1) Les primeres potències de base 2
 |
| Imatge extreta del llibre de 6è de Primària de l'Ed. Barcanova (2015) (unitat 6) |
A la proposta inicial, s'afegeixen després algunes preguntes: l'obtenció de cada nombre parell com a suma de potències de 2 és única?, quina targeta s'hauria d'afegir per obtenir tots els nombres fins a 120? quin és el primer nombre que no es pot obtenir sumant aquestes targetes?, etc.
2) Les primeres potències de base 3
Així com tot nombre es pot escriure sumant potències de base 2 també es pot fer amb potències de base 3 si permetem que cada potència participi dos cops en cada suma:
3) les primeres potències de base 11
Observa el patró que compleixen els càlculs relacionats amb les primeres potències de base 11:
112 = 121 i 12 – 1 = 11
113 = 1331 i 13 – 3 + 1 = 11
114 = 14641 i 14 – 6 + 4 – 1 = 11
Verifica que el patró es compleix en relació a les següents dos potències de base 11.
Troba la primera potència de base 11 que no compleix el patró.
4) La potenciació no és commutativa
Concloure que les posicions de base i exponent no són intercanviables és fàcil però: no podem anar més enllà de dir simplement que no dóna el mateix na que an?
Val a dir que la conjectura "dóna un major resultat l'element de la parella que té major exponent" s'ha de matisar excloent parelles en les que intervenen els nombres 1 o 2 (ja que 23 < 32 o 17 < 71).
5) Suma de potències d'exponent diferent
Quins nombres menors que 50 es poden descompondre com a suma de potències d’exponents diferents? No es pot fer servir l’1 ni el 0 com a base ni com a exponent. (Font: MathPickle)
Solució:
La raó per la que s’evita a l’1 i el 0 com a exponent o com a base és que la descomposició seria trivial (N = qualsevol potència menor que N més la diferència elevada a la 1 = qualsevol potència menor que N més 1 elevat a diferents exponents totes les vegades que calgui)
6) La xifra final de les potències de base fixa
És molt fàcil trobar i justificar els patrons que compleixen les xifres finals de les potències de diferentes bases
2) Les primeres potències de base 3
Així com tot nombre es pot escriure sumant potències de base 2 també es pot fer amb potències de base 3 si permetem que cada potència participi dos cops en cada suma:
 |
| Reformulació d'un problema proposat pel Guido Ramellini al Nou Biaix nº 34 |
Observa el patró que compleixen els càlculs relacionats amb les primeres potències de base 11:
112 = 121 i 12 – 1 = 11
113 = 1331 i 13 – 3 + 1 = 11
114 = 14641 i 14 – 6 + 4 – 1 = 11
Verifica que el patró es compleix en relació a les següents dos potències de base 11.
Troba la primera potència de base 11 que no compleix el patró.
4) La potenciació no és commutativa
Concloure que les posicions de base i exponent no són intercanviables és fàcil però: no podem anar més enllà de dir simplement que no dóna el mateix na que an?
Pots conjecturar, sense fer cap càlcul, qui serà més gran entre 124 i 412?
Val a dir que la conjectura "dóna un major resultat l'element de la parella que té major exponent" s'ha de matisar excloent parelles en les que intervenen els nombres 1 o 2 (ja que 23 < 32 o 17 < 71).
Quins nombres menors que 50 es poden descompondre com a suma de potències d’exponents diferents? No es pot fer servir l’1 ni el 0 com a base ni com a exponent. (Font: MathPickle)
Solució:
La raó per la que s’evita a l’1 i el 0 com a exponent o com a base és que la descomposició seria trivial (N = qualsevol potència menor que N més la diferència elevada a la 1 = qualsevol potència menor que N més 1 elevat a diferents exponents totes les vegades que calgui)
6) La xifra final de les potències de base fixa
És molt fàcil trobar i justificar els patrons que compleixen les xifres finals de les potències de diferentes bases
- en el cas de les potències de base 2, els resultats acaben en 2, 4, 8, 6, 2, 4, 8, 6, 2, 4, 8, 6, etc (patró de repetició amb un període de longitud 4)
- en el cas de les potències de base 3, el patró que compleixen les xifres finals dels resultats, també de repetició amb un període de longitud 4, es poden il·lustrar amb aquest esquema
de l'Ed. Barcanova (2015) (unitat 6)
- en el cas de les potències de base 4, els resultats acaben en 4, 6, 4, 6, 4, 6, etc
- en el cas de les potències de base 5, els resultats sempre acaben en 5
Els companys del Ins Baixamar en el seu blog Matemàtiques Marines ens conviden a anar una mica més enllà amb alumnes que ja coneixen les potències d'exponent negatiu:
- les potències de base 5 i exponent natural acaben en 5, però en quina xifra acaben les expresions decimals de les potèncias de base 5 i exponent enter negatiu?
- un altre patrós trobarem en les potències de base 2, 4 o 8 (divisors de potències de 10) i exponent enter negatiu: totes les seves expresions decimals acaben en 5
- el patró que compleixen les xifres finals de potències de base 5 i exponent enter positiu coincideix amb el patró que compleixen les xifres finals de potències de base 2 i exponent enter negatiu i recíprocament
- les potències de bases que no siguin nombres divisors de potències de 10 i exponent enter negatiu totes les seves expresions decimals són periòdiques
7) La xifra final de les potències d'exponent fix
La següent imatge resumeix el comportament de la xifra de les unitats de les potències quan anem variant la base. Per exemple, en relació a les potències d'exponent 4, el diagrama (tercer de la primera fila) indica que si la base és 1 el resultat també acaba en 1 (per això hi ha una fletxa circular que surt i arriba a l'1), si la base és 2 el resultat acaba en 6 (per això hi ha una fletxa que surt del 2 i arriba al 6), si la base és 3 el resultat acaba en 1 i així succesivament.
Els diagrames corresponents als exponents 2 i 3 ja havien sortit en els posts dedicats a nombres quadrats i nombres cúbics.
Crida l'atenció el patró de les potències d'exponent 5 i la relació entre les potències d'exponent n i les d'exponent n+4.
8) La xifra inicial de les potències de base 2
Quina és la primera potència de base 2 que comença amb 7? i amb 9?
Quin percentatge de les potències de base 2 comencen amb 1? (Font: Numberphile i OEIS)
En analitzar el comportament de la primera xifra de les potències de base 2 veiem que 1 és la que més es repeteix però poc a poc van apareixent totes les altres. el 7 no apareix fins la potència d'exponent 46, el 9 fins a l'exponent 53 i entre les primeres 100 potències de base 2, l'1 apareix trenta cops.
La següent imatge resumeix el comportament de la xifra de les unitats de les potències quan anem variant la base. Per exemple, en relació a les potències d'exponent 4, el diagrama (tercer de la primera fila) indica que si la base és 1 el resultat també acaba en 1 (per això hi ha una fletxa circular que surt i arriba a l'1), si la base és 2 el resultat acaba en 6 (per això hi ha una fletxa que surt del 2 i arriba al 6), si la base és 3 el resultat acaba en 1 i així succesivament.
Crida l'atenció el patró de les potències d'exponent 5 i la relació entre les potències d'exponent n i les d'exponent n+4.
8) La xifra inicial de les potències de base 2
Quina és la primera potència de base 2 que comença amb 7? i amb 9?
Quin percentatge de les potències de base 2 comencen amb 1? (Font: Numberphile i OEIS)
En analitzar el comportament de la primera xifra de les potències de base 2 veiem que 1 és la que més es repeteix però poc a poc van apareixent totes les altres. el 7 no apareix fins la potència d'exponent 46, el 9 fins a l'exponent 53 i entre les primeres 100 potències de base 2, l'1 apareix trenta cops.
Cap comentari:
Publica un comentari a l'entrada