24 de març de 2012

Una manera de celebrar el dia de π

Amb motiu de la celebració del Dia de Pi, el passat 13 de març, vam proposar als alumnes de segon d’ESO de l'Escola Sadako que trobessin fraccions que aproximessin a aquest nombre, atenent a que π és el més famós dels nombres irracionals i ser un nombre irracional significa que no hi ha cap fracció que sigui igual a ell.

Aquests són alguns dels resultats d’aquest encàrrec:
  • Les respostes més habituals van ser les resultants de truncar l’expressió decimal de π: 3,1415926535897932384626433832795028841971693...
  • Però també vam trobar altres més originals resultants de l’aplicació dels coneixements dels alumnes sobre conversió de fraccions en decimals. Per exemple a la imatge tenim la proposta d’una de les alumnes:







En la línia d’aquest segon grup de respostes vam trobar moltes propostes:

Fraccions amb denominador més petit que 1016/5, 19/6, 22/7, 25/8 (en endavant: les fraccions en vermell representen aproximacions per excés i en verd, per defecte)
Entre aquestes fraccions proposades pels alumnes es troben les dues fraccions que millor aproximen a π entre les que tenen denominador més petit que 10: 22/7=3,142857 i 25/8=3,125.

La fracció que no va aparèixer en aquest grup va ser 28/9 que és històricament rellevant, tal com vam comentar en el post "Abans de π", per ser la que els egipcis feien servir en els seus càlculs relacionats amb cercles i circumferències.

Fraccions amb denominador entre 10 i 100 
 35/1141/1347/1560/1963/20179/57201/64223/71245/782667/85289/92311/99
Entre aquestes fraccions proposades pels alumnes, es troba la millor aproximació per defecte de π entre les fraccions irreductibles amb denominador de dues xifres: 311/99=3,14. Però no va ser proposada la millor aproximació per excés de π: 305/97=3,144329...

Fraccions amb denominador entre 100 i 1000:
333/106, 355/113, 377/120629/2002513/800

Malgrat, que només n’hi 5 de diferents, en aquesta ocasió sí que apareixen les dues millors aproximacions de π entre les fraccions irreductibles amb denominador de tres xifres: 333/106 i 355/113.

Aproximacions aquestes que tenen 4 i 6 xifres decimals, respectivament, coincidents amb el valor de π, el que indica el alt grau d’aproximació aconseguit amb aquestes fraccions.
  • Hi ha un tercer grup d’alumnes que van fer indagacions pel seu compte per donar resposta a la tasca proposada per les seves professores.
Una alumna va comentar que Arquimedes (287 – 212 AC) ja havia establert que π era un nombre que estava entre 22/7 i 223/71. Una altra alumna va ressaltar el valor històric d'una de les seves propostes: 377/120,  l’aproximació feta servir per Ptolomeu (90 - 168 DC) en la seva obra Almagest:

Una altra alumna va demanar ajut al seu pare i entre els dos van proposar una estratègia per trobar fraccions que aproximin a π, agafarien una fracció equivalent a 3 i per fer-la “una miqueta” més gran sumarien 1 al numerador. Es així que van proposar 13/422/7 o 34/11. Fraccions que podriem expresar en la forma general (3n+1)/n. Val a dir que aquesta estratègia permet anar apropant-se a π quan el denominador augmenta fins al 7 però a partir d’aquí comença a allunyar-se per apropar-se, més i més, al nombre 3.

Un alumne, per la seva part, va comentar que es poden aconseguir millors aproximacions de π considerant més i més termes de la següent suma: 4-4/3+4/5-4/7+4/9-4/11+4/13…. Aquesta afirmació és indubtablement certa però val a dir que la velocitat amb la que aquestes aproximacions s’apropen a π és realment escassa. També és interessant esmentar que cada cop que afegim un nou terme a aquesta llarga suma passem d’obtenir una aproximació per excés a una per defecte i a l’inrevés.

1 comentari: