3 de maig de 2013

Relacionant volums

A l'assignatura d'Aprenentatge i Ensenyament de les Matemàtiques I del Màster per a professors de Secundària de la UPF, cada classe dediquem una mitja hora a fer un taller amb materials manipulatius (en l'entrada Poliedres amb cares triangulars ja havíem fet esment d'un d'aquests tallers).

En la sessió d'aquest divendres vam estar analitzant el potencial de la caixa de poliedres transparents en relació als càlculs de volums. Aquí relatem alguns dels experiments portats a terme.

El volum d'un prisma de base triangular és el triple del volum de la piràmide que té la mateixa base i alçada que el prisma

A la imatge es veuen les tres etapes de l'experiment, vam omplir un cop la piràmide amb un líquid verd (aigua amb colorant) i el vam vessar al prisma, vam omplir un cop la piràmide amb un líquid groc (oli) i el vam vessar al prisma i vam omplir un cop la piràmide amb líquid vermell (alcohol amb colorant) i el vam vessar al prisma 
També ho vam comprovar quan el prisma i la piràmide tenien una base hexagonal


Per al cas del prisma i la piràmide de base hexagonal també vam fer una altra comprobació: 
En les imatges a-b-c es veu com vam omplir dos cops la piràmide i vam vessar el líquid dintre del prisma. Però abans de vessar-hi per tercer cop el contingut de la piràmide dintre del prisma (imatge e), vam ficar la piràmide dintre del prisma i vam comprovar com el líquid es va desplaçar fins arribar just al extrem del recipient (imatge d)
El volum d'una esfera de radi r és el doble del volum del con del mateix radi i alçada 2r

En les imatges es veuen a dos futurs professors omplint l'esfera amb el contingut del con en dos oportunitats
Ara que ja hem relacionat el volum entre esfera i con és el moment de comprovar que aquests dos sumats coincideixen amb el volum del cilindre que té la mateixa base i alçada que el con



O sigui que el volum de l'esfera és el doble que el del con i el del cilindre el mateix que la suma de tots dos, de la qual cosa es dedueix que el volum del cilindre és el triple que el del con i una vegada i mitja el de l'esfera (sorprenent és que aquesta relació 3:2 entre el cilindre i l'esfera no només val per al volum sinó que també val per a les seves àrees)

La relació entre aquests volums va impactar tant a Arquímedes que va demanar a la seva família que a la seva tomba gravessin un cilindre al voltant d’una esfera amb una inscripció de la proporció entre els seus volums i així apareix reflectit en una de les cares de la medalla Fields

Font: Stefan Zachow
Released into the public domain by the author.
Un nou agraïment especial als alumnes del curs abans esmentat per les fotografies, per les reflexions compartides i sobre tot, per l'entusiasme amb que realitzen les tasques proposades.

A més de ressaltar la necessitat de la utilització de materials manipulatius a classes de Secundària, valorem que sigui un dels grups d'alumnes qui l'exposi a la resta de la classe. La intenció és que en el futur ells facin el mateix amb els seus alumnes, que els facin manipular i en diferents sessions els alumnes expliquin i justifiquin l'experiència viscuda: que parlin ells. A més té el valor afegit de meravellar-nos amb la creativitat dels alumnes. En aquest cas la utilització de tres líquids de densitats diferents per il·lustrar la fórmula del volum de la piràmide.

Cap comentari:

Publica un comentari a l'entrada