Geoplans i pensament exhaustiu

Creiem en la importància de proposar als nostres alumnes recórrer l'itinerari: trobar una solució d'un problema que en té diverses, trobar algunes d'aquestes solucions i finalment, trobar totes les solucions. Aquest creença ve acompanyada d'una altra: la necessitat de treballar intencionadament aquest itinerari a les classes i de promoure discussions relacionades amb les preguntes:

• com saps que no hi ha altres solucions? 
• quina estratègia has seguit per no perdre cap solució?

Per això us proposem l'entorn d'activitats amb geoplans. Trobareu més informació sobre aquest material manipulatiu dissenyat pel Caleb Gattegno a la pàgina de l'Espai Jordi Esteve: Geoplans

Trobar tots els triangles possibles en un geoplà quadriculat de 3x3

Captura de pantalla: http://nrich.maths.org/content/id/2883/circleAngles.swf

Es pot veure una interessant proposta de treball a l'aula amb aquest problema al blog Tocamates. A l'entrada Tri.'s del projecte NRICH s'esmenta aquesta activitat i afegeix-hi una pregunta: quin és el més petit de tots? (Atenent a que n'hi haurà dos d'àrea 0,5 es pot fer intervenir el perímetre i comparar els de les dues figures sense haver de calcular-los la qual cosa requeriria algun resultat equivalent al Teorema de Pitàgores. També interès la pregunta sobre quin és el més gran ja que n'hi haurà dos d'àrea màxima).

Trobar tots els quadrilàters possibles en un geoplà quadriculat de 3x3

Captura de pantalla: http://nrich.maths.org/content/id/2883/circleAngles.swf
De tota manera suggerim fer servir un altre geoplà virtual per fer aquesta
activitat atenent a que aquest no permet representar polígons còncaus

Veure una proposta de treball amb aquest problema (i d'altres sobre el mateix geoplà) a la pàgina 17 de l'article de Maria Ringon Grandesso "Sobre el geoplà Gattegno de nou puntes" aparegut a la revista l'Escaire, nº3 al desembre de 1979 (aquest article és la traducció del que va aparèixer a la revista "L'insegnamento de la Matematica i delle scienze integrate" vol. 2, nº3, juny del 1979 pel centre de recerca didàctica "Ugo Morin" d'Itàlia)

Tal com esmenta Don Steward en el post "Quadrilaterals on a 3 by 3 dotty grid" les 16 solucions del problema anterior es converteixen en 94 si diferenciem quadrilàters segons la posició en la quadrícula. En la següent imatge, modificada a partir de l'original del D. Sterward, destaquem d'on surt el 94:

Trobar tots els triangles d'àrea 3 en un geoplà quadriculat de 5x5
Aquesta activitat (juntament amb altres activitats i un simulador virtual de geoplans quadriculats i isometrics de mida variable fets amb Geogebra) va ser proposada pel Pep Bujosa al gener de 2011 durant unes jornades organitzades per la UPF.

Hi són tots els triangles possibles?

Trobar tots els paral·lelograms possibles en un geoplà quadriculat de 5x5

Captura de pantalla: http://nrich.maths.org/content/id/2883/circleAngles.swf

Veure alguns comentaris sobre aquesta activitat al capítol "The 25-pin Laticce Geoboard" del llibre "Geoboard Geometry" escrit pel propi Gattegno al 1971

Trobar tots els quadrats possibbles en un geoplà quadriculat de nxn

Captura de pantalla: http://nrich.maths.org/content/id/2883/circleAngles.swf

Ja en el cas 5x5 és molt interessant el repte que representa trobar quadrats d'àrea 2, 5, 8 i 10
Veure una interessant anàlisi de la solució general a l'entrada Pinned Square del projecte NRICH, encara que ells estan comptant com casos diferents els quadrats congruents que estan col·locats en un lloc diferent del geoplà. O en l'article Por un enfoque holístico en la enseñanza de las Matemáticas del Pere Mumbrú al número 3 de la revista Suma.

Trobar tots els triangles possibles en un geoplà circular de 9 punxes (sense punxa central) 

Captura de pantalla: http://nrich.maths.org/content/id/2883/circleAngles.swf

Veure la proposta original a l'entrada Nine-pin Triangles del projecte NRICH i el cas general a l'entrada Triangles All Around

Trobar tots els quadrilàters possibles en un geoplà circular de 8 punxes (sense punxa central) 

Captura de pantalla: http://nrich.maths.org/content/id/2883/circleAngles.swf

Veure la proposta original a l'entrada Quadrilaterals del projecte NRICH. Són molt interessants les extensions que podem proposar en relació a aquesta activitat:

Les vuit solucions ordenades de menor a major pel seu perímetre o per la seva àrea

• no és dificil verificar que els quadrilàters del mateix color tenen el mateix perímetre però si requereix més treball verificar que el quadrilàter marró té menys perímetre que els vermells, que aquests tenen menor perímetre que el groc, els grocs que els blaus i aquests que el verd.
• sabent que dos triangles que tenen la mateixa base i les seves altures mesuren el mateix tenen la mateixa àrea, no és difícil verificar que el quadrilàter marró té menys àrea que el primer dels quadrilàters vermells, que els dos quadrilàters vermells tenen la mateixa àrea, etc.

Trobar tots els pentàgons i tots els hexàgons possibles en un geoplà circular de 7 punxes (amb punxa central)

Captura de pantalla: http://nrich.maths.org/content/id/2883/circleAngles.swf

De tota manera suggerim fer servir un geoplà de paper per fer aquesta 

activitat atenent a que aquest no permet representar polígons còncaus

Veure la proposta original a l'entrada 7 pins del blog Median i el vídeo de MathPickle relacionat amb el mateix problema (afegint també el compatatge de polígons complexes)

Captura de pantalla del vídeo de MathPickle abans esmentat

Un problema que pot tenir solució depenent de la paritat de n i que en cas de tenir-ne la seva quantitat depèn del residu de n:4
Trobar tots els triangles rectangles en un geoplà circular de n punxes (amb o sense punxa central)

Altres entrades d'aquest blog relacionades amb el geoplà: Joc del geoplà; definicions i propietats o Mesura de superfície