Més sobre representacions planes d'objectes tridimensionals

En l'entrada Desenvolupament de poliedres vam parlar d'algunes activitats que es poden proposar a classe en relació a aquest tipus de representació plana de poliedres. En aquesta entrada parlarem d'una altra activitat: comptar cares, arestes i vèrtexs d'un poliedre a partir dels seu desenvolupament.

Comptar cares, arestes i vèrtexs

Font: Wikimedia

A la xerrada Entre el pla i l’espai, la visualització. Reflexions sobre el bloc Espai i Forma organitzada pel Creamat a l'abril de 2012 vam dedicar una tercera part de la nostra exposició a aquesta activitat, encara que en aquell cas no es vam restringir a fer el comptatge a partir del desenvolupament. Allí també ho feiem a partir d'envasos, d'imatges semitransparents del poliedre (imatge de la dreta), de materials de construcció de poliedres a partir de les seves cares (Polydron, per exemple) o de les seves arestes (Volumes a construire, per exemple).

Quan treballem amb desenvolupaments tenim una problemàtica específica. Per exemple, el nombre de cares del poliedre desenvolupat en la imatge de l'esquerra, clarament té 9 cares, però quantes arestes i vèrtexs té?

No podem comptar directament el nombre de segment que hi veiem perquè en alguns casos dos segments corresponen a la mateixa aresta. I el mateix passa amb els vèrtexs?

Per aquest motiu creiem que és molt convenient treballar prèviament amb applets com els que ens proposa Garcia Moreno en el seu blog Didacticprimaria.

En el primer podem treballar simultàneament amb el desenvolupament i el cos representat en perspectiva (passant d'una representació a l'altra de manera gradual, movent la barra lliscant de la part inferior). A l'entrada Cares, arestes i vèrtexs del blog AppletsPuntmat trobareu propostes anàlegs d'altres autors

En el segon i el tercer, encara que no comptem arestes, focalitzem en el problema d'identificar quins segments del desenvolupament representen la mateixa aresta.

Diagrames de Schlegel
Són una manera de representar en el pla poliedres que té la caracterítica de facilitar moltíssim el comptatge de cares, arestes i vèrtexs

Captura del minut 0:48 del vídeo 120-cell que il·lustra
l'obtenció del diagrama de Schlegel d'un dodecaedre regular

Dos diagrames de Schlegel diferents del mateix prisma
depenent del punt des del qual es faci la projecció  

Diagrama de Schlegel del poliedre esmentat a l'inici de l'entrada

Observar que per obtenir el nombre de cares del poliedre representat per un diagrama de Schlegel s'ha de sumar 1 al nombre de polígons que el conformen.

Wireframes
Una altra representació plana de poliedres que facilita el comptatge principalment d'arestes és la que proposa Anne Tying aquí

Cases de quatre cubs

El problema que descrivim en aquesta entrada el vam veure per primer cop al fantàstic llibre de Van den Heuvel-Panhuizen, M. & Buys, K. anomenat Young children learn measurement and geometry: A learning-teaching trajectory with intermediate attainment targets for the lower grades in primary school editat pel Freudenthal Institute al 2005.

En aquest problema es demana construir tots els tetracubs possibles considerant que cadascun d'ells és una casa. Es tracta per tant d'una situació que requereix pensament exhaustiu i si es vol comunicar per escrit la solució trobada, el llibre de Van den Heuvel suggereix la seva representació mitjançant vistes zenitals amb informació d'altures.

A les imatges següents es veuen algunes de les 15 cases possibles, representades a partir de captures de pantalla del applet Building with blocks:

Les cases A i B són clarament diferents encara que es tracti del mateix tetracub i el mateix passa amb les cases C i D. Però no és tan fàcil apreciar que les cases E i F o G i H són diferents entre sí. 

El problema es fa més interessant encara quan es demana als alumnes que assignin un preu a cada casa en funció de les unitat de sòl que ocupen o del nombre d'obertures que caldrien si s'ha de col·locar una en cada cara dels cubets si aquesta dóna a l'exterior. Per aprofundir en aquesta derivació del problema es poden consultar aquestes tres propostes: 

• Four Cube Houses
• Rumer's Cube Houses
• Hotel Snap

Visualització amb cubets V: esculpir

A la xerrada Entre el pla i l’espai, la visualització. Reflexions sobre el bloc Espai i Forma organitzada pel Creamat a l'abril de 2012 vam fer servir per introduir el capítol de "vistes" aquesta imatge:

http://berdinanimus.tumblr.com/post/17274298723

Les que nosaltres acostumem a anomenar "vistes" són les projeccions dièdriques de l'objecte (encara que la imatge anterior és prou explícita del significat  d'aquests projeccions, hem trobat un vídeo molt senzillet per il·lustrar aquest concepte)

http://youtu.be/Eoh5ZK5UBnk

Revisant aquests dies el que hi ha al projecte Nrich sobre aquest tema ens hem trobat una activitat, The Perforated Cube, que ens ha recordat la imatge de l'inici. Allí es proposa construir un cos format per cubets de manera que les diferents projeccions dièdriques siguin una S, una H i una E. El podriem fer amb cubets multilink? Millor, seguirem el suggeriment que ens fan d'utilitzar Building with blocks:

Solució realitzada amb http://www.fisme.science.uu.nl/toepassingen/00724/

La manera de resolver aquest problema posa en evidència la diferència entre construir la solució i esculpir-la. Sent aquesta última una estratègia fonamental en totes les activitats en que s'ha de trobar el cos a partir de les seves vistes.

Ceno con Nicole y con Adoum. Nicole habla de un escultor que ella conoce, hombre de mucho talento y fama. El escultor trabaja en un taller inmenso, rodeado de niños. Todos los niños del barrio son sus amigos. Un buen día la alcaldía le encargó un gran caballo para una plaza de la ciudad. Un camión trajo al taller el bloque gigante de granito. El escultor empezó a trabajarlo, subido a una escalera, a golpes de martillo y cincel. Los niños lo miraban hacer. Entonces los niños partieron, de vacaciones, rumbo a la montaña o el mar. Cuando regresaron, el escultor les mostró el caballo terminado. Y uno de los niños, con los ojos muy abiertos, le preguntó: Pero... ¿cómo sabías que adentro de aquella piedra había un caballo? 

Eduardo Galeano, Días y noches de amor y de guerra

Desenvolupaments de poliedres

Revisant què teniem al blog sobre representacions planes d'objectes tridimensionals ens hem adonat que teniem unes quantes entrades parlant de vistes (l'última sobre Tomografies geomètriques, però també altres com Des d'on està tirada la fotografia? o la sèrie sobre Visualització amb cubets) però fins ara havíem parlat molt poc sobre desenvolupaments. 

Entenem que els desenvolupaments són molt més que models per construir poliedres amb cartolina, el veiem com una manera de donar informació sobre l'objecte representant-lo en dues dimensions. Esmentem algunes activitats que podem servir d'exemple:

Pensament exhaustiu
Podem demanar als alumnes trobar entre els 35 hexòminos possibles tots els que representen desenvolupaments d'un cub. Aquesta activitat sí que la havíem esmentat en dues entrades prèvies (en Poliòminos i pensament exhaustiu i en Noves entrades a l'Espai Jordi Esteve on s'esmenta una activitat del projecte Nrich que involucra desenvolupaments: A puzzling cube) però ara, a més, afegim alguns applets relacionats amb aquest problema

http://illuminations.nctm.org/ActivityDetail.aspx?ID=84

http://www.transum.org/Maths/Activity/Net_or_Not/

http://dmentrard.free.fr/GEOGEBRA/Maths/Espace/3.247/patrondecubeMD.html

• Tal com planteja Don Steward en el seu post Nets of a cuboid és interessant generalitzar l'estudi anterior: hi ha 11 desenvolupaments per a un cub però quants n'hi haurà d'un prisma de base rectangular qualsevol? 

Al post abans esmentat ja es veia que la resposta a aquesta pregunta és 54 però, el Bernat Castro ens ha suggerit una justificació molt convincent: 

• També podem demanar als alumnes que trobin entre els 3 tetriamants possibles els que representen desenvolupaments d'un tetraedre, entre els 12 hexamants els que representen desenvolupaments d'una bipiràmide triangular o entre els 66 octiamants els que representen desenvolupaments d'un octaedre. Per aprofundir-hi llegir al blog Median l'entrada: Other numbers of nets

Imatge dels 3 triamants (Font: http://commons.wikimedia.org)

Imatge dels 12 hexamants (Font: http://commons.wikimedia.org)

• I una última proposta, en aquest sentit, difícil però interessant és la de trobar tots els desenvolupaments possibles d'un prisma de base rectangular. Per aprofundir-hi llegir al blog Median l'entrada: Nets of a cuboid

Què hi ha a la cara oposada?

http://demonstrations.wolfram.com/FindTheOppositeFace/

Identificar la mateixa aresta

Un cop més trobem en la biblioteca de manipulatius virtuals del Juan Garcia Moreno una activitat molt interessant.

http://2633518-0.web-hosting.es/blog/manipulables/geometria/g17.html

http://2633518-0.web-hosting.es/blog/manipulables/geometria/g64.html

Identificar el desenvolupament correcte

http://demonstrations.wolfram.com/DeduceTheNetForADie/   

http://demonstrations.wolfram.com/DeduceTheNetForADiesNet/

http://demonstrations.wolfram.com/DeduceTheNetForAnOctahedralDie/

Desplegaments partits

http://nrich.maths.org/2315

Més exemples al blog d'applets del PuntMat: Cares, arestes i vèrtexs (1a part) i Cares, arestes i vèrtexs (2a part)

Tomografies geomètriques

Entenem la tomografia com l'obtenció d'una sèrie d'imatges resultants de tallar un cos amb plans equidistants i paral·lels al pla sobre el que es recolza el cos. Per començar en presentem dos exemples: la tomografia d'un prisma de base quadrada i la tomografia d'una piràmide amb la mateixa base i altura.

El següent applet permet visualitzar l'obtenció d'aquestes seccions i també les d'un octaedre regular:

http://demonstrations.wolfram.com/CrossSectionsOfThreeSolids/

Com seria les tomografia d'un prisma de base hexagonal? I d'una piràmide truncada?

En comparar les  tomografies d'una semiesfera i d'un con, ens cal una anàlisi una mica més profunda: en els dos casos es tracta de cercles de radi decreixent, però les velocitats d'aquest decreixement són diferents:

Com seria la tomografia d'un donut? Quin dibuix auxiliar caldria fer i quines mides caldria prendre per fer-la correctament?

En els següents dos vídeos trobareu idees per elaborar les tomografies de dos poliedres regulars obtingudes a partir de l'applet Platonic Solids-Slicing

Com seria la tomografia d'un antiprisma de base hexagonal?

Per acabar podem esmentar les tomografies de cossos formats per cubets, que es converteixen en la seva descripció per capes, una bona manera de il·lustrar situacions com la qua apreixa Visualització amb cubets (II) 

http://demonstrations.wolfram.com/FindTheNumberOfCubesRemoved/
(quan es veu un quadradet negre vol dir que s'ha extret tota la fila
de cubets, de dreta a esquerra, de davant a darrera o de dalt a baix)

Observar que en aquests casos en que hi ha cubets "voladors" aquesta descripció per capes no es pot substituir per una descripció del tipus vista zenital amb informació d'alçades com la que es va analitzar a Quadrats màgics amb retenció de líquids  

Es pot practicar amb aquest tipus de descripció amb els següents applets:

• De la col·lecció del Juan Garcia Moreno:

http://dl.dropboxusercontent.com/u/44162055/manipulables/geometria/codificapoli.swf

• Del projecte Nrich:

http://nrich.maths.org/768

• Del projecte Wolfram Demostrations 

Laberints tridimensionals la idea és anar del punt vermell al blau considerant que
les tres imatges corresponen a tres plantes del laberint (la superior a l'esquerra)

Els moviments en una mateixa planta són els habituals en un laberint, però aquí un
quadrat blanc indica un forat al terra que permet intercanvis amb la planta inferior

Matemàtiques per preparar el Nadal

Us proposem dues activitats que us poden donar l'oportunitat de guarnir la vostre classe amb motius nadalencs.

El Pep Bujosa ha fet un applet amb Geogebra per complementar aquesta proposta:

Cliqueu aquí per accedir a l'applet

Cliqueu aquí per veure una aplicació d'aquesta proposta al blog ORCA

Cliqueu aquí per veure treballs d'alumnes de 5è de Primària
de l'Escola Sadako en relació a aquesta tasca