Decimals periòdics

Als cursos d'ESO molts cops veiem extensos exercicis de traducció entre fraccions i expressions decimals, però creiem que amb les eines que disposen els alumnes d'aquests mateixos cursos es poden fer coses molt interessants. Com a mínim poden proposar-los activitats més interessants que fer servir fórmules com aquestes:

photo credit: xurde via photopin cc

• Si el decimal és periòdic pur, la fracció té com a numerador el nombre inicial sense la coma menys la parte entera i per denominador un nombre format per tants nous com xifres tingui el període.
• Si el decimal és periòdic mixt, la fracció té com a numerador el nombre inicial sense la coma menys la parte entera seguida de l'avantperíode i per denominador un nombre format per tants nous com xifres tingui el període seguit per tants zeros com xifres tingui l'avantperíode.

A l'aula:

Podem descobrir que els decimals periòdics s'obtenen a partir de fraccions que en la seva forma irreductible tenen denominadors amb algun divisor primer diferent de 2 i 5. Encara més, podem descobrir que únicament quan tots els divisors primers del denominador són diferents de 2 i 5 obtindrem decimals periòdics purs, d'altra banda seran peròdics mixtos. I fins i tot es podria relacionar la longitud de l'avantperíode amb els exponents de 2 i 5 en la descomposició factorial del denominador.

I també podem jugar cercant patrons i curiositats en les expressions decimals de:

• fraccions amb denominador 7

En aquestes fraccions es pot veure una interessant regularitat entre les 6 xifres del seu període.

Treball d'una alumna de 2n d'ESO

      http://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_cyclique 

Una curiositat que també el compleixen fraccions de denominador 17, 19, 23, ...
Val a dir que 142857 té moltes més curiositats que podem analitzar a l'aula (hi ha alguns exemples a la pàgina 36 del llibre de David Wells: Prime Numbers: The Most Mysterious Figures in Math)

• fraccions amb denominador 13

Treball d'una alumna de 2n d'ESO

Val a dir que 076923 i 153846 tenen moltes més curiositats que podem analitzar a l'aula (hi ha alguns exemples a la mateixa pàgina dels llibre de Wells esmentat abans)

• les primeres fraccions amb denominador 19

Considerant les divuit primeres xifres decimals tal com es veu a la imatge s'obté un quadrat màgic!!

http://www.futilitycloset.com/2010/12/31/bewitched/ 

http://gaussianos.com/una-fraccion-muy-progresiva/

• la primera fracció amb denominador 729

La fracció 1/729 té un període de 81 xifres (les que apareixen en la imatge) que separades en nou grups de nou sense alterar l'ordre en el que apareixen formen nou nombres que difereixen en 11111111 (exceptuant en l'últim cas en que la diferència és de 11111112)

Una curiositat que es pot extendre a altres fraccions de numerador 1 i denominador una potència de base 9 (729=9·9·9).

• la primera fracció amb denominador 9801

El període de l'expressió decimal de la fracció 1/9801 està format per la llista de tots els nombres de dues xifres exceptuant el 98: 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11...96 97 99

Una curiositat que es pot extendre a altres fraccions de numerador 1 i denominador el quadrat d'un nombre en que totes les seves xifres són 9 (9801=99·99)

Comentari final: Fa un parell d'anys, el Gerard un alumne de segon després d'haver treballat a l'aula les particularitats de les fraccions de denominador 7, va trobar més propietats del nombre 142857 http://es.wikipedia.org/wiki/142.857, com que va sentir-se molt encuriosit al respecte li vam proposar que fes un estudi semblant per als períodes de les fraccions de denominador 13, el resultat del qual podeu trobar aquí.

A posteriori:
Una setmana després de la publicació d'aquesta entrada, en el bloc de Don Steward, apareixen alguns elements que poden ampliar la informació aquí presentada

• fraccions amb denominador 17

• respecte a les fraccions de denominador 19 ens dóna aquesta altra informació

Per acabar, en aquest fantàstic vídeo de @Lemnismath trobem esment al teorema de Midy que destaca una altra particularitat de diferents nombres que apareixen en els paràgrafs anteriors (períodes de longitud parell) 

• fraccions amb denominador 7: 142+857 = 999
• fraccions amb denominador 13: 076+923 = 153+846 = 999
• fraccions amb denominador 17: 05882352+94117647 = 99999999
• fraccions amb denominador 19: 052631578+947368421 = 999999999
• ...

Una manera de celebrar el dia de π

Amb motiu de la celebració del Dia de Pi, el passat 13 de març, vam proposar als alumnes de segon d’ESO de l'Escola Sadako que trobessin fraccions que aproximessin a aquest nombre, atenent a que π és el més famós dels nombres irracionals i ser un nombre irracional significa que no hi ha cap fracció que sigui igual a ell.

Aquests són alguns dels resultats d’aquest encàrrec:

• Les respostes més habituals van ser les resultants de truncar l’expressió decimal de π: 3,1415926535897932384626433832795028841971693...

• Però també vam trobar altres més originals resultants de l’aplicació dels coneixements dels alumnes sobre conversió de fraccions en decimals. Per exemple a la imatge tenim la proposta d’una de les alumnes:

En la línia d’aquest segon grup de respostes vam trobar moltes propostes:

Fraccions amb denominador més petit que 10: ¹⁶/₅, ¹⁹/₆, ²²/₇, ²⁵/₈ (en endavant: les fraccions en vermell representen aproximacions per excés i en verd, per defecte)

Entre aquestes fraccions proposades pels alumnes es troben les dues fraccions que millor aproximen a π entre les que tenen denominador més petit que 10: ²²/₇=3,142857 i ²⁵/₈=3,125.

La fracció que no va aparèixer en aquest grup va ser ²⁸/9 que és històricament rellevant, tal com vam comentar en el post "Abans de π", per ser la que els egipcis feien servir en els seus càlculs relacionats amb cercles i circumferències.

Fraccions amb denominador entre 10 i 100:   
 ³⁵/₁₁, ⁴¹/₁₃, ⁴⁷/₁₅, ⁶⁰/₁₉, ⁶³/₂₀, ¹⁷⁹/₅₇, ²⁰¹/₆₄, ²²³/₇₁, ²⁴⁵/₇₈, ²⁶⁶⁷/₈₅, ²⁸⁹/₉₂, ³¹¹/₉₉

Entre aquestes fraccions proposades pels alumnes, es troba la millor aproximació per defecte de π entre les fraccions irreductibles amb denominador de dues xifres: ³¹¹/₉₉=3,14. Però no va ser proposada la millor aproximació per excés de π: ³⁰⁵/₉₇=3,144329...

Fraccions amb denominador entre 100 i 1000:
³³³/₁₀₆, ³⁵⁵/₁₁₃, ³⁷⁷/₁₂₀, ⁶²⁹/₂₀₀, ²⁵¹³/₈₀₀

Malgrat, que només n’hi 5 de diferents, en aquesta ocasió sí que apareixen les dues millors aproximacions de π entre les fraccions irreductibles amb denominador de tres xifres: ³³³/₁₀₆ i ³⁵⁵/₁₁₃.

Aproximacions aquestes que tenen 4 i 6 xifres decimals, respectivament, coincidents amb el valor de π, el que indica el alt grau d’aproximació aconseguit amb aquestes fraccions.

• Hi ha un tercer grup d’alumnes que van fer indagacions pel seu compte per donar resposta a la tasca proposada per les seves professores.

Una alumna va comentar que Arquimedes (287 – 212 AC) ja havia establert que π era un nombre que estava entre ²²/₇ i ²²³/₇₁. Una altra alumna va ressaltar el valor històric d'una de les seves propostes: ³⁷⁷/₁₂₀,  l’aproximació feta servir per Ptolomeu (90 - 168 DC) en la seva obra Almagest:

Una altra alumna va demanar ajut al seu pare i entre els dos van proposar una estratègia per trobar fraccions que aproximin a π, agafarien una fracció equivalent a 3 i per fer-la “una miqueta” més gran sumarien 1 al numerador. Es així que van proposar ¹³/₄, ²²/₇ o ³⁴/₁₁. Fraccions que podriem expresar en la forma general ⁽³ⁿ⁺¹⁾/n. Val a dir que aquesta estratègia permet anar apropant-se a π quan el denominador augmenta fins al 7 però a partir d’aquí comença a allunyar-se per apropar-se, més i més, al nombre 3.

Un alumne, per la seva part, va comentar que es poden aconseguir millors aproximacions de π considerant més i més termes de la següent suma: 4-⁴/₃+⁴/₅-⁴/7+⁴/₉-⁴/₁₁+⁴/₁₃…. Aquesta afirmació és indubtablement certa però val a dir que la velocitat amb la que aquestes aproximacions s’apropen a π és realment escassa. També és interessant esmentar que cada cop que afegim un nou terme a aquesta llarga suma passem d’obtenir una aproximació per excés a una per defecte i a l’inrevés.

Applets, fraccions i mitjons

L'appet del mitjons

Us proposem que feu jugar als vostres alumnes amb aquest applet, a classe o a casa com a deures, i poder discutir a posteriori com s'ho han fet per decidir on han de posar cada mitjó.

Anar a l'applet 2/02/2012

Jugueu-hi vosaltres una estona. Com que no és complicat de càlcul, us recomanem que si ho esteu fent tot bé, cosa que no dubtem, us equivoqueu expressament un cop per veure què passa. També val la pena que veieu quines càlcul utilitzeu per a jugar (realment se n'utilitzen un munt).

I si no tenim ordinador?
Comencem per dir que un dòmino és un excel·lent material a l'abast que pot ser un bon recurs per a la a classe de Matemàtiques. En aquest cas, per a treballar fraccions ja que podem entendre que la fitxa que conté el 2 i el 4 dóna lloc a dues fraccions, depen com la posis: 4/2 i 2/4

A patir d'aquí, podem reproduir l'applet dels mitjons: es posa una fitxa, a l'atzar i a partir d'aquí es van aixecant les altres i col·locant-les en ordre d'esquerra a dreta. En aquest cas podem jugar en l'interval entre 0 i 1, com en l'applet (triant sempre el nombre més gran com a denominador) o en el (0,6) si triem la possibilitat de girar-les.

També podem fer construir les fitxes en cartolina per jugar amb els mateixos valors que presenta l'applet (treballa amb denominadors més alts). Presenta un inconvenient respecte a l'applet: com controlar les equivocacions. Una proposta és fer que els alumnes, en cas de discussió sobre un fitxa tirada, ho comprovin amb la calculadora a partir de les expressions decimals.

Mireu quina activitat més maca que ens proposen des de l'IES Marratxí (Mallorca), que els va fer mereixedors d'un premi del concurs Videomat 2016

En Fernando Corbalán, un dels divulgadors matemàtics més productius que tenim a prop, ens va explicar un joc que lliga perfectament amb el tema que tractem. Planteja una variant del joc en el que, un cop repartides les fitxes, enlloc de posar el nombre que coincideix cal col·locar la fitxa a la dreta si és més gran, a l'esquerra si és més petita i a dalt o a baix si és equivalent. Tres moments de la partida, en la que després de començar per 2/3 els jugadors han anat posant les seves fitxes.

Ordenem fraccions
Per acabar, presentem unes reflexions sobre ordenació de fraccions, partint del que podrien ser preguntes d'avaluació i respostes desitjades

1. Si per ordenar dues fraccions amb el mateix numerador com per exemple 2/5 i 2/6 els alumnes redueixen a comú denominador per a fer-ho, anem malament, ja que en tenen prou amb el "comú numerador"
2. Si de manera automàtica ens diuen que 2/5 > 2/6 no ens podem quedar aquí: demanem que ho justifiquin (si reparteixo 2 pizzes entre 5 persones me'n toca més que si la reparteixo entre 6, o bé la resposta més usual dels alumnes "si la reparteixo en 5 parts i n'agafo 2, és més gran que si la divideixo en 6 i n'agafo dues, ja que són parts més petites")
3. Ordena 12/24 i 13/25. Quin és el més gran? (13/25 perquè 12/24 és 1/2 i 13/25 és més gran que 1/2)
4. Si els alumnes apliquen la fórmula de multiplicar en creu per ordenar dos fraccions, una pregunta a constestar seria: per què funciona? qué és el que fem, en el fons?
5. Per ordenar 3/5, 4/12, 6/7, 14/28, 6/14, 12/46 i 7/28, sembla lògic fer connexions, simplificacions, passar a expressió decimal amb la calculadora i ordenar després. El que passa és que normalment no presentem cap problema que ho impliqui.
6. Per trobar una fracció entre dues donades, es poden sumar numeradors i denominadors. Proposem que ho justifiquin?

Per acabar una pregunta que en Francesc Esteva em va suggerir per als alumnes: després de preguntar quin era el següent de 5, de 8 de 256 etc, preguntar quin és el següent d'1/2: una bona manera d'entrar a la idea d'ordenació densa que plantejàvem a la pregunta anterior.

Que parlin ells!. Fraccions

Entretenir-se amb "nombres a l'abast" (nombres petits) és, al nostre entendre, una bona decisió en el treball de tot el currículum d'aritmètica.

Però no sempre ho fem així, per exemple, en treballar les quatre regles (+, -, x, :) passem tan ràpid com ens és possible a plantejar càlculs d'operacions algoritmitzades amb nombres que no es poden manipular mentalment. I també ho fem uns anys més tard quan comencem a treballar amb operacions amb fraccions, passant a "reduir a comú denominador" abans d'haver treballat prou el concepte de suma  entre parts d'un objecte.

Aprofitar el càlcul aproximat

Posats ja en el treball amb fraccions en l'àmbit dels nombres a l'abast, poden donar molt més joc situacions on el requeriment demanat sigui un càlcul aproximat enlloc d'un d'exacte. Per exemple podem proposar i discutir col·lectivament situacions que impliquin sumes tipus 1/4+2/3, o altres de semblants, però si ens posem en el camp del càlcul aproximat, la situació a discutir es converteix en una d'aquest tipus.

El plantejament de la pregunta, si la conduïm bé, pot portar a respostes diferents molt més riques que la simple suma.

Que parlin ells!

Amb aquest nom inaugurem avui una nova etiqueta en aquest bloc. Aquest va ser el nom d'un curs fet a l'Escola d'Estiu de Rosa Sensat del 2011 en el que es presentaven i discutien tipus d'activitats que generin discussió, no solament en la part inicial de la classe, sinó en el moment d'explicar i justificar la seva resposta, entrant de ple en la competència comunicativa. L'activitat anterior n'és un exemple.

Algunes respostes
Fem aquí una recreació de discussió mestra/alumnes en la part final de l'activitat.

• alumne: És més petit que 1... ja que 1/4 és més petit que 1/3
• mestra: Explica'm perquè 1/3 és més gran que 1/4

Una primera resposta, segurament la més abstracta és del tipus "1/4 és més petit que 1/3 ja que si reparteixo una pizza en quatre parts  els trossos que sortiran són més petits que si la divideixo entre tres".
Pero en poden sortir de molt diferents com per exemple la següent: "Ho he comptat sobre el rellotge. Serà més petit que 1. He pintat, 2/3 girant cap a la dreta sortint de les 12 i desprès he pintat 1/4 girant cap a l'esquerra l'altre tros de pizza (1/4) i no arriba a completar tot el rellotge".

 Aquest no és el dibuix fet per l'alumne, està fet a partir d'un programa al que pots accedir aquí

Respostes i models

Aquest tipus de respostes, com és lògic, solament se generen si hem utilitzat com a model el rellotge  El rellotge és un model útil per treballar fraccions ja que ens permet d'entrada treballar fraccions de denominador 2, 3, 4 i 6.

Cal tenir en compte  que, a més del  del concepte de fracció com a part d'un objecte, també hi ha el de part d'una col·lecció o d'un nombre.

Exemples

• Han passat les 2/3 parts del dia. Quina hora és? 
• Quina fracció de dia són 20 minuts?
• Falta 1/6 de dia per que siguin les 12. Quina hora és? 

Us animen a convertir activitats de classe en motiu de diàleg. Ens consta que hi ha força gent que ja ho fa. Si alguna persona d'aquestes és seguidora del nostre bloc, li demanem que ens enviï el que ha fet i així ho podem fer públic.

Fraccions: què vol dir "parts iguals"?

Una activitat de mesura

Vàrem posar-nos en una sala petita de l'escola Baloo, corria l'any 99, una càmera de vídeo filmaria el que ens proposàvem fer aquell matí amb alumnes de 6è. Sobre havia la taula una "caixa d'eines" (una caixa en la que hi ha de tot: cordills, paper quadriculat, regle graduat, escaire, cartabó, semicercle graduat, paper vegetal, calculadores, etc.) amb l'objectiu que siguin els alumnes qui triïn l'eina a l'hora de solucionar un problema.

Els alumnes entren en grups de quatre i a cada grup els plantegem la mateixa activitat: agafem quatre fulls iguals i doblegant de diferents maneres obtenim aquestes línies.

De cadascun del fulls separem, retallant, una de les seves parts

Posem les quatre figures sobre la taula i preguntem: d'aquestes quatre figures que hi ha sobre de la taula, quina és la que té l'àrea més gran?

Què van contestar els alumnes?
La primera resposta va ser francament desencoratjadora. Una mica més i pleguem!

• Manuel: L'àrea és com... allò del fútbol, oi?

El que buscàvem nosaltres en aquesta activitat és veure si els alumnes tenen clara la idea de fracció, i realment, apart de la desmoralització de la mestra veient el que "els ha quedat" de quan van fer àrees, es va produir una discussió molt interessant que no reproduïrem aquí, però de la que en fem un resum. Podeu llegir-ho complet a l'article "Del cuarto escondido a la idea de área: el material como modelo o contexto generador de problemas". (Carme Barba & David Barba. Aula 83/84. Juliol 1999, pg 46-49).

Finalment després de molt discutir i arribant a una mena de definició d'àrea com a "l'àrea és l'espai que ocupa una figura" van fer la seva primera conjectura 

• Marta: Doncs jo crec que és el triangle!
• Mestra: Podeu demostrar d'alguna manera que el triangle és el que té l'àrea més gran
• Tots: Podem "TOCAR-LOS" ?

La caixa d'eines i el camí cap a la solució
La majoria de grups van optar en primer lloc per la corda, posant-la sobre els costats fins a arribar a adonar-se'n que no els servia. Posteriorment van passar al paper quadriculat per a poder calcular làrea de cadascuna de les figures.

Cal destacar que cap del grups va utilitzar el regle graduat per mesurar costat i altura i aplicar la fórmula per ells ja coneguda. Sembla que si no és en un exercici de llibre de text, no té aplicació. Aixó ens porta a pensar que  l'aprenentatge de les fórmules de les àrees no ha esdevingut competencial.

A mesura que, gràcies al paper quadriculat,  anaven obtenint resultats, i veient que cada nova figura mesurada donava el mateix resultat que les anteriors, van arribar a enfurismar-se, fins a dir-li a la mestra.

• Ondia! si són iguals! TU (mestra) ens ho has fet retallar de una manera determinada per a enganyar-nos. No ens havies dit que era la quarta part!!!

Reflexionant sobre aquesta experiència veiem que aquí no solament es treballa el concepte d'àrea, sinó que, paral·lelament, implica també  el concepte de fracció que, de fet, esdevé la millor "eina" per a resoldre el problema. Solament un grup, va solucionar el problema utilitzant aquesta idea, sense necessitat de prendre cap mesura.

• Grup: Són iguals (sense mesurar res, a la primera)
• Mestra: Per què?
• Grup: Perquè cada part és 1/4

Una bona pregunta per discutir sobre fraccions
La pregunta clau seria: "què vol dir dividir en parts iguals quan parlem de fraccions". Veient les explicacions, propostes i exemples i discussions dels alumnes veurem realment que han entés. "Què parlin ells", però com començar?

photo credit: Edgar Barany via photopin cc

Per iniciar  la idea de fracció de manera coherent amb el concepte una activitat interessant por ser la següent. Els alumnes disposen d'una fulla o reproducció d'una fulla i preguntem: "Un cuc es menja una quarta  part d'aquesta fulla cada dia. Dibuixa quant s'haurà menjat aproximadament el primer dia". Posteriorment i utilitzant paper quadriculat cada grup valida qui s'acosta més a la quarta part. D'aquesta manera el concepte de fracció es lliga al de superfície el que ens permet atacar problemes molt més interessants.

Fraccions i textos escolars

La figura següent presenta l'activitat comentada anteriorment, ara en format text, amb la diferència que s'esmenta la quarta part. cosa que en l'activitat de retallar no es va fer.

 3x6-mat, Quandern 17, p18. Ed. Barcanova (2005)

Activitats d'aquest tipus ens obren les porten a una comprensió més completa de la idea de fracció. El problema està en que en la majoria de textos escolars els models gràfics utilitzats gairebé sempre són rectangles, quadrats o cercles dividits en parts d'igual forma, i no proposant divisions de mateixa superfície com per exemple els triangles de groc i vermell de la imatge anterior. Això implica que molts alumnes, i adults associïn que parts iguals vol dir necessàriament "mateixa forma" reducció malèvola del concepte de fracció com a part d'un objecte.

Materials per treballar la probabilitat: boles i urnes

Una manera natural de treballar amb fraccions
Imaginem que en una cursa d’obstacles, cada obstacle és una prova que no pots superar fins que no extreguis la bola adequada d'una urna. Però en cada obstacle pots triar si fas la versió A o B de la prova. Si en un cas tens les següents dues versions de la prova, quina triaries?

La relació amb l'ordenació de fraccions i amb el càlcul de probabilitats d'aquesta situació és innegable però podem proposar-la sense haver treballat abans cap dels dos temes de manera explícita a l'aula. Més aviat, podem considerar-la una molt bona situació inicial per introduir qualsevol dels dos temes.

A la Cursa de probabilitat de la Caixa de Varga es poden trobar dotze targetes que combinades entre si donen moltes oportunitats de fer comparacions de fraccions amb el mateix numerador, amb el mateix denominador, etc.

Boles indistingibles

Un problema interessant relacionat amb aquest material és el següent: Si saps que a l’urna hi ha tres boles blanques i una negra i extreus dues, per quina opció apostaries: treure dues boles del mateix color o dues de color diferent?

Aquest problema posa l'atenció sobre la dificultat de comptar bé totes les possibilitats quan tenim elements que no són fàcilment identificables com a diferents. Imaginem que a més de color aquestes boles tenen un nombre diferent cadascuna. Aquí no és difícil identificar l'espai mostral de l'experiment, o el que és el mateix, llistar tots els possibles resultats d'una extracció: 12, 13, 14, 23, 24 i 34. Ara la resposta esdevé senzilla: les dues opcions "treure dues boles del mateix color" o "treure dues boles de color diferent" són igualment probables.

Aquest problema de la distinció entre boles és el mateix que es presenta quan llancem dues monedes i els alumnes pensen que els resultats possibles són 3 quan en realitat són  4 i el mateix que es presenta quan llancem dos daus i els alumnes afirmen que només hi ha una possibilitat de que en sumar els resultats resulti un 11: que en un dau surti un cinc i en l'altre un sis. Aquests dos problemes els discutirem amb més detall en futures entrades del blog dedicades, una a monedes i l'altra a daus.

En aquest sentit, recomanem molt aquest applet del Juan Garcia Moreno:

Esmentat a http://www.didactmaticprimaria.com/2014/06/intuicion-probabilistica.html

També hem tractat aquest problema en la sessió dedicada a Probabilitat del mòdul 2 del curs ARAMAT:

En el primer cas analitzat tenim una bola dels color 1 i tres del color 2, en el segon, dues boles del color 1 i dues del color 2. Hem volgut analitzar amb més profunditat aquestes situacions:

En llegir aquesta taula crida l'atenció que 

• la probabilitat d'extreure boles de colors diferents en el cas en que hi hagi una bola del color 1 i p del color 2 és diferent de la probabilitat d'extreure boles de colors diferents en el cas en que hi hagi dues boles del color 1 i 2p del color 2 (la probabilitat per al cas 1-2 és major que per al cas 2-4) 
• en el cas que d'un color hi hagi dues boles la probabilitat d'extreure boles de colors diferents mai és del 50%

En Contingency in the Mathematics Classroom: Opportunities Taken and Opportunities Missed Tim Rowland justifica que la probabilitat és del 50% en el cas que la quantitat de boles de cada color siguin dos nombres triangulars consecutius (1 i 3, 3 i 6, ....)

Més activitats per fer amb boles i urnes
Amb aquest material també podem fer el problema Quants peixos hi ha en un llac? del que ja vam parlar en aquest blog: com podem estimar el nombre de total de boles que hi ha en una urna molt plena sense haver de comptar-les una a una?

A l'octubre de 2015 El Joan Jareño va publicar un post en el seu blog amb un problema molt senzill i de resposta molt poc intuïtiva que val la pena analitzar: En quin lloc sortitrà?

Traiem boles d'aquesta urna una a una: En quin
lloc pensem que apareixerà la primera bola negra?

Una altra activitat relacionada amb aquest material de la que ja hem parlat en aquest blog és Què hi ha dintre de l'ampolla? i de la qual podem trobar una versió virtual al mòdul ¿El azar es cuestión de suerte? del Màster on-line eMeC elaborat per l'Antoni Gomà i una altra a l'entrada In the bag del projecte NRICH.

I per suposat també podem parlar de la loto 6/49:

Els esquemes de Graham Fletcher

Fa uns dies, vam conèixer a través del sempre ben informat @druizaguilera aquesta sèrie de vídeos de @gfletchy que creiem que val la pena que recollim en un post ja que ens permeten reflexionar sobre la visió global que tenim sobre algunes temàtiques bàsiques de les matemàtiques en primària.

• inicis del comptatge 

Sobre aquest vídeo volem destacar l'ús que fa de les fitxes amb cares de dos colors per treballar les descomposicions dels dígits (minut 6:55)

• suma i resta

En aquest cas ens agraria destacar com utilitza la noció de "separar" per modelitzar la resta d'una manera que el portarà a fer transparent l'algoritme de la resta. (minut 4:50) 

• multiplicació 

Aquí destacarem l'ús que fa de la representació "pictòrica" com a pont entre el treball amb material manipulatiu i la representació simbòlica del treball fet amb el material (minut 3:40)

• divisió 

Deixant de banda que al final del vídeo dedica molt de temps a analitzar situacions que es fan més i més complexes a partir d'augmentar la quantitat de xifres del dividend i del divisor, que podria ser discutible, en aquest cas destaquem l'ús intensiu que fa del model rectangular de la multiplicació per recolzar els repartiments que involucren les divisions (minut 2:10)

• fraccions

A l'anàlisi que fa de l'estudi del significat, equivalència i comparació de fraccions destacarem la representació de fraccions sobre la línia numèrica des d'etapes molt més primerenques que les que acostumem a fer-ho per aquí.

Hi ha més informació sobre el treball de @gfletchy en el seu blog. Entre el seus posts destaquem especialment aquell en el que explica com es fan aquests vídeos.

Fraccions & Geometria

La representació gràfica de fraccions pot anar molt més enllà de exercicis en que demanem als alumnes  quina fracció representa la regió ombrejada en un cercle que s'ha dividit en 8 parts iguals de les que s'han pintat tres.

Podem plantejar als alumnes les mateixes situacions sobre figures una mica més "desafiants" però la tasca no ha variat substancialment perquè la divisió de la figura inicial en parts iguals ja ve donada.

Extret del "Quadern de treball" de "Matemàtiques - 6è" de l'Editorial Barcanova 

Però en aquest post ens interessa anar una mica més enllà i treballar la representació gràfica de fraccions fent ús de propietats geomètriques de les figures

Exemple 1: Geofraccionador és un applet preciós dissenyat per J. García Moreno que ens apropa a la línia que volem desenvolupar en aquest post

@transum ofereix una versió més senzilla però igualment amb interés: Fraction Dissect

Es pot portar aquesta idea a l'aula encara que no disposem d'ordinador:

Exemple 2: "What part?" era una proposta de Don Steward que vam trobar en el seu blog Median i la vam proposar a alumnes de 1r d'ESO  (ja no existeix l'entrada on vam veure aquesta proposta encara que la recull aquí)

Exemple 3: Hexagon fractions és una activitat de la mateixa font que l'exemple anterior que torna a reforçar la idea de la importància de dibuixar les línies auxiliars adequades

Proposta original: quina fracció de l'hexàgon està pintada de marró?

Figura original amb línies auxiliars afegides

Podem veure que el primer hexàgon marró és 18/24 = 3/4 de l'hexàgon groc, que el primer triangle marró és 9/24 = 3/8 de l'hexàgon groc, que el segon hexàgon marró és 3/4 del primer hexàgon marró (ho hem vist al primer cas d'aquesta sèrie) i per tant 9/16 de l'hexàgon groc i que el segon triangle marró és 1/2 de l'hexàgon groc.

Trobem un altre exemple a l'article de C. Foster "Avoiding Pythagores"

L'àrea marró és un terç de l'àrea de l'hexàgon groc.

Amb aquesta estratègia de dibuixar les línies auxiliars adequades podem descobrir propietats geomètriques molt interessants:

Exemple 4: si dividim els costats d'un triangle qualsevol en 2, 3 o 4 parts iguals i unim alguns dels punts obtinguts tal com es veu a la imatge, podem determinar quina fracció representen els triangles vermells respecte els triangles grans.

Unint la resta de punts de manera convenient queden determinats nous triangles que en compartir la mida de les seves bases i alçades tenen tots la mateixa àrea.

1er cas: Cada triangle petit  és ¼ del triangle gran, per tant, el triangle vermell és 1- ¾ = ¼ del triangle gran
2n cas: Cada triangle petit és 1/9 del triangle gran, per tant, el triangle vermell és 1- 6/9 = 1/3 del triangle gran
3er cas: Cada triangle petit és 1/16 del triangle gran, per tant, el triangle vermell és 1- 9/16 = 7/16 del triangle gran

Exemple 5: La regió taronja té per àrea dos novens de l'àrea de l'hexàgon (a partir de les línies auxiliars que apareixen en el 3r hexàgon es pot veure que la regió taronja n'ocupa 4 de 18)

Proposat per @matesymas

Les línies auxiliars no sempre són per dividir una figura en parts iguals entre sí tal com  ho veurem  en els següents dos exemples:

Exemple 5: en un octàgon regular si dibuixem dues diagonals com es veu a la imatge, l'àrea del rectangle és 1/2 de l'àrea total i les àrees dels trapezis 1/4 cadascuna.

Les línies auxiliars descomponen l'octàgon en 4 rectangles iguals (pintats de rosa) i 8 triangles iguals (pintats alguns de verd i uns altres de blau). Com el rectangle ocupa dos d'aquests rectangles i 4 dels triangles, la seva àrea és la meitat de l'àrea de l'octàgon i un argument anàleg es pot fer servir per relacionar les àrees dels trapezis amb l'àrea total.

Aquesta idea es pot extendre a altres polígons regulars de n costats (amb n parell): l'àrea del rectangle gris és 4/n de l'àrea total

http://www.walser-h-m.ch/hans/Vortraege/Vortrag97/Puzzle.pdf

Justificacions visuals

http://www.walser-h-m.ch/hans/Vortraege/Vortrag97/Puzzle.pdf

Solució inspirada en aquest tweet

Exemple 6: La següent imatge representa la justificació de que l'àrea del dodecàgon és 3/4 de l'àrea del quadrat que el circumscriu:

http://demonstrations.wolfram.com/KurschaksDodecagon/

Més exemples: 
Aquesta mateixa setmana @Simon_Gregg va publicar aquesta prova visual que explica per qué el quadrat groc representa un cinqué del quadrat gran

https://pbs.twimg.com/tweet_video/CVQG2l2U8AACEyv.mp4

El triangle groc té per àrea un cinquè de l'àrea del triangle equilàter a partir del qual es forma, unint un vèrtex amb un punt que triseca el costat oposat. 

Hi ha una demostració molt elegant a la pàgina 34 del llibre Math Made Visual: Creating Images for Understanding Mathematics de Claudi Alsina & Roger B. Nelsen. En aquest mateix llibre apareix com a exercici provar que l'àrea de l'Hexàgon vermell és dos cinquens de 'l'àrea del triangle equilàter a partir del qual es forma unint cada punt mig d'un costat amb punts que trisequen els altres costats.

L'espectacular pàgina GoGeometry és una font inesgotable d'aquest tipus de problemes. Com a mostra, us deixem només un parell d'exemples:

 http://www.gogeometry.com/problem/p122_marion_walter_theorem_proof_area.htm 

En relació al problema anterior, hem sabut a través del "Cuaderno de Cultura Científica" es coneix com a teorema de Marion i es pot generalitzar canviant la divisió de cada costat del triangle en tres parts per la divisió en n parts.

http://gogeometry.com/school-college/p983-regular-hexagon-point-triangle-area.htm