Polígons convexos & Tangram

La Sílvia Margelí va deixar clar que la noció de convexitat en polígons es pot treballar de manera molt natural des de primària, quan va dissenyar aquest mòdul en que defineix el concepte a partir de la mida dels angles del polígon, de la posició de les seves diagonals i de l'anàlisi del recorregut de la vora del polígon.

A més d'entendre què vol dir que un polígon sigui convex podem posar en pràctica aquesta noció. Per exemple, jugant amb les peces del tangram més conegut.

Encara que aquest material és molt fàcil de construir (amb regle i compàs, sobre paper quadriculat, amb Geogebra), si us interessa construir un tangram fent servir només un full de paper i unes tisores, feu clic aquí.


La tasca és molt senzilla d'enunciar: obtenir tots els polígons convexos possibles combinant les 7 peces del tangram.

Així ho vam proposar als mestres de @escolatecnos

Amb un resultat fantàstic:

Malgrat que aquest tangram té només set peces permet construir 13 polígons convexes!! La demostració de que només existeixen aquests 13 polígons la van publicar Fu Traing Wang i Chuan-Chih Hsiung en 1942 i es pot trobar a las pàgines 10-13 del llibre “Selected Papers of Chuan-Chih Hsiung”.

Si voleu proposar el repte de la construcció de polígons convexes d'una manera més guiada aquí podeu trobar un document amb fitxes que, si les plegueu por la meitat, orienten a l'alumne en la construcció del polígons en qüestió (per una cara tindran el contorn del polígon i per l'altra la disposició de les set peces del tangram que permeten construir aquell polígon)





Més informació:

• El primer article del 2020 del "Cuaderno de Cultura Científica" va ser dedicat a aquest problema: Un teorema sobre el tangram. Allí es demostra el teorema de Wang i Hsiung i més:

Aquests són els 7 polígons convexos que es poden formar amb les
16 peces petites del tangram però no amb les 7 peces del  tangram

• No us perdeu el comentari que ha deixat el J. Domèncech a aquest post:
  

  

  Quines són les intruses?

• sobre simuladors de tangrams al blog d'applets del Puntmat: Tangrams
• si el que demanem és construir un tipus particular de polígons convexos i permetem que no s'hagin de fer servir totes les peces, les solucions són també més de 10.

• recomanem molt tasques com la proposada per @transum a Tangram Table en que es demanen exemples de diferents tipus de polígons amb diferents nombres de peces del Tangram

• sobre el tangram del Median en aquest mateix blog: primera part i segona part 

• sobre tangrams de Brugner al blog del @calaix2: primera part i segona part La referència a aquests posts del Joan Jareño són especialment pertinents perquè ell també relaciona els tangrams amb la formació de polígons convexos. Amb una sorpresa: malgrat tenir només tres peces un d'aquests tangrams permet obtenir més polígons convexos que el tangram estàndard. Per a aquest tangram també tenim un document amb fitxes que, si les plegueu por la meitat, orienten a l'alumne en la construcció del polígons en qüestió (per una cara tindran el contorn del polígon i per l'altra la disposició de les tres peces del tangram que permeten construir aquell polígon)

• també sobre tangrams de Brugner: al @creamat1 han fet servir una impressora 3D per obtenir-los i així poder manipular-los.

• I manipulant el tangram de 8 peces també imprès pel @creamat1 podem obtenir les úniques 5 figures convexes que es poden formar utilitzant totes les seves peces

• al número 89 de la revista SUMA en la secció "Del MMACA a l'aula" vam coneìxer un tangram de 5 peces que tal com els autors de l'article afirmen amb les seves 5 peces "se pueden construir ¡hasta 24 polígonos convexos diferentes!"

Peces: dos triangles rectangles escalens de costats 1, 2 i  √5,
dos triangles escalens obtusangles de costats 1, √5 i √2 i un
triangle rectangle isòsceles de costats √2, √2 i 2. 

Aquí n'hem construït 24... però hi seran tots?  

Hi veiem dos triangles (G i O, tots dos rectangles però només un d'ells isòsceles), 9 quadrilàters (un quadrat A, un altre rectangle N, un rombe C, un estel F, altres dos paral·lelograms D i H i un trapezi isòsceles E), 8 pentàgons (dos d'ells simètrics: Z i K) i 5 hexàgons (dos d'ells simètrics: B i S).

Els tres pentàgons que no tenen cap eix de simetria (P, U i X) comparteixen amb el pentàgon R el posicionament de tres peces que cal mirar amb detall:

Amb aquestes tres peces es forma un quadrilàter de costats 1 (groc), 2 (groc), 3 (un tros blau i l'altre vermell)
 i √2 (vermell) i d'angles 90º, 2x, 45º i 225º-2x (sent x la mida de l'angle més petit de la peça groga)