Llumins i la desigualtat triangular

En una activitat de formació del curs de "Pràctica productiva" dirigida a mestres de Primària del seminari "Gràcia Barri Matemàtic" inspirant-nos en l'activitat Sticks and Triangles del projecte Nrich, varem platejar aquesta activitat

Aquí veieu les tres solucions possibles:

Vam veure que no totes les descomposicions del 9 en tres sumands ens permetien formar triangles. Per exemple, no hi ha cap triangle que tingui un costat format per 7 llumins i els altres dos costats formats per un llumí, perquè amb aquestes mides el triangle no es pot "tancar" (el mateix passa amb les descomposicions 1+2+6, 1+3+5 i 2+2+5).  Aquesta conclusió ens va portar a parlar de la "desigualtat triangular" com a conclusió lògica de l'activitat: en un triangle el costat major no pot superar a la suma dels altres dos costats.

Les descomposicions del 9 que si van donar lloc a triangles van ser: 1+4+4, 2+3+4 i 3+3+3. O sigui que vam obtenir dos triangles isòsceles i acutangles (un d'ells equilàter*) i un tercer triangle que vam classificar fàcilment com a escalè i amb una mica més de dificultats com a obtusangle.

*Nota: creiem que és molt important insistir en que la classificació que utilitzem (en aquest cas, per a triangles segons longitud dels costats) és jeràrquica i no particional, ja que parteix de considerar que a tots els triangles que tenen dos costats iguals els anomenem isòsceles, i dins d'aquests n'hi ha que a més compleixen que el tercer costat també té la mateixa longitud per la qual cosa té els tres siguin iguals. Aquesta és la raó que justifica que al paràgraf anterior hàgim dit que entre les solucions teníem dos triangles isòsceles i acutangles (un d'ells equilàter). 

Ens vam quedar amb ganes d'anar més enllà i per tant, vam proposar-nos resoldre el problema para 11 i 12 llumins.

Vam arribar a la conclusió que amb 11 llumins es poden representar 4 triangles diferents: tres isòsceles (dos acutangles i un obtusangle): 1+5+5, 3+4+4 i 5+3+3 i un triangle escalè (acutangle): 2+4+5

En la propera imatge es veuen els únics tres triangles que van poder representar amb 12 llumins:

Un d'ells és equilàter, un altre és també isòsceles i acutangle però amb un costat més petit que els altres 2 i el tercer triangle és escalè i rectangle.

Val la pena esmentar aquí dues propostes

• la de @jfontgon "Triangles i llumins", un applet fet amb Geogebra que permet visualitzar totes les solucions per a moltes quantitats de llumins

• la del Creamat: Construïm triangles amb llumins on, a més de complementar la discusió sobre la desigualtat triangular, s'analitza el patró entre el nombre de llumins i la quantitat de solucions possibles:

Un cas on separar casos parells i senars pot ser inspirador
i un bon exemple de taules que suggereixen patrons que
s'han de contrastar més enllà d'uns pocs casos particulars 

Ens va sorprendre la alta freqüència de triangles isòsceles entre les solucions i a partir de les solucions que oferia la pàgina del Nrich vam concloure que exceptuant amb el cas de 5 llumins (en el que només es pot representar un triangle i és escalè), fins al cas de 20 llumins com a mínim la meitat de les solucions possibles són triangles isòsceles:

Amb 3, 6, 7, 8 i 10 mistos la totalitat de les solucions possibles són triangles isòsceles

Amb 11 i 14 mistos, els triangles isòsceles són les tres quartes parts de les solucions

Amb 9 i 12 mistos, las dues terceres parts.

Amb 13 i 16 mistos, el 60%

Amb 15 i 18 mistos, una mica menys: el 57%

I amb 17, 19 i 20 mistos, exactament la meitat de les solucions són triangles isòsceles.

Encara que les dades que dona la pàgina del Nrich, no va més enllà dels 20 mistos, la davallada en la proporció de triangles isòsceles ja ens va fer sospitar que no sempre serien majoria.

Qui ens va ajudar amb la solució va ser The on-line encyclopedia of integer sequences: quantitat de solucions possibles i quantitats de solucions isòsceles que ens informa que per a 21 mistos tindríem 12 solucions i d'aquestes només 5 serien triangles isòsceles: 1+10+10, 3+9+9, 5+8+8, 6+6+9 i 7+7+7 davant de les set solucions escalenes: 2+9+10, 3+8+10, 4+7+10, 4+8+9, 5+6+10, 5+7+9 i 6+7+8.

El coneixements involucrats en les reflexions anteriors són a l'abast d'un alumne de cicle superior. Però si volem aprofundir en la classificació d'aquests triangles segons els seus angles el més còmode és recórrer al Teorema de Pitàgores per la qual cosa, aquesta darrera línia d'estudi estaria limitada a alumnes de l'ESO.

El teorema de Pitàgores, malauradament en la seva versió menys utilitzada a les aules de Secundària, ens permet classificar triangles: si el quadrat del costat més llarg:

• coincideix amb la suma dels quadrats dels altres dos costats estem davant d'un triangle rectangle
• supera a la suma dels quadrats dels altres dos costats estem davant d'un triangle obtusangle
• no arriba a la suma dels quadrats dels altres dos costats estem davant d'un triangle acutangle

Amb aquest resultat en ment és fàcil veure que dels 12 triangles de perímetre 12: cinc són acutangles (1+10+10, 3+9+9, 5+8+8, 6+7+8 i 7+7+7) i la resta són obtusangles.