Pràctica productiva: equacions de primer grau

Encara que ja havíem fet posts amb tasques que promoguessin la resolució d'equacions de segon grau o la resolució de sistemes de dos equacions de primer grau amb dues incògnites en un ambient de resolució de problemes, encara no havíem proposat tasques semblants per un tipus d'equacions que proposemb amb anterioritat als alumnes: les equacions de primer grau.

Els dos primers exemples s'inspiren en la proposta de @colinfoster77 a "Expression Polygons" i el tercer exemple, en la proposta de @openmiddle "Solving Equations with Variables on Both Sides"

TASCA 1:

a) Escriu sobre cada segment negre la solució de l'equació que resulta d'igualar els dos quadres associats a aquest segment. Què observes?

Als alumnes que no troben dificultats en aquesta primera part de la tasca els podem plantejar preguntes com aquestes:

• què passa amb les solucions si multipliques per 10 els termes independents de les quatre expressions? 
• i si els valors multiplicats són els coeficients del terme de primer grau?
• i si a cadascuna de les expressions li sumes el coeficients del terme de primer grau?

Després d'haver treballat amb aquestes preguntes, o altres de semblants, poden fer front a un repte com el següent:

b) Què expressions escriuries en els quadres per obtenir els sis primers nombres parells? I per obtenir 6 números de dues xifres consecutius?

TASCA 2: 

Tria tres nombres enters diferents i col·loca cadascun al lloc d'una de les estrelles Escriu sobre cada segment negre la solució de l'equació que resulta d'igualar els dos quadres associats a aquest segment. Fes-ho per diferents ternes de nombres inicials. Què observes?

El primer que observen els alumnes és que en ocasions els tres nombres que han d'escriure són el mateix i en la resta d'ocasions els tres nombres són diferents. Aquí, podem guiar-los per concloure que és impossible que en dos segments el valor coincideixi i en el tercer no com a conseqüència de la propietat transitiva de les igualtats. Però no els resulta fàcil veure quina relació tenen els tres nombres entre sí quan són diferents: un d'ells és la mitjana dels altres dos. En aquests casos, creiem que és bona idea suggerir-los que representin els tres nombres sobre una línia numèrica i allí podran observar que un dels tres nombres equidista dels altres dos. 

Quan vam proposar aquesta tasca a alumnes de #eso3sdk van trobar la mateixa dificultat per concloure que una de les solucions és la mitjana de les altres dos però un dels grups a partir de tres casos van arribar a una formulació molt propera:

TASCA 3:

a) Si omplim les cel·les amb nombres naturals diferents entre 1 i 9, quines solucions enteres es poden obtenir? I si no exigim que siguin enteres, quantes solucions diferents es poden obtenir?

b) Omple les cel·les amb nombres naturals diferents entre 1 i 9 perquè la solució sigui el més propera possible a √2

En relació a la primera pregunta del primer apartat, els alumnes hauran de veure que es poden obtenir com a solució qualsevol nombre enter entre -8 i 8 exceptuant el 0. Però si volen comptar totes les solucions diferents que existeixen han d'organitzar molt bé la feina:

• Una de les solucions és 1 que es pot aconseguir a partir de moltes equacions diferents (per exemple: 5x+7=4x+8) 
• Hi ha vint solucions més grans que 1: 8, 4, 8/3, 8/5, 2, 4/3, 7, 7/2, 7/3, 7/4, 7/5. 7/6 6, 3, 3/2, 6/5 5, 5/2, 5/3, 5/4, 
• aquestes fraccions les hem obtingut combinant els nombres1 a 8 per fer de numerador o denominador, però en aquest sentit, val a observar que 8/7 no és una solución possible a pesar de que el numerador i el numerador són números entre 1 i 8 
• Hi ha vint solucions entre 0 i 1 que són les inverses de les solucions més grans que 1 llistades abans
• Hi ha 41 solucions negatives que són les oposades de les 41 solucions positives esmentades abans 
• En total tenim 82 solucions diferents

També es pot preguntar directament, quina és la menor solució positiva que es pot obtenir. Així ho va plantejar l'Ainhoa L. als seus alumnes:

Zona verda "hi ha una única manera d'aconseguir el nombre més gran"
Zona rosa: "hi ha moltes maneres d'aconseguir el nombre més petit"

En relació a l'últim apartat poden veure que encara que cap d'aquestes equacions té un valor irracional com a solució, n'hi ha algunes que tenen solucions properes a √2:

• 8x+1=2x+9 té solucó 1.333... 
• 7x+1=5x+4 té solució 1.5
• o l'òptima: 7x+1=2x+8 que té com a solució 1.4

TASCA 4

Amb els coeficients (1,3,5,8) s'obtenen 12 solucions: 2/7, 2/3, 4/5, 5/4, 3/2, 7/2 i els seus sis oposats. Clarament (1,3,5,8) no és l'única quaterna de coeficients que dona lloc a 12 solucions racionals però no enteres, per exemple (2,4,6,9) dóna lloc a les mateixes solucions racionals però (1,3,6,9) dona lloc a "altres" 12 solucions no enteres: 3/8, 2/3, 5/6, 6/5, 3/2, 8/3 i els seus sis oposats (3/2 i -3/2 es repeteixen en els dos casos). Però la gran majoria de quaternes de dígits diferents sí que donen lloc a solucions enteres. Per exemple,

• (1,2,3,6) dona lloc a 12 solucions: 2, 3, 5, els seus inversos i els seus oposats, per tant, 6 solucions enteres que representen un 50% del total. 
• (1,2,3,8) dona lloc a 12 solucions: 3, 5, 7, els seus inversos i els seus oposats, per tant, també 6 solucions enteres que representen un 50% del total
• (1,2,3,4) dona lloc a 6 solucions diferents: 1, 3, els seus inversos i els seus oposats, per tant 4 solucions enteres que representen un 66,7% del total. 
• ...

Font: tasca 25 del document The Proving Ground – an introduction to mathematical proof

Pràctica de divisions decimals

Després d'haver introduït la divisió decimal fent repartiments de diners i d'anar, poc a poc, independizant-se del context arriba el moment de practicar el procediment. Aquesta pràctica es pot en un fer en un ambient de resolució de problemes a partir de la proposta de petites investigacions. A continuació relatem un exemple portat a l'aula.

Primer de tot es van proposar unes quantes divisions de nombres enters de dues xifres entre 9 (23:9, 32:9, 45:9, 56:9, 65:9, 71:9 i 17:9) i a partir dels resultats obtinguts es va veure que és molt habitual que el resultat sigui un decimal periòdic i que el període no canvia quan s’invertien les xifres del dividend. Com a ampliació a aquesta primera tasca es va suggerir una pregunta: passarà el mateix amb nombres de tres xifres?

En la discusió de tancament de la tasca es va concluoure que en dividir un nombre natural entre 9 havia dos possibilitats: el resultat era un nombre enter o el resultat era un nombre decimal periòdic i que aquest periode coincidia amb el residu de la divisió entera

Després del treball fet amb el divisor 9 es va proposar investigar que passava amb altres divisors Què passa en dividir un nombre enter entre 3? Quines possibilitats hi ha? 
 

Què passa en dividir un nombre enter entre 2? Quines possibilitats hi ha?

Què passa en dividir un nombre enter entre 4? Quines possibilitats hi ha?

Què passa en dividir un nombre enter entre 5? Quines possibilitats hi ha?

Què passa en dividir un nombre enter entre 6? Quines possibilitats hi ha?

Què passa en dividir un nombre enter entre 8? Quines possibilitats hi ha?

Què passa en dividir un nombre enter entre 7? Quines possibilitats hi ha?

Com sempre que fem investigacions hem de tenir clar que les conclusions a les que arribem són conjectures que poden ser molt febles si els experiments que fem són pocs o poc representatius.

Cometre errades en aquest tipus de context no ha desanimar a cap alumne per dos motius: l’objectiu de practicar divisions decimals ha estat plenament assolit i cometent aquest tipus d’errades ens apropem a entendre com es validen les afirmacions matemàtiques.

Una altra qüestió que ens vam plantejar era analitzar com es feien aquestes divisions amb calculadora. Vam començar plantejant quatre divisions:

I vam preguntar què tenien en comú els resultats obtinguts:

A continuació vam proposar que fessin les mateixes divisions amb calculadora i van trobar un resultat que els va sorprendre molt:


Inspirats en la tasca Noodle Whack, per acabar la classe vam proposar que els alumnes, amb l’ajuda de la calculadora i el que havien après sobre com s’han de llegir els resultats que dóna aquesta eina, trobessin noves divisions entre nombres enters que tinguessin un quocient decimal format per una mateixa xifra repetida:

Vam proposar als mateixos alumnes uns anys després una tasca inspirada pel blog Matemàtiques Marines. Es tracta de classificar fraccions segons el tipus d'expressió decimal que generin, o el que és el mateix, classificar divisions entre dos nombres enters segon el tipus de decimal que sigui el quocient:

Aquí podem veure treballs d'alumnes amb aquesta taula

• què passa en estendre aquesta taula cap a la dreta? 
• la idea és que vegin que els patrons de colors es repeteixen i el patró mínim és el que va des de la cel·la que està més a l’esquerra fins a la primera cel·la groga 
• què passa en estendre aquesta taula cap a baix? en quines files hi ha només cel·les grogues i taronges? en quines files hi ha només cel·les grogues i verdes? en quines files hi ha cel·les de tots els colors? 
• la idea és que vegin la relació entre les respostes a aquestes preguntes i els nombres primers que apareixen en la descomposició factorial del denominador

Expressió decimal de a/b amb a i b entre 1 i 100
(verd: enter, marró: decimal finit, groc: periòdic mixt, lila: periòdic pur)
(Font: document drive enlaçat al blog Matemàtiques Marines)

Els esquemes de Graham Fletcher

Fa uns dies, vam conèixer a través del sempre ben informat @druizaguilera aquesta sèrie de vídeos de @gfletchy que creiem que val la pena que recollim en un post ja que ens permeten reflexionar sobre la visió global que tenim sobre algunes temàtiques bàsiques de les matemàtiques en primària.

• inicis del comptatge 

Sobre aquest vídeo volem destacar l'ús que fa de les fitxes amb cares de dos colors per treballar les descomposicions dels dígits (minut 6:55)

• suma i resta

En aquest cas ens agraria destacar com utilitza la noció de "separar" per modelitzar la resta d'una manera que el portarà a fer transparent l'algoritme de la resta. (minut 4:50) 

• multiplicació 

Aquí destacarem l'ús que fa de la representació "pictòrica" com a pont entre el treball amb material manipulatiu i la representació simbòlica del treball fet amb el material (minut 3:40)

• divisió 

Deixant de banda que al final del vídeo dedica molt de temps a analitzar situacions que es fan més i més complexes a partir d'augmentar la quantitat de xifres del dividend i del divisor, que podria ser discutible, en aquest cas destaquem l'ús intensiu que fa del model rectangular de la multiplicació per recolzar els repartiments que involucren les divisions (minut 2:10)

• fraccions

A l'anàlisi que fa de l'estudi del significat, equivalència i comparació de fraccions destacarem la representació de fraccions sobre la línia numèrica des d'etapes molt més primerenques que les que acostumem a fer-ho per aquí.

Hi ha més informació sobre el treball de @gfletchy en el seu blog. Entre el seus posts destaquem especialment aquell en el que explica com es fan aquests vídeos.

Fraccions & Geometria

La representació gràfica de fraccions pot anar molt més enllà de exercicis en que demanem als alumnes  quina fracció representa la regió ombrejada en un cercle que s'ha dividit en 8 parts iguals de les que s'han pintat tres.

Podem plantejar als alumnes les mateixes situacions sobre figures una mica més "desafiants" però la tasca no ha variat substancialment perquè la divisió de la figura inicial en parts iguals ja ve donada.

Extret del "Quadern de treball" de "Matemàtiques - 6è" de l'Editorial Barcanova 

Però en aquest post ens interessa anar una mica més enllà i treballar la representació gràfica de fraccions fent ús de propietats geomètriques de les figures

Exemple 1: Geofraccionador és un applet preciós dissenyat per J. García Moreno que ens apropa a la línia que volem desenvolupar en aquest post

@transum ofereix una versió més senzilla però igualment amb interés: Fraction Dissect

Es pot portar aquesta idea a l'aula encara que no disposem d'ordinador:

Exemple 2: "What part?" era una proposta de Don Steward que vam trobar en el seu blog Median i la vam proposar a alumnes de 1r d'ESO  (ja no existeix l'entrada on vam veure aquesta proposta encara que la recull aquí)

Exemple 3: Hexagon fractions és una activitat de la mateixa font que l'exemple anterior que torna a reforçar la idea de la importància de dibuixar les línies auxiliars adequades

Proposta original: quina fracció de l'hexàgon està pintada de marró?

Figura original amb línies auxiliars afegides

Podem veure que el primer hexàgon marró és 18/24 = 3/4 de l'hexàgon groc, que el primer triangle marró és 9/24 = 3/8 de l'hexàgon groc, que el segon hexàgon marró és 3/4 del primer hexàgon marró (ho hem vist al primer cas d'aquesta sèrie) i per tant 9/16 de l'hexàgon groc i que el segon triangle marró és 1/2 de l'hexàgon groc.

Trobem un altre exemple a l'article de C. Foster "Avoiding Pythagores"

L'àrea marró és un terç de l'àrea de l'hexàgon groc.

Amb aquesta estratègia de dibuixar les línies auxiliars adequades podem descobrir propietats geomètriques molt interessants:

Exemple 4: si dividim els costats d'un triangle qualsevol en 2, 3 o 4 parts iguals i unim alguns dels punts obtinguts tal com es veu a la imatge, podem determinar quina fracció representen els triangles vermells respecte els triangles grans.

Unint la resta de punts de manera convenient queden determinats nous triangles que en compartir la mida de les seves bases i alçades tenen tots la mateixa àrea.

1er cas: Cada triangle petit  és ¼ del triangle gran, per tant, el triangle vermell és 1- ¾ = ¼ del triangle gran
2n cas: Cada triangle petit és 1/9 del triangle gran, per tant, el triangle vermell és 1- 6/9 = 1/3 del triangle gran
3er cas: Cada triangle petit és 1/16 del triangle gran, per tant, el triangle vermell és 1- 9/16 = 7/16 del triangle gran

Exemple 5: La regió taronja té per àrea dos novens de l'àrea de l'hexàgon (a partir de les línies auxiliars que apareixen en el 3r hexàgon es pot veure que la regió taronja n'ocupa 4 de 18)

Proposat per @matesymas

Les línies auxiliars no sempre són per dividir una figura en parts iguals entre sí tal com  ho veurem  en els següents dos exemples:

Exemple 5: en un octàgon regular si dibuixem dues diagonals com es veu a la imatge, l'àrea del rectangle és 1/2 de l'àrea total i les àrees dels trapezis 1/4 cadascuna.

Les línies auxiliars descomponen l'octàgon en 4 rectangles iguals (pintats de rosa) i 8 triangles iguals (pintats alguns de verd i uns altres de blau). Com el rectangle ocupa dos d'aquests rectangles i 4 dels triangles, la seva àrea és la meitat de l'àrea de l'octàgon i un argument anàleg es pot fer servir per relacionar les àrees dels trapezis amb l'àrea total.

Aquesta idea es pot extendre a altres polígons regulars de n costats (amb n parell): l'àrea del rectangle gris és 4/n de l'àrea total

http://www.walser-h-m.ch/hans/Vortraege/Vortrag97/Puzzle.pdf

Justificacions visuals

http://www.walser-h-m.ch/hans/Vortraege/Vortrag97/Puzzle.pdf

Solució inspirada en aquest tweet

Exemple 6: La següent imatge representa la justificació de que l'àrea del dodecàgon és 3/4 de l'àrea del quadrat que el circumscriu:

http://demonstrations.wolfram.com/KurschaksDodecagon/

Més exemples: 
Aquesta mateixa setmana @Simon_Gregg va publicar aquesta prova visual que explica per qué el quadrat groc representa un cinqué del quadrat gran

https://pbs.twimg.com/tweet_video/CVQG2l2U8AACEyv.mp4

El triangle groc té per àrea un cinquè de l'àrea del triangle equilàter a partir del qual es forma, unint un vèrtex amb un punt que triseca el costat oposat. 

Hi ha una demostració molt elegant a la pàgina 34 del llibre Math Made Visual: Creating Images for Understanding Mathematics de Claudi Alsina & Roger B. Nelsen. En aquest mateix llibre apareix com a exercici provar que l'àrea de l'Hexàgon vermell és dos cinquens de 'l'àrea del triangle equilàter a partir del qual es forma unint cada punt mig d'un costat amb punts que trisequen els altres costats.

L'espectacular pàgina GoGeometry és una font inesgotable d'aquest tipus de problemes. Com a mostra, us deixem només un parell d'exemples:

 http://www.gogeometry.com/problem/p122_marion_walter_theorem_proof_area.htm 

En relació al problema anterior, hem sabut a través del "Cuaderno de Cultura Científica" es coneix com a teorema de Marion i es pot generalitzar canviant la divisió de cada costat del triangle en tres parts per la divisió en n parts.

http://gogeometry.com/school-college/p983-regular-hexagon-point-triangle-area.htm