14 de març de 2012

Abans de π


L'altra dia vaig trobar...
 
L'altra dia naufragant, més que navegant, per you tube vaig trobar un vídeo, no gens engrescador, però interessant per el que tractava anomenat més o menys "Mètode del càlcul de l'àrea del cercle a Egipte" en la que presentava una manera de calcular-la força enginyosa. 

El mètode consistia en calcular l'àrea d'un octàgon obtingut a partir del quadrat circumscrit a la circumferència i dividit en 9 quadrats (veure figura) d'àrea 1/9 de la del quadrat gran. 


Calcular l'àrea del octàgon en relació al quadrat que el conté es redueix a fer una suma de fraccions de resultat 7/9. Aquest era el mètode amb el que els egipcis calculaven l'àrea del cercle: multiplicant el quadrat del seu diàmetre per 7/9.

El mètode es enginyós i si ara "fem números" i comparem el grau d'aproximació aconseguit comparant-lo amb el càlcul a partir del des càlcul utilitzant π, ens trobem amb que l'error és mínim (de l'ordre de les centèsimes) veient els problemes que normalment es fan en aquestes edats.

M'agrada  aquesta idea, sobretot de cara a Primària, ja que normalment per presentar π (el primer nombre amb nom propi a Primària i a sobre irracional), per molt que mesurem la longitud d'objectes "rodons" amb cordes i dividim pel diàmetre, per trobar la relació entre ells, qui més qui menys acabem fent un "salt" més o menys com aquest "veieu com s'acosta molt a 3... doncs és 3,14 (quan jo era petit era 3,14 16). M'agrada la idea de calcular l'àrea del cercle així ja que és una manera més intuïtiva de buscar-la, i que a més implica un treball conceptual d'unitats de superfície i fraccions.

Consulta a l'oracle: una relació epistolar
De totes maneres em faltava ampliar  informació, i una bona sortida en casos com aquest és escriure al bon amic, el mallorquí Pep Lluís Llompart per fer-li la consulta. La seva resposta no es va fer esperar i finalment crec que més que agrair la seva col·laboració, és millor reproduir la conversa.

6/03/2012
Hola Pep:
"Valtros" els mallorquins que ho sabeu gairebé tot  entre els tres que conec, em podríeu informar. oh gran oracle per a solucionar els meus dubtes?
Vaig veure en un post fa un temps el càlcul de l'àrea d'un cercle, que l'autor l'associava als egipcis i en la que la figura dibuixada és com la que t'envio. He mirat coses però no se on trobar més informació.
7/03/2012  
Bon vespre David,
Després d'encendre encens, deixar la ment en blanc i invocar  l'Horus, m'ha estat revelat el següent:
En el llibre de Richard J. Gillings, Mathematics in the time of the Pharaohs (Dover editions), molt recomanable fins i tot per als que sabem poquet anglès com jo, afirma que el problema que cites és el núm. 48 del papir Rhind. Te pas una transcripció del papir del mateix Gillings.Ara m'ho mir amb més calma, o directament te fotocopiaré algunes pàgines.
Salut oh Barbut!
Pep Lluís sense alís (Vitex agnus-castus)
PS: "Valtros" em sona més eivissenc. Per aquí, "voltros"
Una mica més tard va arribar un segon mail

Ara veig que realment el tema afecta dos problemes del papir del Rhind:
Diu Gillings
Problema 50: com trobar l'àrea d'un cercle.
A partir d'un exemple (ja sabem que no tenien àlgebra simbòlica) el que ens diu és que per calcular l'àrea es pren el diàmetre, se li resta la novena part, i es fa el quadrat de la resta.
D'aquesta manera, l'error comès entre l'àrea calculada i la real és de 0,6% per excés. Percentatge que podem atribuir a Pi.



Però realment l'octàgon que cites és al problema 48. Te pas les imatges que surten al llibre d'en Gillings.

Salut,
Pep Lluís






Cloenda i proposta
Calcular a classe l'àrea d'un cercle "abans de π" és fer veure als alumnes que les coses necessiten el seu temps, que va haver de passar molt temps per trobar aquesta senzilla "fórmula" i si ho fem a Secundària parlar de π com a exemple d'irracional és una bona presentació.
Desitgem que passeu un bon 14 de març, dia de π de la manera més divertida possible, i si voleu obrir alguna ampolla no oblideu triar un estri adient al dia, que el bon amic Joan Jareño ens va fer arribar fa uns quants dies.

clicar imatge per accedir a la pàgina 14/03/2012

Bon dia de π! tot i que als partidaris de "Tau" no els hi farà massa gràcia.

1 comentari:

  1. El problema 50 del papir Ahmes Diu: "Un camp circular té 9 khets de diàmetre. Quina és la seva àrea?". La solució que dóna és "restar 1/9 al diàmetre, és a dir, 1 khet. El que queda són 8 khets. Mutiplicar 8 per 8 per obtenir 64. Conté, per tant, 64 'setas' (hkets quadrats) de terra". Tinc una petita "mostració" que no m'hi vcap en aquest marge, que el valor de Pi que s'obté és de 3,1605 i la fórmula de l'àrea del cercle (8/9*d)^2. Ho he tret del llibre (magnífic) "La cresta del pavo real" de G. Gherverghese.

    J(ito)

    ResponElimina