Divisors i pensament exhaustiu

Si comparem aquestes tres tasques: digues un divisor de 28, digues alguns divisors de 36, digues tots els divisors de 60, veiem que per fer la primera cal la entendre la definició de divisor, per fer la segona a més de la definició ja podem fer servir propietats (per exemple: tots els nombres són divisibles entre 1 i el propi nombre, si a és un divisor de b llavors b/a és també un divisor de b, etc), però per fer la tercera hem de donar un important salt, hem de posar en funcionament el pensament exhaustiu: alguna estratègia per saber que ja tenim tots els nombres que cercàvem.

A l'entrada Apples de divisibilitat ja vam analitzar algunes animacions que involucraven tasques de cerca de divisor que no requerien conèixer tots els divisors 

Quatre en ratlla

Està clar, de tota  manera, que quants més divisors del nombre sapiguem més possibilitats tenim de guanyar:

Factor game

A l'applet "La caixa forta" ja començaven a apropar-nos a la necessitat de no deixar-nos cap divisor, però en aquest cas només ens restringim a tots els divisor menors o iguals que 10:

La caixa forta

L'applet "Factoriza 2" sí que involucra la idea de trobar tots els divisors però tenim ajudes que no fan necessari el pensament exhaustiiu: el botó "Hint" que ens diu quantes factoritzacions falten i la felicitació quan ja no hi ha més divisors.

Factoritze 2

Trobar tots els divisors d'un nombre N implica:

• en un primer moment, verificar un a un amb cada nombre des de l'1 fins al N si deixen o no residu quan es divideix N entre ells (verificar si aquest residu és 0 no requereix necessàriament fer la divisió sinó que es poden fer servir els criteris de divisibilitat)
• en una segona instància, amb arguments del tipus si N no és divisible entre p no ho serà entre cap múltiple de p, la llista de verificacions disminueix considerablement
• per últim, quan prenem en consideració que si a és un divisor de N llavors N/a també ho serà. Resulta que tots els divisors venen en parella per tant amb les succcesives verificacions anem obtenint una llista doble, amb uns divisors que creixen i uns divisors que decreixen, quan aquestes dues subllistes es troben ja no cal buscar més. En un primer moment els alumnes pensen que això implica que s'han de cercar divisors entre els nombre fins al N/2 però en realitat la llista és més curta encara ja que no cal superar el nombre √N. 

Un exemple de treball exhaustiu

Podem aplicar aquest treball amb aquest applet

S'han de tatxar tots els divisors del nombre indicat (53) o del resultant de canviar l'ordre de les seves xifres (35) tenint en compte que guanyaràs tants punts com la suma dels divisors tatxats. Per tant, en cada jugada l'estratègia òptima és enumerar tots els divisors dels dos nombres possibles i avaluar la seva suma. Val a dir que quan oblides tatxar algun divisor l'applet reganya!

A l'entrada Més sobre l'arble de factors vam parlar de la possibilitat d'establir una relació entre la descomposició factorial d'un nombre i el llistat de tots els seus divisors.


A la imatge veiem la descomposició del nombre 2012, si els alumnes entenen que més enllà de l'1 els seus altres divisors es troben combinant els factors primers de 2012: 2, 2 i 503, trobaran que tots els divisors de 2012 són: 1, 2, 503, 2x2 (o sigui, 4), 2x503 (o sigui, 1006) i 2x2x503 (o sigui, el propi nombre 2012).


Aquí l'exhaustivitat es trasllada a combinar de manera sistemàtica els diferents divisors primers per tal d'obtenir tots els divisors. Aquestes combinacions no són trivials perquè varien si hi ha factors primers repetits o no, però l'anàlisi d'aquestes particularitats pot permetre als nostres alumnes entendre de quina manera podem mirant la descomposició facotrial d'un nombre saber quants divisors tindrà el nombre.

• els nombres primers tenen dos divisors
• els nombres que són producte de dos nombres primers no sempre tenen la mateixa quantitat de divisors. A partir d'analitzar exemples, segur que els nostres alumnes descobreixen el patró

49 té tres divisors: 1, 7 i 7x7
33 en té quatre: 1, 3, 11 i 3x11

121 té tres divisors: 1, 11 i 11x11
55 en té quatre: 1, 5, 11 i 5x11

• els nombres que són producte de tres nombres primers tampoc tenen sempre la mateixa quantitat de divisors. Convé analitzar tres tipus d'exemples, quan els tres nombres primers són diferents, quan són dos iguals i un de diferent i quan els tres són diferents entre sí

27 i tots els nombres de la forma p³ tenen quatre divisors:1, 3, 3x3 i 3x3x3
42 i tots els nombres de la forma p²· q en tenen sis: 1, 2, 13, 2x2, 2x13 i 2x2x13
30 i tots els nombres de la forma p·q·r en tenen vuit: 1, 2, 3, 5, 2x3, 2x5, 3x5 i 2x3x5

Arribar fins aquí ja és un interessant i fructífer treball amb regularitats i patrons però res impedeix a aquests alumnes més curiosos que tenim a l'aula arribar fins al final.