Pràctica productiva: restes (1)

La proposta d'aquesta entrada és una activitat que pot substituir un full per practicar restes amb nombres entre 1 i 100. Es tracta de donar dos nombres als alumnes (en el cas de l'exemple que apareix a la primera imatge aquests dos nombres són 66 i 42), marcar-los amb un color, proposar als alumnes que trobin  la resta entre aquests dos nombres i que acoloreixin el resultat. Han de continuar restant dos nombres acolorits i acolorint el resultat fins que ja no hi hagi més possibilitats.

Les restes que s'han fet són: 66-42=24, 42-24=18, 24-18=6,
66-6=60, 60-6=54, 54-6=48, 42-6=36, 36-6=30 i 18-6=12

Es pot jugar sobre una graella de paper o sobre una graella digital que permeti acolorir les cel·les (aquí hi ha un exemple)

Altres exemples:

Fent l'activitat sobre una graella "de veritat" al #PGmatesprimariaUIB (desembre 17)

Malgrat que no ho sembli, el que hi ha darrera d'aquest innocent joc és el concepte de màxim comú divisor. Encara que no calgui tenir idea de divisibilitat per fer l'activitat (es pot proposar a partir de 2n de primària), saber que el que trobem, quan fem totes les restes, són els múltiples del MCD dels nombres inicials ens va molt bé als mestres per saber a cop d'ull si les restes estan ben fetes o si falta alguna resta per fer. També ens dóna moltes idees per proposar petites investigacions als alumnes:

• què passa si els nombres inicials són consecutius? Solució: en aquest cas les restes cobreixen tota la graella fins al més gran dels dos nombres inicials
• què passa si els nombres inicials són dos nombres parells consecutius? Solució: en aquest cas les restes cobreixen els nombres parells de la graella fins al més gran dels dos nombres inicials
• què passa si els nombres inicials són dos nombres senars consecutius? Solució: en aquest cas les restes cobreixen tota la graella fins al més gran dels dos nombres inicials
• sempre que els nombres inicials siguin senars es cobrirà tota la graella? Solució: no, per exemple si els nombres inicials són 9 i 21 només quedaran coberts els múltiples de 3
• sempre que els nombres inicials siguin parells es cobriran tots els parells de la graella? Solució: no, per exemple si els nombres inicials són 44 i 72 només quedaran coberts els múltiples de 4
• etc.

També es pot proposar aquesta activitat als primers cursos de l'ESO fins que trobin la relació entre els nombres inicials i els nombres que queden coberts en acabar de fer totes les restes. Les preguntes per guiar-los haurien de ser unes altres: 

• Què passa si els dos nombres triats en un inici són 15 i 48? I si són 14 i 48? 
• Quina relació hi ha entre la disposició final de cel·les pintades i les dues cel·les inicials?
• Quina parella de nombres pots triar perquè les cel·les pintades al final siguin totes fins al 50? quines són totes les parelles que permeten arribar a aquesta disposició final? 

El que hi ha amagat sota les respostes a aquestes preguntes és que en restar dos nombres que tenen com a MCD un nombre n el resultat també és múltiple de n. Això permet entendre perquè tots els nombres obtinguts són múltiples del MCD dels nombres inicials però no justifica que siguin tots els múltiples del MCD dels nombres inicials (fins al més gran d'ells). Per justificar aquest últim punt hem de recorre a la base de l'algorisme d'Euclides: el MCD de dos nombres s'obté fent restes convenients entre els nombres inicials

http://nrich.maths.org/psum/picture-this/ 

Per tant, el joc proposat es converteix en un algorisme per trobar ek MCD de dos nombres!!

En aquest vídeo es pot veure l'activitat portada a l'aula:

La idea original i un suggeriment per convertit aquesta activitat en un joc provenen de l'article El joc d'Euclides del blog Cut the knot que té una seqüela a El joc d'Euclides sobre la graella

El joc d'Euclides

El joc d'Euclides sobre la graella

Podeu llegir altres comentaris sobre aquest problema a l'entrada "El joc de les restes" del blog "Banc de recursos del Fem Matemàtiques" una fantàstica iniciativa del grup Fem Matemàtiques de l'ABEAM amb solucions, resolucions, pautes i indicacions per treballar a les aules problemes del concurs que anualment organitza la Feemcat.