3 de gener de 2012

Més sobre l'arbre de factors

Fa algunes setmanes vam publicar un post titolat "Un algorisme més transparent per calcular MCD i mcm". Allí parlavem de l'applet Árbol de Factores de la National Library of Virtual Manipulatives, del seu ús per al càlcul del màxim comú divisor i el mínim comú múltiple de dos nombres i de com l'applet dóna un model perquè l'alumne comuniqui com fa el càlcul.
Avui farem un altre comentari sobre aquest applet però en relació al seu ús per treballar la descomposició factorial en nombres primers.
L'applet té diferents opcions: 
  • un nombre: permet exercitar la descomposició en factors primers de manera no algorítmica. 
  • dos nombres: permet calcular el MCD i els mcm tal com ho vam comentar en el post anterior
  • usuari: és l'alumne qui tria els nombres inicials
  • ordinador: és la màquina la que tria els nombres
Una característica d'aquest applet és que permet treballar la descomposició factorial alleugerint els càlculs i focalitzant l'atenció de l'alumne en el sentit de la factorització:
  • en el moment de posar que un dels factors de 80 és 2, automàticament apareix escrit que l'altre factor és 40
  • en el moment de trobar-nos davant d'un nombre primer, l'applet ho indica encerclant el nombre mentre que si es tractés d'un nombre compost el col·locaria en un rectangle i ens demanaria alguns dels seus factors. 
És important invitar als alumnes que vagin més enllà de l'applet.
  • Quin tipus de factors hem de triar perquè l'arbre quedi el més compacte possible? Compareu les dues descomposicions següents:


  • No sempre s'ha de descomposar un nombre en dos factors: per què escriure 8 com 4x2 i després 4 com 2x2 si ells ja saben que 8 és 2x2x2? 




  • És interessant establir una relació entre la descomposició factorial d'un nombre i el llistat dels seus divisors (abans d'establir cap relació entre la descomposició factorial de dos nombres amb el seu màxim comú divisor).

En la imatge veiem la descomposició del nombre 2012, si els alumnes entenen que més enllà de l'1 els seus altres divisors es troben combinant els factors primers de 2012 (2, 2 i 503): 2, 503, 2x2, 2x503 i 2x2x503.
En la següent fotografia es veu com alumnes de 4t d'ESO que havíen après uns anys abans a descomposar factorialment nombres amb l'applet, continuen fent servir l'arbre per descomposar factorialment nombres en el context d'exercicis de simplificació d'expressions irracionals força sofisticades.

Comentari a posteriori:
Al febrer de 2013 al bloc Pinkmathematics va apareixer un post sobre aquests arbres de descomposició que acaba amb una imatge meravellosa, d'aquestes que valen més de mil paraules:
Observar que els nombres primers no tenen branques (són bolets!!) i l'1 no és ni bolet ni arbre.

La versió del curs 13-14 del bosc de factorització de Pinkmathematics es ve a la següent imatge i sobre ella es pot llegir al post This year's forest of factors


Més comentaris a posteriori:
Aquí tenim algunes descomposicions "made in Vic" inspirades per les de Pinkmathematics. Precioses!!


Més imatges guapes realcionades amb la descomposició factorial dels primers nombres naturals
Un poster de Richard Evan Schwartz http://www.math.brown.edu/~res/poster.html 


Poster de John Graham-Cumming en http://blog.jgc.org/2012/04/make-your-own-prime-factorization.html

2 comentaris:

  1. Great to see the forest of factors spreading south...
    ;-)

    ResponElimina
    Respostes
    1. Really, we think the forest of factors is a fantastic idea to work the numbers decomposition. And it is just one of many of the good ideas that can be found on your blog. Congratulations.

      Elimina