Problemes irresolubles a l'ensenyament obligatori?

Hi ha alguns problemes matemàtics que van romandre sense ser resolts per molts anys (alguns d'ells encara avui no han estat resolts) i que poden ser "entesos" pels nostres alumnes. Òbviament, en presentar-los a l'aula, volem analitzar en què consisteix el problema i no en trobar la seva solució amb els alumnes. I creiem que té interès analitzar alguns d'ells a l'aula perquè tracten temes curriculars d'una manera entretinguda per als alumnes i fàcil d'implementar pel professor.

Dos exemples: 

Problema 1: fins a quina bola has arribat? (adaptació del problema de Schur)

Tenim dos barrets i boles numerades des del nombre 1 cap endavant. El problema consisteix en posar la major quantitat possible de boles als barrets amb dues condicions:

* les boles es van posant dins dels barrets en ordre, primer la bola 1, després la bola 2, etc

* per posar una bola en un barret, el valor de la bola ha de ser diferent al valor de les sumes que es poden obtenir a partir de dues boles que hi ha dins.

Posem un exemple:

Imatge 1. La bola 1 ha estat posada al segon barret,
Imatge 2. Les boles 2 i 3 han estat posades al primer. Ara cal posar la bola 4: pot anar a qualsevol dels dos barrets. Es tria el primer.

Imatge 3. On anirà el 5?: No es pot posar al primer barret atès que les boles 3 i 2 sumen 5 per tant haurà d'anar al segon barret.

Imatge 4.  En intentar posar la bola 6 s'acaba el joc ja que no es pot posar posar ni al primer ni al segon barret.

Proveu-ho ara vosaltres: fins a quina bola heu arribat? heu aconseguit posar el 6? i el 7? Oi que també és possible aconseguir una distribució de fins a 8 boles en dos barrets?

El problema pot continuar amb tres barrets (que és l'exemple que veureu al vídeo que hi a continuació fet amb alumnes de "grade 2"), amb quatre, amb cinc, etc. Tot i que fer-ho amb tres ja es un bon problema. 

Problema 2: Gratacels alineats  (adaptació del problema de Dudeney dels tres punts no alineats)

Col·locar 8 edificis sobre un paper puntejat de 4x4 de manera que no hi hagi tres edificis en línia recta.

Aquesta és una de les 4 solucions

Cal dir que el que es planteja a l'activitat no és solament trobar una solució sinó trobar-les totes. Us podeu divertir una estona resolent el problema o posant-lo als vostres alumnes també amb graelles de 5x5 o més grans.

Podeu veure un vídeo sobre aquest problema a l'aula (en anglès) en "grade 1". Clicar imatge per accedir a vídeo (en anglès)

D'on surt aquesta proposta?

Aquests problemes pertanyen a una col·lecció més amplia, que proposa un problema d'aquest tipus per nivell,  que hem conegut gràcies al James Ward (@jimmybcn2) i que podeu trobar a: http://mathpickle.com/unsolved-k-12/

Resta portant-ne (IV) una proposta molt engrescadora

Càlcul en columnes

Un dels debats eterns en l'ensenyament de les Matemàtiques a Primària és el paper, les dificultats i les metodologies que implica l'aprenentatge dels algorismes estàndard. Serveixi com a exemple paradigmàtic la resta portant-ne, protagonista absolut dels darrers 40 anys i tema del post "estrella" (el més visitat) d 'aquest bloc.

Segurament aquesta excessiva durada del debat té a veure amb les implicacions socials i escolars que representa el paper central que els algorismes escrits tenen tant per a pares com per a alguns mestres. Però deixant de banda el seu paper com a contingut el problema dels algorismes estàndard a l'escola es pot resumir en aquesta frase: "l'algoritmització prematura provoca passivitat cognitiva". Dit en altres paraules: presentar els algorismes abans de temps potencia una "actitud d'espera" en els alumnes. 

Actualment sembla que comença a haver un consens: apostar per l'endarreriment en la presentació dels algorismes estàndards i resoldre les situacions aritmètiques que es puguin presentar amb estratègies més transparents. Això permet que els alumnes lliguin les seves estratègies emergents amb els instruments de càlcul que utilitzen.

Un d'aquests instruments és l'anomenat càlcul en columnes al llibre de l'Institut Freudenthal Childrens learn Mathematics . Un instrument en el que s'aprofiten els coneixements que els alumnes tenen del sistema posicional (unitats, desenes i centenes) per obtenir el resultat de les operacions. 

Sumar en columnes

Aquesta és l'anomenada suma en columnes. Com es pot observar es recolza en el valor real de le xifres segons el lloc que ocupen i no cau en consider-los tots com a dígits (el 4 de 453 són 400 i no 4). Veiem el procés pas a pas:

400 + 200 = 600

50 + 40 = 90

3 + 8 = 11

Per acabar la suma final s'acostuma a fer mentalment: 690 + 11 = 701

Les diferències bàsiques entre el càlcul en columnes i l'algorisme estàndard serien:

1. L'algorisme en columnes treballa amb quantitats, metre que l'estàndard treballa amb dígits, la qual cosa entra en confrontació directa amb el treball d'identificació de desenes i centenes just en el moment que s'estan coneixent.
2. L'algorisme en columnes és transparent i s'associa fàcilment amb un context de diners (sumar bitllets de 100, de 10 i monedes d'euro) que és com s'introdueix. L'algorisme estàndard en ser més comprimit no és tan transparent: el "portar-ne una" no és de comprensió immediata.
3. L'algorisme estàndard és el punt i final d'un procés de compressió, per tant és més eficient, ocupa menys lloc i és un fet cultural important de les Matemàtiques. Per aquestes raons no hi estem en contra, sinó que posem sobre la taula els inconvenients derivats de la seva introducció prematura i les dinàmiques escolars que comporta actualment.

El discurs associat
"Fer sumes" hauria de venir associat a la resolució de problemes i no presentat de manera aïllada en fulls apart o quaderns. Davant un problema com: "En Jaume ha comprat per regalar dos telèfons mòbils. Un, per a la seva dona, que ha costat 453 € i l'altre, per a la seva filla, que ha costat 248 €. Quant han costat en total?" L'alumne té dues tasques: identificar l'operació que cal fer i trobar el resultat utilitzant les estratègies i habilitats que té en aquell moment al seu abast. A l'hora de fer l'operació, els alumnes poden recolzar-se en el context per resoldre la suma, convertint així l'exercitació en la resolució d'un problema.

A l'hora de calcular les sumes parcials apareixen les estratègies emergents dels alumnes, Per exemple: en la suma presentada anteriorment, per fer 400 + 200 poden sorgir diferents estratègies de resolució més sofisticades o no en funció de les habilitats que dominin, per exemple:

1. 400 + 200 = 600, si domina l'habilitat de comptar de 100 en 100
2. 400 € + 200 € si es recolza en el context com a mecanisme de seguretat
3. 4 bitllets de 100 i 2 bitllets de 100 són 6 bitllets de 100, per tant 600 aprofitant l'estructura de poder comptar bitllets.

És important "que parlin ells" explicant com ho han calculat  i que no ens fixem solament en el que està escrit, ja que així discutim, comparem estratègies i podem incidir en millorar-ne l'eficàcia

Presentem un exemple d'un "discurs associat" a l'operació

Resta en columnes i resta portant-ne

En el cas de les restes sense portar-ne el procés és el mateix que en el cas de la suma, amb algun canvi en el discurs. Per exemple utilitzar "em queden" per a identificar els resultats de les restes parcials. Però el gran avantatge que hi veiem és que quan la resta és "portant-ne" els ofereix un model clar, transparent i entenedor per resoldre les restes d'aquest tipus. Veiem un exemple:

Veiem que, per una banda, el context de treballar amb diners estalvia qualsevol tipus d'instrucció directa donada des de fora. Els primers passos són fàcils ja que tenir 400 € i pagar 200 € implica que encara et quedin 200 €. El canvi es presenta a l'hora d'haver de pagar 8 € quan solament en tens 3. De fet no pots: en deus 5 (el vocabulari pot ser el que us sembli més adient) i escrivim "- 5", associant el signe "-" a l'expressió "en dec". Un cop fetes les restes parcials el càlcul últim és senzill: "si em queden primer 200 € i després 10, me'n queden 210 i si en dec 5, al final em quedo amb 205 €"

Idees finals

Hem posat un exemple, el cas en que la dificultat està en les unitats, però s'estén sense dificultat a altres casos ( a les desenes o a desenes i unitats a la vegada) proveu-ho.

Creiem que l'algorisme en columnes és una gran alternativa per a solucionar les operacions a cicle inicial ja que globalitza la comprensió del sistema de numeració decimal treballant contínuament amb descomposicions de nombres i dóna un model transparent tant per la suma com per la resta.

De totes maneres cal anar amb compte: estem parlant d'una manera de fer Matemàtiques centrada en resoldre situacions. Si ara s'adopta el càlcul en columnes i d'aquí a 3 anys comencen a sortir "quaderns de càlcul en columnes" per exercitar-lo, ens estem equivocant ja que oblidem el context.

Un últim apunt: solucionant les restes per l'algorisme en columnes desapareix el "contingut" restes portant-ne: no es necessita. Aquest aspecte és específic del algorisme estàndard: quan el dependent de la botiga et torna el canvi d'un bitllet de 50€, en algún moment pensa "en porto una"?

Comentari curricular

La LOE, a Catalunya ha desplaçat la introducció de l'algorisme de la resta portant-ne a Cicle Mitjà. Estem completament d'acord, ja que endarrereix la presentació i això ens sembla positiu, però què passa amb els problemes? deixarem de fer problemes de resta portant-ne? De cap manera: gràcies a la resta en columnes podrem atacar qualsevol problema de resta que es presenti a cicle inicial tal i com fèiem abans, però a més sense necessitat de preocupar-nos per fer entendre un algorisme gens transparent.

Amb aquest post donem per acabada (si és que no hi ha algun canvi inesperat) la sèrie de quatre posts sobre resta portant-ne
Posts relacionats: Resta portant-ne (I), Resta portant-ne (II) i Resta portant-ne (III)

Nombres primers, compostos i quadrats

Gràcies a un tuit de la "particular" Vi Hart (@vihartvihart  o http://vihart.com) hem conegut un applet que comença amb una imatge com aquesta:

La primera imatge que apareix representa la sèrie d'arcs de circumferència de radi: 1, 2, 3, etc. Quan activem la "pel·lícula" es va formant una espiral.

A mesura que avança, es van acolorint de vermell els nombres primers i veiem, per exemple (veure figura inferior) que el 51 està alineat amb el 3 i el 17 i 51 és 3x17. Ens preguntem: passa sempre que el nombre final és el producte dels nombres que estan alineats amb ell? Quina informació ens donen els nombres que surten alineats amb d'un nombre determinat? Com veieu és una magnífica ocasió per convidar als alumnes perquè "parlin ells"

 

Aquesta espiral ens va fer pensar en una imatge famosa, davant  de la qual la pregunta que s'acostuma a fer és: qué és això?

I la resposta és "el gargot d'Ulam": els nombres primers pintats en una quadrícula en espiral començada des del centre. Convida a pensar que aquests maleïts nombres primers deuen tenir alguna regularitat encara no trobada. Si voleu conèixer més a fons aquesta història us remetem a la fantàstica exposició sobre "quadrats" dissenyada per la gent de la societat balear Xeix. Us presentem una petita mostra que pot donar lloc a una gran feina amb l'alumnat.

Finalment, comentarem un altre applet que resol de manera notable la representació de divisors d'un nombre. En la part central veiem el gràfic, a sota el nombre, en aquest cas el 36 i a la dreta la seva descomposició en nombres primers.

Si llegim de fora cap a dintre viem que hi ha:

• Un cercle blau gran que conté 3 cercles blaus petits 
• Cada cercle blau petit conté 3 cercles grocs
• Cada cercle groc conté 2 cercles grocs petits
• Cada cercle petit conté 2 punts, el que finalment ens porta a 3x3x2x2

Creiem que és una representació que permet crear preguntes interessants i reptes de cara als nostres alumnes, com per exemple:

• Aquí veiem les representacions de quatre nombres: el 6, el 7, el 8 i el 9. Troba un altre nombre que tingui la mateixa representació que el 7 (és a dir sense subgrups)

 

• Donat un nombre, dibuixa el gràfic (es pot fer manipulativament representant la  quantitat  amb fitxes de parxís). 
• Molts nombres tenen més d'una representació. Donat un nombre, fes totes les representacions possibles. Per exemple, el 30 dóna gràfics diferents segons es comenci la descomposió per 2x15, 3x10 o 5x6. 
• Els nombres primers tenen una sola representació possible. Hi ha altres nombres que la tinguin?
• Donat un gràfic "mut" (amb cercles però sense els punts) troba alguns nombres que responguin a aquesta estructura

Esperem que en aquest començament de curs encara pugueu fer un espai per a enquibir alguna d'aquestes idees al llarg de l'any, si és que us han agradat.

Afegitó (7/11/12)
Una altra animació preciosa

Al següent vídeo podem veure una activitat relacionada amb aquest applet que proposa @martapb87 als seus alumnes de 6è  

La regla de tres

Aquestes precioses il·lustracions pertanyen a un quadern de problemes escrit l'any 1932 per l'Anicet Villar, mestre del grup escolar Pere Vila de Barcelona. La raó per dedicar-li un post és que a la introducció al quadern ens ha semblat veure, en certs aspectes, una proposta propera al que pensem actualment sobre el que haurien d'aprendre els alumnes.

 La introducció: una declaració d'intencions

Volem destacar tres idees interessants que ens suggereix la seva lectura. La primera la trobem quan diu que l'alumne "descobreixi el fil de les relacions que hi ha entre els diferents problemes del mateix tipus", desplaçant així el punt de mira d'una proposta d'un llistat de problemes per entrenar de manera irreflexiva a un llistat de problemes per descobrir-hi relacions.

El segon aspecte ens acosta a la comunicació. No sabem si la pretensió de l'autor era únicament explicar a l'alumne com es resolia aquell tipus de problema en concret. Però, vist amb ulls d'ara i pensant en termes de comunicació, la seva pretensió podia ser donar pautes perquè els alumnes expliquin en forma de text la seva resolució d'aquell tipus de problemes, entrant de ple en la competència comunicativa.

El tercer aspecte i la regla de tres

Fins ara se'ns podria acusar de "lectura parcial o interessada" de les intencions de l'autor, veient coses que potser no són així. Però en l'últim paràgraf de la introducció en la que fa referència explícita a la "regla de tres" o a determinades fórmules d'economia domèstica, no hi ha dubte: les seves indicacions i el que pensem ara estan molt properes: defuig la presentació de fórmules per defensar un treball molt més conceptual. 

Reproduïm aquí sota el paràgraf esmentat:

"Els problemes de regla de tres, d'interès, etc., es resolen per reducció a la unitat, o potser millor dit, per raonament lògic prescindint de tota regla més o menys artificiosa. El mestre que vulgui ensenyar aquestes regles com a mitjà ràpid i mecànic de trobar la solució farà bé sempre que el nen estigui preparat de tal manera que, encara que oblidés les regles fos capaç de resoldre els problemes per discerniment propi"

Si el pobre Anicet veiés l'èxit que té actualment explicar la regla des tres a moltes de les nostres aules, no descansaria en pau. 

Aquest exemple ens dóna entrada a una pràctica, malauradament massa estesa encara en la nostra realitat educativa: l'administració sistemàtica i contínua de "formules màgiques" específiques que solucionen problemes específics: la regla de tres, el càlcul de tants per cent, l'àrea del trapezi, del rombe, dels polígons regulars a partir de l'apotema, córrer la coma en les multiplicacions per decimals, l'escaleta per fer conversions en el sistema mètric decimal, etc. I el més greu és que pensant que guanyem eficàcia, el que fem és donar una imatge als nostres alumnes completament distorsionada del que vol dir "fer Matemàtiques".

Ensenyar la regla de tres a Primària segurament roba a molts d'alumnes, la possibilitat de "descobrir el fil" de les relacions multiplicatives entre nombres o de trobar regularitats més enllà de les additives. Explicar-la a Secundària fa que no entrin a fons a una idea important: la de raó i proporció. A més els deixa orfes d'estratègies, de manera que davant un problema nou una mica diferent als fets anteriorment, no saben com encarar-lo i es bloquegen. Per culpa de l'aprenentatge basat en fórmules molts professors de matemàtiques ens trobem que quan s'acosta la declaració a hisenda, els amics "autònoms" ens truquen per preguntar-nos com es fa per calcular l'IVA corresponent a un producte del que sap el preu final (amb IVA carregat) i cal desglosar-ho.

La regla de tres i en Claudi Alsina

Tenim dues referències sobre la regla de tres, fetes per Claudi Alsina famós i divertit matemàtic de professió i divulgador de vocació. La primera és un innocent acudit publicat al número 3 de la revista l'Escaire (1979).

La segona referència és una frase dita, si més no contundent, en una xerrada als anys 80 on intentava explicitar l'estat de la didàctica de les Matemàtiques al nostre país:

"La regla de tres es diu així perquè solament s'explica a tres països: Espanya, Grècia i Portugal"

Llegida actualment, un pensa si "rescat" i "regla de tres" tenen alguna relació.

Molts anys després d'escriure aquest post, al 2018, durant una sessió del mòdul 2 del curs ARAMAT, analitzant els càlculs basats en la proporcionalitat involucrats en una activitat sobre estadística "Nombres en persepectiva", va surgir la reflexió sobre la falta d'estratègies alternatives a la regla de tres i vam acabar analitzant les taules de proporcionalitat com a estratègia eficient per a aquests càlculs. Aquest vídeo resumeix aquesta discussió:

Hem tornat

Comença el curs. És el moment en que ens plantegem que farem enguany. Posem en ordre les coses de les que estem satisfets per repetir-les aquest any, potser amb algun petit canvi. Ens plantegem alguna millora en coses que no ens han acabat d'agradar. Ara és el moment del treball creatiu i tenir alguns referents a l'abast per treure-hi idees és una bona idea.

Pensem que us poden ser útils algunes adreces de pàgines web o blocs (que seria interessant que seguíssiu) que ofereixin activitats concretes i classificades per poder inspirar-se. En aquest sentit, una de les pàgines que us recomanen és nrich que periòdicament planteja activitats, gairebé sempre en forma de problemes, jocs o reptes per a alumnes de totes les etapes. Mentre que les seves etapes 1, 2 i part de la 3  abastarien primària, les etapes 3 i 4 són pròpiament d'ESOt d'ESO  i la 5 abastaria últims cursos d'ESO i certes incursions a Batxillerat. La pàgina és en anglès, però té traducció automàtica (no és que sigui excel·lent però ajuda)

Val a dir que apart de plantejar el problema, tal com es veu a la capçalera, s'hi inclouen unes molt útils "notes pel professorat", que solament ocupen un full i més o menys sempre tenen la mateixa estructura:

1. Per què aquest joc?
2. Possibles enfocaments
3. Les preguntes clau
4. Possible suport
5. Possible extensió

Una altra característica important és que moltes d'aquestes activitats aporten un applet per poder treballar-hi o vídeos explicatius. Un últim apartat, molt interessant, però del que molts quedem fora, de moment, per culpa de l'idioma, és un lloc on els alumnes poden enviar la solució del problema i hi queden recollides.

Alguns exemples
Etapa 1 i 2: Dotty six:
Una mena de quadrat màgic en el que cal aconseguir tres sisos en ratlla. Cal destacar que inclou un vídeo explicatiu i un applet per a jugar-hi.

Etapa 3 i 4: Tres en ratlla

Un altre joc del tres en ratlla que treballa les sumes i restes de nombres enters, on es pot triar l'ordre dels nombres i l'operació, per aconseguir el nombre desitjat.

Hem posat dos jocs d'exemple, però la col·lecció de situacions i problemes toca molts aspectes com veureu a l'apartat de pòsters. 

Els pòsters nrich: una gran ajuda
Alguns dels molts problemes de la pàgina estan recollits, en presentacions power point, en un format que ells anomenen "pòsters" preparats per a ser presentats amb un projector. Considerem que és una eina molt útil ja que ens dóna una visió d'entrada interessant.

Us presentem un exemple  de l'etapa 3 per que en veieu el format. Clicant a sota de la imatge en trobareu molts més de la mateixa llista. Aquestes power point  poden ser descarregats.

Per accedir a la llista completa cliqueu aquí: 
presenten aproximadament 90 problemes.

Hi ha dues cintes vermelles i quatre de blaves en una caixa. Traiem dues cintes de la caixa sense mirar. Guanyes tu si són del mateix color i guanyo jo si són de colors diferents. És un joc just? 

Si un problema us interessa cliqueu a sobre i s'obrira una pàgina amb el problema i la possibilitat d'imprimir-lo, però a més trobareu un ellnaç directe al problema on trobareu les indicacions per professorat així com  vídeos o applets que l'acomapanyen 

Per accedir més llistes aneu a la pàgina general de pòsters aquí Hi trobareu propostes per a altres etapes i aspectes.

Els referents i el treball cooperatiu

La pàgina és molt completa i no te l'acabes en un any, però pot ser de gran ajuda. De totes maneres des de Puntmat llancem una idea: si utilitzeu algunes activitats de nrich i n'esteu contents, ara que tindreu menys alumnes per classe i estareu descansats, ens escriviu un mail a puntmat@gmail.com. Poseu-hi l'enllaç al problema que heu treballat i un full adjunt amb comentaris, fotografies o el que vulgueu, i sobretot la vostra opinió:perquè us ha agradat? No oblideu de posar el nivell en que s'ha treballat.
A final de curs farem un "rànquing" que publicarem en aquest bloc: i que vol ser una veritable guia de problemes experimentats a classe que pot servir per a millorar la nostra formació. Us esperem.

Una proposta de formació individual

Si la pàgina us ha agradat la podeu anar mirant periòdicament, però és molt millor fer un RSS, registrar-se per rebre la informació, o en aquest cas el més senzill fer-se'n seguidor en twitter per així rebre l'anunci de les novetats tant bon punt surten a la pàgina. Així sense esforç podeu anar incorporant idees noves de manera automàtica.
Us desitgem un bon curs malgrat l'entorn que ens espera.

Estem de vacances

Hem anat  al poblet "numèric"  que el pintor uruguaià Torres García va dissenyar com una més de les seves precioses joguines transformables de fusta. Posem per exemple la sèrie dels gossos.

Segons sembla va ser una de les activitats més atraients de la seva vida ja que, inicialment, els va crear per a explicar històries als seus fills.

Us enviem una postal del poble

Com a comiat final us suggerim un altre objecte de regal, atès que l'estiu és la millor època per a refrescar-se.

Enllaç a cocina y matemáticas

Passeu un bon estiu i recupereu forces, que tal i com està el pati en necessitarem de cara al curs vinent.

Matemàtiques anant pel carrer (4)

Un mosaic hexagonal a la Travessera de Dalt

La Laura Morera ens envia unes fotos, tirades de pressa i corrents, des d'un mòbil. Serveixen com a testimoni que, en una casa, situada a la vorera de muntanya, entre la plaça de Lesseps i el carrer d'Escorial, l'entrada del pàrquing té un mosaic hexagonal que podria entrar a la secció "anant per carrer".

Enfilem la Travessera de Dalt, i anem mirant les cases. Ens sentim acompanyats per la munió de turistes que ens envolten: mes de juny prop del Park Güell: una càmera més no es nota. No sabem si és gran o petit i anem atents, finalment en el número 77 de la Travessera de Dalt el trobem.

Activitats
El primer que pensem és en activitats de reproducció:

1. Com ens ho podem fer per dibuixar algunes "corones" amb regle i compàs?, o sigui quina trama hauríem de dibuixar? la isomètrica (triangles equilàters) és una bona sortida
2. Quants hexàgons hi ha a les primeres sis corones?. Podem generalitzar a n?

Però podem anar una mica més enllà: Quants hexàgons hi ha en total en les primeres "n" corones?.
Aquesta última pregunta podríem incloure-la en l'apartat "nombres amb forma" del que últimament  hem publicat un primer exemple: els nombres oblongs. En aquesta ocasió parlem  dels nombres hexagonals.

Aquests són els primers quatre nombres hexagonals, o sigui, la quantitat

de rajoles necessàries per feer un  tesselat d'1, 2, 3 o 4 corones

Al famòs llibre "Proofs without words" de R. Nelsen trobem una prova visual per donar resposta a aquesta pregunta:

En la imatge es pot veure que tot nombre hexagonal és la diferència de dos cubs consecutius.
Per tant, el quart nombre hexagonal es pot calcular fent 64-27 (4 al cub menys 3 al cub)

Nombres amb forma (I)

Fotoproblema del Richard Philipps
analitzat en un post anterior

Comencem aquest post amb una piràmide de taronges diferent de la que va aparèixer en el post de la setmana passada: Matemàtiques anant pel carrer (3). Allí vam veure que un alumne aconseguia calcular el nombre de taronges que havia a la foto (la mateixa que veiem aquí a la dreta) i deduir quantes n'hi hauria si la piràmide tingués un altre pis d'alçada, a partir d'identificar que en cada pis havia 1x2, 2x3, 3x4... taronges.  De la mateixa manera, en el cas de la piràmide que hi ha a l'inici d'aquesta entrada, cada pis està format per un nombre "quadrat": 1x1, 2x2, 3x3... Moltes vegades, en Matemàtiques, fem això de fer servir noms de figures per descriure nombres i els nombres 1x2, 2x3, 3x4... també reben un nom d'aquest tipus: es coneixen com a "nombres oblongs".

Per començar a estudiar aquests nombres us proposem començar amb un applet de l'Institut Freudenthal: "Problemas con puntos". La idea d'aquest applet és la identificació de patrons que permetin descobrir "fórmules" generals i aquest tipus de nombres per la seva senzillesa permet fer una suau introducció al tema.

Algunes propietats dels nombres oblongs:

• per ser el producte de dos nombres consecutius, tots els nombres oblongs són parells (encara que cap d'ells acaba ni en 4 ni en 8, 40% dels nombres oblongs acaben en 0, 40% acaben en 2 i 20% acaben en 6)
• encara més: els nombres oblongs són la suma dels primers nombres parells

• els nombres oblongs també es poden obtenir com la suma d'un nombre quadrat més la seva arrel quadrada

• En un futur post podrem relacionar els nombres oblongs amb altres nombres amb forma: els triangulars. I aquests nombres ens donaran la possibilitat de relacionar la quantitat de taronges dels dos tipus de piràmides esmentades: les oblongues (les del fotoproblema) i les quadrades (com la de la imatge de l'inici d'aquest post)

COMENTARI FINAL: En el número d'abril de 1989 de la revista Mathematics Magazine va aparèixer una prova visual de la fórmula que permet calcular la quantitat de taronges de la piràmide del fotoproblema en funció de la quantitat de pisos: si la piràmide té n pisos, té n(n+1)(n+2)/3 taronges. Les proves visuals o proves sense paraules com aquesta jugaran un paper important en la sèrie de posts "nombres amb forma" que avui comencem.

http://mathdl.maa.org/images/cms_upload/269038922424.pdf

En relació al problema amb el que començavem aquest post, mireu què fantàstica activitat han compartit amb nosaltres les mestres de cicle mitjà de l'escola Montagut de Santa Sussana

Quina pila de taronges!

MAMA POR!

Estem contents: els posts publicats sota el títol "Matemàtiques al carrer" han tingut una bona acollida. Sobretot ens han reafirmat la idea que mirar la realitat des d'un punt de vista de "plantejador de problemes" ens obre les portes a un treball molt interessant, creatiu i proper als alumnes.

Però sobretot estem contens per veure la interacció que poden produir posts com aquests: no feia ni un dia que estava penjat el post del pàrquing, que ja rebíem propostes de nous reptes, reflexions sobre els problemes plantejats i qüestions per a pensar-hi de nou.

Prova d'això és la resposta enviada pel bon professor i enemic íntim "JJ". Després d'enviar-nos dos comentaris curts, que ja amenaçaven, va enviar-ne un de llarg. En aquest darrer ens diu que els dos primers eren precipitats, que aquest és "el de veritat" i que publiquem, si ho trobem oportú, solament aquest darrer. Finalment hem decidit dedicar-li un post.

Creiem que la millor manera de transmetre la impressió que vàrem tenir després de llegir el seu comentari és la que més o mes o menys  reflecteix la criatura de la fotografia

photo credit: maestropastelero via photo pin cc

El Comentari d'en JJ
Ara va un comentari que potser és massa llarg per fer-ho com a comentari.
Aquest matí estava fent una feina de molta concentració i estava cansat. Per desconnectar m'he posat a mirar-me lo del puntmat i he fet el primer comentari. He seguit fent feina i m'he pres uns segons de descans fent un excel per mirar-m'ho. He fet el segon comentari. Però m'ha quedat un run-run. Primer he vist que m'havia equivocat hi havia fet els càlculs per 2 minuts en comptes de dues hores. Però el run-run seguia i al cotxe s'ha fet la llum: tants decimals no serveixen per res.
Ara a casa he fet un altre excel
Suposant que un cotxe s'està dues hores al pàrquing i que passen un milió de cotxes de tres decimals a sis la diferència és 2760 €. Si imaginem que cada dues hores canvien tots els cotxes d'un pàrquing de 600 places al milió s'arriba en menys de mig any. Però l'error està aquí. És com si comptéssim que és un sol cotxe que s'està dos milions d'hores i això és fals. El que és cert és que cada vegada, a cada cotxe quan paga se li fa el càlcul i el seu arrodoniment a dos decimals.L'efecte acumulatiu es perd. L'arrodoniment pot ser a l'alça o a la baixa.
He mirat quina importància té el tercer decimal en l'arrodoniment. Curiosament és inferior al 50% per l'excés. Hi ha més arrodoniments a la baixa que a l'alça. El 8, com a tercer decimal, fa 4 excessos i 6 defectes. El 5 fa un 50% de cada.
Jo crec que als pàrquings on es foten és en l'arrodoniment a l'alça del temps: 3 min i 20 seg seran 4 minuts.
Per tant el reguitzell de decimals crec que només fa una funció psicològica: fer creure que el preu és molt ajustat i que al ser 0,0.... amb molts decimals és un nombre molt petit.
M'hauré de pensar el cas de la benzina. Si jo fos benziner sempre posaria el tercer decimal amb 6 o 9. Són els més alts amb 50% d'excessos. Feu amb aquest macrocomentari el que vulgueu. O discutiu-me'l que potser alguna cosa se m'ha escapat.

El nostre comentari
Després del "canguelo" inicial ens ha tornar la alegria: pensar que les situacions obertes obren un espai molt interessant. Pot passar que molts cops la intervenció dels alumnes  ens desmunti la nostra idea inicial. És possible que entrem a una discussió que fins i tot, d'entrada, ens depassi a nosaltres. Ens trobarem que l'haurem d'atacar colze a colze amb els alumnes. Hi ha alguna cosa millor que aquesta?.

 Finalment: esteu d'acord amb el que diu en jj en el seu comentari?

clicar a  la imatge per accedir al post

No ens allarguem més. Estem "perdent" la tarda del dissabte intentant resoldre el maleït  problema dels pingüins que ens ha proposat en JJ en el seu últim post (clicar imatge per accedir-hi) li maleïm, de nou, els ossos.

Matemàtiques anant pel carrer (3)

Un altre matí en el que cal anar pensant sobre alguna activitat "de carrer" per portar a classe. De sobte passant per davant d'una oficina de "La Caixa" al Carrer de l'Escorial del barri de Gràcia a Barcelona, em crida l'atenció aquest conjunt de tres "finestretes" 

 Tot i que l'estat de les rajoles no és massa atractiu, la disposició ja convida a fer la pregunta: dibuixar les dues finestres que continuarien la sèrie, per preguntar posteriorment quantes rajoles es necessitarien per fer la vuitena finestra, la dotzena, la que fa 25... o la "n"

És important que "parlin ells" és a dir que redactin l'explicació dels seus raonaments. Això ens pot portar sorpreses com per exemple certs raonament geomètrics com el següent:

Cada finestra nova té vuit rajoles més que l'anterior: si moc  dues rajoles, la del mig de dalt i de baix, fins a l'altura de la finestra anterior, queda clar que n'afegeixo quatre a dalt i quatre a baix.

Aquesta activitat fa pensar en l'aprofitament de la fotografia per fer Matemàtiques. En aquest cas no ens referim a la coneguda "Fotografia Matemàtica" i als seus concursos tant atractius, sinó més aviat a la idea de "Fotoproblemes": plantejar un problema a partir d'una imatge com per exemple: 

1. Quantes taronges hi ha en aquesta pila?
2. I si tingués un pis més?

Aquesta fotografia, així com la proposta, forma part d'un CD publicat per Richard Philipps. Podeu trobar-ne la informació aquí, així com una petita mostra d'altres fotoproblemes.

Acabem amb un parell d'exemples de treballs d'alumnes de quart de Primària treballant aquest problema. Volem fer notar la importància de l'explicació de la resolució, en la  que cal exigir una presentació ordenada i que  pugui ser entesa còmodament per part dels altres. 

En el cas de la primera alumna, apart de la seva resposta correcta, veiem que no sempre els alumnes entenen el que preguntem: ha pensat que el pis que es posa de més era el de dalt i per això ha contestat 41 a la segona pregunta.

El segon alumne ens mostra un molt bon exemple de com "comunica" el seu procés. Aquí "ens explica" quina estratègia ha utilitzat per comptar les fileres (multiplicar) cosa que no passa en la primera alumna, la qual cosa li permet fer un pas més en la descoberta del patró que li permet generalitzar de manera més fàcil.

Descobrir regularitats

El problema plantejat al principi també el trobem en un applet protagonitzat per Arquimedes, que crida Eureka! quan escrius correctament el patró. El recomanem! clicar imatge. Avís: en una revisió posterior (2013) han desaparegut els enllaços d'aquest applet, una pena!. Si els localitzeu ens ho feu saber via comentari o mail

Es complementa amb dues versions més que presenten altres mosaics: tiles1 i tiles2.
Posts anteriors relacionats: Anant pel carrer (1)  Anant pel carrer (2)