Projecte Espiral: recuperem cert passat?

Mirar el passat, des del present

L'anècdota

No fa massa temps vàrem rebre un correu d'en Dani Ruiz: tant ell com na Maria Ángels Rueda, van sortir emocionadíssims de la seva visita al "Gamar" i no sense raó, la Maria Antònia Canals és una crack.











Una de les activitats que els va agradat molt era la següent:



Pel seu disseny, una representació gràfica enlloc d'enunciat, i pel tipus d'activitat presentada, en veure-la ens va venir a la memòria la magnífica proposta que l'Editorial Vicens Vives va publicar al 1976, una col·lecció de llibres de text per primària, amb autors de primera fila d'aquell moment en Didàctica de les Matemàtiques: el projecte "Espiral".

Nota: Ens referim aquí a la col·lecció escrita per Agustí, Kauffman, Klein, Martin, Papy i Vanderput. 

No confondre-la amb les col·leccions posteriors de llibres de text de l'editorial que tenen el mateix títol. 

Aquest projecte presenta un canvi radical, on una de les principals característiques de canvi (cal tenir en compte que era la època en la que la "teoria de conjunts" va fer acte de presència) va consistir en la utilització de llenguatges gràfics per fer arribar aquelles idees abstractes als alumnes de Primària, com per exemple:

• Els diagrames de Venn com a representació gràfica dels conjunts (utilitzada, encara avui, per treballar certs aspectes com per exemple la idea de màxim comú divisor, tal com ho vam comentar al post Un algorisme més transparent per calcular el MCD i el mcm)
• La reflexió sobre què és un sistema de numeració treballant amb bases diferents (d'aquí l'aparició del material multibase). En aquest sentit, la minicomputadora de Papy (una barreja entre base 10 i base 2) és un dels punts forts de la proposta
• La utilització de fletxes per representar les relacions, en el sentit de teoria de conjunts, i que identificaríem actualment amb les classificacions i les ordenacions

En aquest post ens centrarem, solament, en les activitats en que s'utilitza el llenguatge gràfic de les fletxes.

ACTIVITAT 1: ESPIRALS

Aquest és un exemple d'una activitat del llibre, en el que l'aspecte gràfic hi jugava un paper important. Prova d'això és que aquesta activitat del llibre de primer de ocupava tota la pàgina. 

Segueixen sent vàlides aquest tipus d'activitats? Segurament si ja que planteja seguir una sèrie, i aquest tipus d'activitats de pràctica continuen fent-se. Però l'activitat pot anar molt més enllà: plantejant-la d'una manera que ara anomanaríem "més rica" enfocant-la com a repte a resoldre, dinamitzant la classe a partir de preguntes:

• El 21 estarà amagat en aquesta espiral? i el 23?
• El 366 hi estaria amagat si l'allarguem?
• Quins nombres no hi sortiran? Per què?

L'estratègia d'anar escrivint els nombres que falten a l'espiral és vàlida, però poc "matemàtica". Cal buscar estratègies diferents més eficients, per exemple en aquest cas: esbrinar què passa quan et fixes en quins són els nombres que surten al final de les fletxes vermelles o de les verdes. No és complicat descobrir un patró: els nombres que ocupen la punta de les fletxes verdes són els de la taula del 3, i fins i tot poden arribar a justificar-lo: "si sortim del 0, i la fletxa vermella val 1 i la verda 2, les dues juntes arriben al 3". Sabent això, alguns dels alumnes poden arribar a intuir que una divisió els pot ajudar a decidir de manera segura si el nombre surt o no a l'espiral i plantejar una conjectura

• si dividit per tres dóna residu zero, segur que estarà a l'espiral al final d'una fletxa verda
• si dona residu 1, estarà a l'espiral al final d'una fletxa vermella
• si dóna residu 2, el nombre no apareixerà a l'espiral

ACTIVITAT 2: QUADERNS COMPLEMENTARIS

Aquests quaderns que acompanyen al llibre són activitats setmanals de pràctiques que giren entorn d'un nombre, al que han de localitzar en cadascuna de les pàgines. Presentem dos exemples:

El quadern del 20

Aquest quadernet comença amb la següent activitat "El nombre 20 està amagat en algunes de les pàgines d'aquest quadern i en algunes altres no. Intenta trobar el seu amagatall. Si no pots completa el dibuix fins trobar-lo". Trobem genial la idea que el nombre hi pugui estar o no en una pàgina!!
Com seria la discussió? Quines preguntes s'haurien de plantejar els alumnes? Si el que volem es treballar en un ambient de resolució de problemes i no solament exercitar sèries, la idea seria plantejar-se en quin dels dos camis podria estar el 20 i una resposta podria ser "a la de dalt no hi pot estar perquè si sortim del 3 i sumem sempre 2 ens sortiran sempre nombres senars i el 20 es parell" A partir d'aquí ens plantegem: sabem que pot estar, a la del 6, però hi serà? Aquí poden comptar de dos en dos o veure que hi ha 5 punts després del 6 que representen un salt de 10 i per la qual cosa arribaran al 16... però el 20 no hi és!

El quadern del 37

El mateix tipus d'activitat pot ser més complexa, com veiem en aquestes dues pàgines del quadernet dedicat al número 37

• Activitat "+3": El "detall" de donar com a dada nombres consecutius posats a la mateixa altura en camins diferents (29 i 30, 32 i 33) no és innocent, ja que suggereix el patró: els nombres consecutius apareixen sempre a la mateixa altura, per tant, podran conjecturar que el 37 estarà al camí de la dreta al costat del 36 i confirmar-lo comptant enrere de 3 en 3 a partir del 46.
• Activitat "+5": Els nombres que apareixen al primer camí acaben en 0 o 5, al segon, en 1 o 6, al tercer, en 2 o 7, etc. Per tant, si el 37 està amagat en aquesta pàgina estaria en el tercer camí. Partim del 57 i saltem enrere considerant que cada dos punts retrocedim deu unitats: 57, 47, 37 i trobem l'amagatall.

Com activitat d'ampliació, podem demanar que s'inventin un problema en el que calgui localitzar un nombre amagat. En els "camins del +6" per exemple, quants camins cal dibuixar? La resposta a aquesta pregunta ens portarà a pensar en els possibles residus de la divisió entre 6 i que en aquest cas, evidentment seran 6. Podeu veure més activitats amb fletxes dels quaderns premeu aquest enllaç

I PARLANT D'ESPIRALS...

1. En el quadern 1 de la sèrie 3x6.mat editats per Barcanova vam proposar un repte amb espirals anomenant-los "ensaïmades matemàtiques"
   
2. Una de les activitats de "pràctica" (que podríem qualificar com a pràctica lúdica) per a treballar ordenació de nombres és un joc per dos jugadors consistent en: donada una llista de nombres decimals,

• el primer jugador en tria un i col·loca (aproximadamanent) una marca en una línia, escrivint el nombre. 
• el segon jugador tria un segon nombre i el col·loca a la dreta o l'esquerra del nombre que ha col·locat el primer, 
• després torna a jugar el primer, i el segon, etc. Guanya qui posa tres marques seguides. 

El joc és entretingut i permet analitzar l'existència d'estratègies però l'altre dia vàrem plantejar als alumnes de 6è la versió que el projecte Nrich proposa a Spiralling Decimals. Allí es canvia una línia numèrica habitual per una espiral i, potser per la novetat o pel major repte involucrat, el resultat va ser molt més interessant!