"Que parlin ells" també a l'ESO

Fins ara, als posts que havíem publicat amb l'etiqueta "que parlin ells", es presentaven experiències amb alumnes de primària. La invitació a que sigui la seva veu la que s'escolti a les aules, feia referència a la discussió sobre les estratègies de resolució de determinats problemes, descrites pels alumnes, a partir de les quals es construïen els nous coneixements. En aquest post aplicarem aquesta idea a la discussió d'estratègies emergents quan proposem a alumnes de secundària problemes en el que està implícita la presentació dels primers sistemes d'equacions.

Situacions que impliquen sistemes d'equacions

Aquesta imatge i les següents són extretes del material de classe d'Escola Sadako. Barcelona

Els alumnes poden deduir que com en la segona imatge hi ha un cafè més i un croissant més que a la primera, el preu d'aquest dos productes és 2 €. tornant a la informació de la primera imatge, si un cafè i un croissant és de 2 €, l'altre croissant ha de costar 0,80 €. A partir d'aquí és immediat deduir el preu del cafè.
Aquest procés és el que justifica l'etiqueta "que parlin ells" ja que la "resposta" al problema no és solament el resultat sinó, i sobretot, el relat del procés fet. Malgrat ens hagi sortit un post una mica massa "explicat" creiem que val la pena fer-ho per deixar clar el que esperem dels alumnes.
La introducció de nomenclatura algebraica a aquesta discussió permet apropar-se al mètode de reducció. Si x representa el preu d'un croissant i y el d'un cafè, les dues imatges són representades per les equacions:

2x+y=2,80

3x+2y=4,80

Restant les dues equacions resulta x+y=2, i restant aquesta equació de la primera resulta x=0,80. A partir d'aquí substituint el valor de x en qualsevol de les equacions anteriors resulta y=1,20. Aquest procés que sembla complicat en llegir l'explicació simbòlica ha estat solucionat en context, sent la part simbòlica una traducció d'un procés ja realitzat.

La primera conclusió que es pot extreure de les noves imatges és que les samarretes són més cares que les pilotes i a continuació, deduir que la samarreta és 15 € més cara que la pilota perquè 15 = 165 - 150. Si en la primera imatge es canvia la pilota per una samarreta el preu augmenta en 15 €, per tant, tres samarretes costen 180 € i una d'elles costa 60 €. Calcular el preu de les pilotes és ara un simple tràmit.

Si x aquí representa el preu d'una samarreta i y el d'una pilota, les dues imatges són representades per: 

2x+y=165

x+2y=150

Restant les dues equacions resulta x-y=15 i sumant aquesta equació amb la primera resulta 3x=180. A partir d'aquí resulta x=60 i y=45.

En aquesta tercera situació, les estratègies personals dels alumnes poden passar per concloure que com que el preu dels dos conjunts és el mateix, el preu d'unes ulleres és el mateix que el de dos barrets. Per tant, cada parell de ulleres de la primera imatge es pot substituir per dos barrets i d'aquí deduir que cinc barrets costen 40 € el que dóna via lliure per trobar els dos preus buscats.

És interessant comprovar com una petita variació com la proposada en la quarta situació genera una variació important en el nivell de les estratègies personals, malgrat que des del punt de vista algebraic els dos sistemes són indistingibles i aquesta simplificació en la variació de situacions és un punt a favor de la introducció dels mètodes algebraics que podem destacar davant de l'alumne.  

 

Per acabar, val a dir que no només podem proposar aquest tipus de situacions amb preus. En el següent problema el context és la mesura de longitud:

Un possible raonament per respondre la pregunta és: la diferència entre les alçades de les dues torres és 16 cm i això correspon al que sobresurt de 4 gots, o sigui que el que sobresurt de cada got és 4 cm. Com que en la segona torre es veuen dos gots que sobresurten, el got que es veu sencer mesura 11 cm (19 menys dos cops 4). Traduït a llenguatge algebraic resulta (x=alçada d'un got sencer, y=mida del que sobresurt en apilar-los):

x+6y=35

x+2y=19

Restant les dues equacions resulta: 4y=16, per tant y=4 i com que x+2y=19 resulta x=11.

En conclusió, creiem que hi ha molta feina a fer abans d'ensenyar que els sistemes d'equacions es poden resoldre per substitució, igualació o reducció, però val la pena.

Podeu aprofundir en aquesta línia llegint l'article d'Abraham de la Fuente, Tim Rowland i Jordi Deulofeu: Developing algebraic language in a problem solving environment: the role of teacher knowledge