
Escriu els primers nombres cúbics en ordre creixent i analitza la xifra de les unitats de cadascun d'ells. Què observes?

Solució: El diagrama que apareix a continuació representa que qualsevol nombre acabat en 0, 1, 4, 5, 6 i 9 en elevar-lo al cub no modifica la seva última xifra, però els nombres acabats en 2 elevats al cub acaben en 8, els acabats en 8 acaben en 2, els acabats en 3 acaben en 7 i els acabats en 7 acaben en 3.
En conclusió, els nombres cúbics poden acabar en qualsevol dígit (una cosa que no passava amb els nombres quadrats).

Cap comentari:

Publica un comentari a l'entrada