Matematiques anant pel carrer (5)

Comencem per un diari

Sota la bossa d'escombraries que hi ha posada al costat de la porta, a punt perquè la porti al contenidor, hi ha un full de diari per preservar el terra de possibles humitats no desitjades. Veig que els números de les dues pàgines (del mateix full) que estan cap a dalt són la 14 i la 35 i un seguit de preguntes em venen al cap:

1. Quins números estan a l'altre banda del full? 
2. Quantes pàgines té aquest diari? 
3. El número 20, on estarà: a la pàgina de la dreta o de l'esquerra? 
4. Quina serà la pàgina oposada de la 9? 
5. En algun moment el número de la pàgina de l'esquerra és més gran que la de la dreta?
6. Entre quines pàgines es veuen les grapes?
7. Quan sumen tots els números de pàgina del diari?

Les pàgines d'un llibre

Molts cops, quan s'acaba de llegir un llibre, ens trobem amb un dubte: per què hi ha una, dues o més pàgines blanques al final? quin paper juguen? serà per agafar apunts?

Tot té una raó. Ho hem preguntar a l'Enric, un amic que treballa en edició de llibres, i ens ho ha explicat. Cal dir que parlem de llibres cosits, no dels encolats. Un cop a casa per comprovar el que ens ha dit, agafem dos llibres de cuina: "Cuina per a solters" d'en Ismael Pardos i "El Gran Llibre de la Cuina Catalana" d'en Josep Lladonosa.

Comptem les pàgines que tenen en total aquests llibres, comptant també com a pàgines del llibre les blanques no numerades. El resultat és 192 i 720 respectivament. Si ara dividim el nombre de pàgines per 16, curiosament ens dóna un nombre enter, 192:16 = 12 i 720:16 = 45.
Això és degut a que per fer llibres cosits, en general, es fan "llibretes" (en diuen "plecs") de 16 pàgines o de 32 per després cosir-los. Per tant el nombre de pàgines d'un llibre per anar bé ha de ser múltiple de 16, i com que això és difícil de demanar als autors, complementen amb planes blanques. Proveu-ho amb algun dels vostres llibres. Molts llibres tenen un nombre total de pàgines múltiples de 16!
Us podeu trobar en que de vegades el quocient de la divisió no és enter (dóna 33,5 en el cas del llibre de Paul Auster "Creia que mi padre era Dios", per exemple). Això és degut a que arribar a un múltiple de 16 inclouria massa pàgines blanques i aleshores els editors  utilitzen un plec de 8 o fins i tot de 4 pàgines per "tancar el llibre."

Com és un plec?
Aquest és el model d'organització de les pàgines amb el que treballen a l'editorial de l'Enric

En aquest cas es tracta d'un plec de 32 pàgines. La mesura del full (16 impreses per les dues bandes)  si les pàgines del llibre fossin de mida DINA 4, és  un DIN A0, és dir un metre quadrat. Després cal plegar-lo i guillotinar-lo pels llocs indicats en vermell a la figura de la dreta, per a obtenir el plec.

Estudi d'un plec de 16 pàgines

Una bona activitat per portar a classe és construir un plec de de 16 fulls. Aquesta és la distribució de pàgines on a més de l'ordre s'indica el sentit del text de cada pàgina

Seguint aquest model, podem proposar als alumnes dividir un DINA4 en vuit rectangles iguals per cada banda, numerar els rectangles que representen les pàgines i construir el plec plegant-lo correctament.

Alguns aspectes per discutir: Tenint com a punt de partida la posició de la pàgina 1, la ubicació de les altres pàgines és un joc de simetries:

• darrera de l'1 ha d'anar el 2 però la direcció del text ha d'anar al revés. 
• al costat de l'1 ha d'anar el 16, perquè al plegar-les una sigui la pàgina inicial i l'altre la final

Descobrir que la suma de les pàgines que van de costat (1 i 16, 4 i 13, etc) és sempre la mateixa, és la clau de volta per resoldre l'activitat proposada. Si a més de construir el plec els fem escriure o explicar quines decisions han anat prenent per solucionar la tasca, aprofundirem molt més en el tema: "Que parlin ells"

Un joc de màgia plegant paper

Per acabar un joc de màgia que, com quasi sempre, hem après d'en Lluís Segarra.

• Feu dividir un full en 16 parts i escriure els nombres de l'1 al 16, en ordre (figura). Mentrestant escriu el nombre XXX en un paper i poseu-lo en un sobre.
• Feu doblegar el paper de la manera que vulguin (fent meitats, com un mapa, com un acordió...) fins que solament es vegi un dels rectangles numerats al davant.
• Retalleu els quatre costats de manera que els nombres us quedin solts, per poder-los utilitzar com a cartes.
• Separeu les cartes en dues piles: les que vinguin de cara les poseu en una pila i les que vinguin d'esquena en una altra.
• Demaneu a algú que sumi els nombres de la pila i digui en veu alta el resultat. Obriu el sobre i ensenyeu que aquest resultat coincideix amb el nombre que hi ha escrit (el nombre al que hem anomenat XXX). 

Quin és aquest nombre XXX que hauriem d'haver posat al sobre per tenir èxit en aquest joc? Serà realment "màgia"?

Nombres amb forma (II)

Després d'haver parlat dels nombre "oblongs" en el post Nombres amb forma (I) toca el torn a uns nombres encara més famosos, els triangulars, que són la suma de nombres naturals consecutius començant per l'1.

Podem observar que en la successió dels nombres triangulars s'intercalen nombres senars i parells.

Justament aquests nombres són el tema del mes del concurs fotogràfic JAEM'13 organitzat per la Societat Balear de Matemàtiques SBM-XEIX

En  trobareu més exemples a
  http://xvi.jaem.es/concurso-fotografico/octubre-2012-nombres-triangulars.html

Una propietat molt interessant d'aquests nombres és el Teorema del nombre poligonal de Fermat que afirma que tot nombre natural es pot escriure com a suma de tres nombres triangulars.

En la graella multiplicativa els nombres triangulars tenen una posició molt particular

Captura de pantalla de la proposta del projecte Nrich: Triangle Numbers

Mirem algunes relacions dels nombres triangulars amb altres nombres amb forma:

La suma de dos nombres triangulars consecutius és un nombre quadrat



El doble d'un nombre triangular és un nombre oblong
(veure una animació d'aquesta propietat a Picturing Triangle Numbers)



Si multipliquem un nombre triangular per 9
i sumem 1 obtenim un nombre triangular



Si multipliquem un nombre triangular per 8

i sumem 1 obtenim un nombre quadrat



Si multipliquem un nombre triangular per 6
i sumem 1 obtenim un nombre hexagonal

Per acabar, els nombres triangulars també estan relacionats amb les piràmides oblongues i les piràmides quadrades: la suma de n nombres oblongs consecutius i l'enésim nombre piramidal és un nombre triangular




Si eliminem les taronges marcades amb una creu de la piràmide oblonga
de la imatge de Richard Philipps (apareguda en en el post
Nombres amb forma I) ens queda una piràmide quadrada 

L'applet dels globus

Clicar imatge per accedir a l'applet

Uns dels primers applets que vàrem conèixer a l'any 2003, i que podríem definir com "d'èxit assegurat" és el dels globus de l'institut Freudenthal. Sobre una línia numèrica buida cal col·locar un globus just en el lloc que ocuparia el nombre escrit a la part superior. Es prem el botó i cau un dard que ha de fer explotar el globus. Queda un trosset de cordill sobre la línia per així tenir constància de la magnitud de l'error.

Us recomanem  jugar-hi una estoneta i analitzar quins coneixements "es mouen" quan
jugueu.

Actualment l'Institut Freudenthal presenta una proposta molt més amplia que creiem que val la pena que la tingueu a l'abast en un idioma més proper que no l'holandès. L'esquema que utilitzen treballa sobre aquestes tres idees:

1. Treballant sobre la línia numèrica "marcada", o sobre la línia numèrica buida
2. Variant el rang de nombres: 0-10, 0-20, 0-100, 0-1000 o variable
3. Proposant, en algunes ocasions, col·locar el globus en la posició d'un nombre donat, i en altres ocasions, donar el nombre corresponent a un lloc concret de la línia. 

Clicar imatge per accedir ala pàgina

Rang 0-10
Per conèixer aquesta proposta començarem amb una anàlisi més detallada de l'applet que proposa nombres en el rang 0-10 i la completarem amb un llistat dels altres rangs.

 

• Les opcions a) i c) generen activitats de comptatge i certes estratègies, per exemple és interessant discutir per quin nombre és més eficaç començar a comptar. No és el mateix col·locar el 2 que el 9 (enllaços 0-10/a i 0/10c)
• Les opcions b) i d) generen activitats d'estimació i aquí les discussions són molt interessants, en el que la idea de meitat és bàsica. Discutir sobre si determinat nombre està a la dreta o l'esquerra del 5 pot ser interessant (enllaços 0/10b i 0,10/d)

La proposta es completa amb dues propostes per jugar per parelles: la primera sobre la línia numèrica marcada 0-10/c/2j i la segona sobre la línia numèrica buida 0-10/d/2j. 

L'armari d'applets: rangs 0-20, 0-100, 0-1000
L'esquema es repeteix en aquests tres rangs que continuen. El que canvia és la magnitud dels nombres. Adjuntem la llista d'enllaços utilitzant les abreviatures LM per indicar línia numèrica marcada, LB per indicar línia numèrica buida, i 2j per indicar que és per a 2 jugadors
Rang 0-20

Col·locar el globus: 20gLM, 20gLB

Escriure el nombre: 20nLM, 20nLB, 20nLM2j, 20nLB2j

Rang 0-100
Col·locar el globus: 100gLB, 100gLM, 100gLB2j, 100gLB2j, 100gLB2j
Escriure el nombre: 100nLM, 100nLB, 100nLM2j, 100nLB2j
Rang 0-1000
En aquest rang solament es treballa la col·locació de globus: 1000gLM, 1000gLB, 1000gLB2j, 1000gLB2j, 1000gLM2j

Comentaris a altres applets més específics
Rang variable

Clicar imatge per accedir a l'applet

En el cas de l'applet al que podeu accedir clicant la imatge de l'esquerra, els extrems de la línia van canviant a cada pantalla i no són fixes com en els casos presentats fins ara. Per exemple: la línia amb extrems 600 i 800, cas de la pantalla capturada a la imatge, pot estar seguida d'una línia d'extrems 200 i 400 etc. El que si que es manté és la distància de 200. Val la pena, discutir col·lectivament on posar el globus abans de prémer el botó. Es recullen estratègies diverses i interessants.

Un altre applet al que podeu accedir a través d'aquest enllaç, us dona accés  a un generador d'applets on podeu triar el nombre de jugadors, els nombres dels extrems, etc.

Nivells

Clicar imatge per accedir a l'applet

A l'applet de la imatge trobareu amb un seguit de pantalles de dificultat creixent en el que si s'aconsegueix el nombre d'encerts necessari, es passa de nivell.

Finalment un últim applet delq ue no reproduïm la foto treballa ja en el món dels decimals.  enllaç.

Partir d'una multiplicació

Clicar imatge per accedir a l'applet

En aquest cas el nombre a posicionar ve donat en forma de multiplicació. En una classe de sisè vàrem jugar amb aquests applets sobre la LNB, i la idea d'estimació presidia la activitat. Els alumnes tardaven molt a fer-ho. Preguntats per la seva tardança la resposta va ser "es que ens costa molt fer 4x115". Va ser un bon moment per reflexionar sobre els avantatges d'estimar quan el problema no necessita un càlcul exacte: en aquest cas és més eficaç, per exemple, multiplicar per 4x111 o 4x120 i col·locar el globus una miqueta a la dreta del punt en que es creu que es troba el 444 o a l'esquerra del punt 480.

Ús de parèntesis i prioritat d'operacions

L'ús de parèntesis i "que parlin ells"

Aprendre a utilitzar parèntesis és important en Matemàtiques. El moment actual, un marc competencial i la importància de la comunicació com a competència rellevant, ens conviden a reflexionar sobre aquest aspecte.

Els coneguts jocs en que s'ha de combinar nombres per a obtenir-ne un de prefixat representen una excel·lent oportunitat per introduir l'ús de parèntesis per comunicar determinat càlculs. Un exemple d'aquests jocs:

photo credit: )ota. via photo pin cc

El joc del 24
És un joc que es planteja utilitzant cartes amb nombres de l'1 al 9. Es treuen quatre cartes del mateix coll i per tant, diferents. Utilitzant els quatre nombres un sol cop cadascun i les operacions suma, resta, multiplicació i divisió (els cops que es vulgui), cal obtenir el nombre 24.

Proposem el joc a classe: és una activitat que en general els agrada, sobretot perquè no és un exercici "preparat" sinó que són les cartes les que determinen la sortida. Al cap d'una estona comencen a sortir solucions que es van recollint col·lectivament.
Suposem que els nombres que han aparegut són l'1, el 4, el 3 i el 7 i que al cap d'una estona una alumna ja hagi trobat una solució que ha expressat d'aquesta manera (els nombres encerclats indiquen els quatre nombres a utilitzar, els altres surten dels resultats parcials, el segon 3 i el 21.)

Podem aprofitar l'ocasió demanant que enlloc d'escriure les operacions de "forma indicada" comprimeixin tots els càlculs utilitzant una sola expressió. És força normal és que els alumnes escriguin: 4 - 1 + 7 x 3 = 24. En calcular el resultat de l'expressió en algunes calculadores dóna 30, encara que, aplicant la llei de prioritat d'operacions, dóna 24 (però pensem que aquest és un contingut posterior ja que va associat a una economia a l'hora d'escriure i de moment el que volem és que "comuniquin un ordre").

Per tant cal posar-se d'acord en com indicar quins càlcul parcials es fan abans i quins després. Plantejat això a classe una de les propostes dels alumnes acostuma a ser la del tipus: "primer fes 7 x 3" i per assenyalar-ho ho tanquin en un registre determinat com, per exemple, un rectangle.

Aquest rectangle, que ens ajuda a comunicar l'ordre de les operacions, és l'antecedent als parèntesi i ha sorgit per la necessitat de comunicació. Podem exercitar-lo amb activitats del tipus següent:

• Quants resultats diferents es poden obtenir a partir de 3x5+2x3, posant el parèntesi en llocs diferents? 
• O el seu invers: posa el parèntesi de manera que l'expressió 3x5+2x3 doni 51.

També és un bon moment per parlar dels dos tipus de calculadores senzilles, jeràrquiques i no jeràrquiques, la diferència entre elles i el perill que correm si no comprovem d'entrada de quin tipus són: el primer que cal fer amb una calculadora desconeguda és calcular 2+3x5 (per exemple), si dóna 17 és jeràrquica, si dóna 25 és no jeràrquica. Solament imagineu els problemes que pot presentar quan calculem la mitjana de notes d'una activitat ja feta la taula de freqüències (4x4+6x5+7x6) i les calculadores que tenim són no jeràrquiques.

El joc del 24 a la xarxa 
Un applet interessant que treballa el joc del 24, consta d'una seqüència de 5 activitats que guia a l'alumne en l'escriptura ordenada de manera vertical que és un primer pas a fer per ensinistrar als alumnes a comunicar de manera ordenada. Posteriorment i ja en paper podem passar a les expressions en una sola línia utilitzant parèntesi.

Captura de pantalla http://www.fisme.science.uu.nl/toepassingen/03002/toepassing_rekenweb.html

Si voleu proposar el joc als vostres alumnes amb cartes, pot ser us va bé tenir a mà un applet que troba algunes solucions per qualsevol quaterna que li proposeu.

Captura de pantalla http://scripts.cac.psu.edu/staff/r/j/rjg5/scripts/Math24.pl 

La raó del 24 i no de qualsevol altre nombre
La raó de la tria del joc amb quatre cartes és purament matemàtica i saber-ho és interessant: donats quatre nombres de l'1 al 9 a l'atzar no repetits, solament hi ha dues quaternes (entre les 126 possibles) que no tenen solució: la 1678 i la 3467. Un bon tema de discussió per treballar amb alumnes grans. Per a més informació i si voleu saber més sobre el joc del 24 i no us atrevíeu a preguntar-ho, en Toni Gomà us ho explica aquí.

Contextualitzant per entendre: llei de prioritat d'operacions
La llei de prioritat d'operacions és un conveni que ens permet simplificar les expressions simbòliques estalviant parèntesis. Entenem que és l'estadi final d'un procés: primer entendre que cal prioritzar certes operacions amb l'ús del parèntesis, per després arribar a la llei per estalviar complexitat en l'expressió.

En Adolf Almató: un dels tres "mestres" que em van marcar en començar a fer de "mestre de mates" (els altres dos varen ser en Francesc Esteva i en Pere Roig) em va explicar, als anys 80, una activitat que va fer per treballar la llei de prioritat d'operacions amb els seus alumnes.

Acte 1: Es demana que calculin una expressió escrita a la pissarra: 2x3+4x5 mentalment. Pot passar que hi hagi alumnes que els doni 26 i d'altres 50.

Acte 2: Es reparteixen calculadores (jeràrquiques i no jeràrquiques) a diferents grups d'alumnes. Es comprova que les calculadores tampoc "es posen d'acord". Unes donen 26 i d'altres 50. No cal dir que les discussions i justificacions entre alumnes de cinquè o sisè eren impossibles i que anaven des de la desqualificació de l'adversari a l'estat de les piles de la calculadora del company o companya.
Acte 3: Parem les discussions i resolem el següent problema mentalment: la Maite compra 2 llapis que valen 3 pessetes (estem a principis els 80) cadascun i després 4 paquets de galetes que valen 5 pessetes cadascuna. Quant s'ha gastat? Aquest cop el resultat és el mateix per a tothom: 26 la discussió es tanca. És el moment de representar-ho simbòlicament: 2x3+4x5 i reprendre la discussió primera des de l'argument "dóna 26 no hi ha dubte" (ara diríem: el context no enganya) què passa a l'hora de calcular? com ho hem de fer perquè doni 26?

Aquest és un exemple clar del paper del context en la compressió dels continguts matemàtics: qualsevol altra explicació del mestre cauria en el sac del "es fa així". Però quan a tots els alumnes de classe, aplicat a una situació en context, els ha donat que el resultat és 26 no cal aprendre-ho de memòria: s'ha entès per sempre.

Aquesta activitat, dels anys 80, continua sent vàlida actualment. El que segurament canviaria, degut al paper que el context juga actualment, seria que primer plantejaríem el problema en context resolent-lo utilitzant el càlcul mental, per després plantejar-nos a l'hora de representar-ho simbòlicament quines condicions ha de complir una expressió simbòlica perquè no sigui equívoca i comuniqui exactament el que nosaltres volem.

Posts relacionats: Materialitzacions d'applets

Un comentari a posteriori:

Avaluar el comptatge-1

El fet de comptar

Quan parlem de comptar en els primers nivells d'escola (Infantil i començament de primer) podem identificar dos aspectes diferents: el comptatge acústic, o sigui, la "cantarella" (un, dos, tres, quatre, cinc, etc.) i el comptatge resultatiu, és a dir l'aplicació d'aquesta cantarella al comptatge d'objectes. Implica una coordinació entre recitar la sèrie numèrica i, a la vegada, assenyalar, o desplaçar l'objecte comptat. De fet saber comptar és això. Aquest fantàstic invent d'associar un nom ("sis", "vuit") a una col·lecció, és un dels aprenentatges principals a l'hora d'organitzar el món a les primeres edats. 

Una activitat d'en Guy Brousseau

Farà cosa d'uns 20 anys, en una agradable sopar amb en Guy Brousseau, ens va explicar una activitat que feia amb els alumnes i que ell classificava, si no recordem malament, com a "situació fonamental":

+ informació clicar imatge

Entorn d'una taula hi ha un grup d'alumnes i a sobre de la taula hi ha 7 gots amb pintura però necessiten un pinzell per cada recipient. Els pinzells estan en una altra classe, per tant, proposa als alumnes que vagin a buscar-los intentant que no en falti ni en sobri cap. També els explica que si són capaços de fer el que els demana correctament un cop pot ser que sigui casualitat, però si ho fan bé molts cops, encara que ell canviï el nombre de recipients, aleshores, voldrà dir que ja saben comptar!. 
Un exemple que va explicar-nos va ser el següent: "Un alumne s'aixeca, mira els gots, marxa, va a l'altra classe, n'agafa uns quants a ull, torna, els posa i no coincideixen! Mentre pensa en què ha fallat, els seus companys li diuen: "compta, compta, compta". L'alumne compta 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, va a l'altra classe, agafa una pila de pinzells sense comptar-los, torna i tampoc ho aconsegueix".


Una de les coses que ens va sorprendre més de la situació va ser la inclusió de l'objectiu "acadèmic" en l'activitat: promoure que els alumnes s'apropiïn de l'objectiu, fer-ho en un sol viatge.

Si ens parem a pensar això dels nombres és un invent genial: es disposa d'una col·lecció de gots, cal anar a buscar pinzells i no en pot sobrar ni faltar cap. Es compten els gots. S'identifica l'últim nombre dit (el 7) com el cardinal (el nombre d'elements) de la col·lecció. T'emportes el nombre al cap. Es va a un altre escenari. Es "baixa" el 7 de la memòria i es converteix en el nombre de pinzells necessaris. Es porten els pinzells al primer escenari on hi ha els gots i coincideixen! Això és saber comptar: utilitzar el comptatge per resoldre situacions en que la comparació directa no és possible. Per això és molt important que els escenaris estiguin separats.

Una aplicació posterior
Van passar els anys i a l'any 2004, la Carme Barba va realitzar una llicència d'estudis on una de les activitats que va dissenyar per a alumnes de P4, inspirada totalment en aquesta idea, va ser la que podeu veure en aquesta presentació que portem al bloc.

Material utilitzat "clicks" © PLAYMOBIL/ geobra Brandstätter GmbH & Co. KG

Si obriu la presentació amb Slideshare, clicant a la part inferior esquerra, podeu descarregar la presentació

Analitzem solament el primer el cas: cotxe amb quatre viatgers:

1. Els alumnes tenen clar l'objectiu: coneixen perfectament les lleis de joc i saben on han d'arribar
2. Fora de casos extrems els alumnes saben resoldre el problema a partir de les seves estratègies emergents, des dels que fan quatre viatges fins els que en fan un.
3. Dóna informació a la mestra sobre el nivell dels alumnes en fer l'activitat, però aquesta informació no és del tipus "ben fet - mal fet", sinó del nivell d'eficàcia.
4. La discussió en grup a la meitat de l'activitat ens acosta a un treball que fa avançar als nostres alumnes.
5. Cal tenir en compte que l'objectiu de la mestra no és "resoldre correctament la situació", de fet ho saben fer tots, sinó "resoldre-la en un sol viatge" és a dir treballant l'eficàcia de les estratègies. Però tot i així, aquest requeriment (un sol viatge) no apareix en les condicions inicials de la proposta, element que portaria a una activitat completament diferent tipus "ho saps fer, no ho saps fer"
6. L'ordre de la tria dels alumnes és important (i això no cal explicar-ho a cap mestre amb experiència ja que tots ho sabeu) fent sortir primer als alumnes més "artesanals" a solucionar el problema, per anar donant la paraula a alumnes amb estratègies més eficients, a mesura que avança l'activitat.

Diferència amb el problema dels pinzells

L'activitat dels pinzells era feta amb 7 elements. Aquesta ha estat plantejada amb 4. Aquesta diferència de nombre és important. Per resoldre situacions reals, manipulatives o gràfiques amb nombres baixos, molts els cops els alumnes utilitzen l'anomenat "cop d'ull" (o subitising) és a dir, veient la col·lecció reconeixen el nombre sense necessitat de comptar. Fer-ho amb 7 elements ja convida molt més a utilitzar el comptatge resultatiu i per alumnes més grans, segurament és més indicat.

L'activitat amb nombres més grans: del cotxe a l'autobús
La segona part de l'activitat ja entra més a la resolució de problemes ja que el que fa és ampliar el nombre de seients, des d'el cotxe de quatre places fins a l'autobús. Aquest augment del nombre de seients genera, com es veu en la presentació, dividir el problema en parts i omplir el vehicle per etapes, més o menys en funció del domini de la grandària del nombre que tingui l'alumne que el fa.

Veient això sembla que no és el mateix saber comptar fins a 20, per exemple, que tenir-ne un domini competencial a l'hora de resoldre situacions. Si fos així els alumnes aplicarien la mateixa estratègia d'emportar-se'n el nombre al cap tal com hem vist a l'exemple del cotxe. Què n'opineu?

Problemes irresolubles a l'ensenyament obligatori?

Hi ha alguns problemes matemàtics que van romandre sense ser resolts per molts anys (alguns d'ells encara avui no han estat resolts) i que poden ser "entesos" pels nostres alumnes. Òbviament, en presentar-los a l'aula, volem analitzar en què consisteix el problema i no en trobar la seva solució amb els alumnes. I creiem que té interès analitzar alguns d'ells a l'aula perquè tracten temes curriculars d'una manera entretinguda per als alumnes i fàcil d'implementar pel professor.

Dos exemples: 

Problema 1: fins a quina bola has arribat? (adaptació del problema de Schur)

Tenim dos barrets i boles numerades des del nombre 1 cap endavant. El problema consisteix en posar la major quantitat possible de boles als barrets amb dues condicions:

* les boles es van posant dins dels barrets en ordre, primer la bola 1, després la bola 2, etc

* per posar una bola en un barret, el valor de la bola ha de ser diferent al valor de les sumes que es poden obtenir a partir de dues boles que hi ha dins.

Posem un exemple:

Imatge 1. La bola 1 ha estat posada al segon barret,
Imatge 2. Les boles 2 i 3 han estat posades al primer. Ara cal posar la bola 4: pot anar a qualsevol dels dos barrets. Es tria el primer.

Imatge 3. On anirà el 5?: No es pot posar al primer barret atès que les boles 3 i 2 sumen 5 per tant haurà d'anar al segon barret.

Imatge 4.  En intentar posar la bola 6 s'acaba el joc ja que no es pot posar posar ni al primer ni al segon barret.

Proveu-ho ara vosaltres: fins a quina bola heu arribat? heu aconseguit posar el 6? i el 7? Oi que també és possible aconseguir una distribució de fins a 8 boles en dos barrets?

El problema pot continuar amb tres barrets (que és l'exemple que veureu al vídeo que hi a continuació fet amb alumnes de "grade 2"), amb quatre, amb cinc, etc. Tot i que fer-ho amb tres ja es un bon problema. 

Problema 2: Gratacels alineats  (adaptació del problema de Dudeney dels tres punts no alineats)

Col·locar 8 edificis sobre un paper puntejat de 4x4 de manera que no hi hagi tres edificis en línia recta.

Aquesta és una de les 4 solucions

Cal dir que el que es planteja a l'activitat no és solament trobar una solució sinó trobar-les totes. Us podeu divertir una estona resolent el problema o posant-lo als vostres alumnes també amb graelles de 5x5 o més grans.

Podeu veure un vídeo sobre aquest problema a l'aula (en anglès) en "grade 1". Clicar imatge per accedir a vídeo (en anglès)

D'on surt aquesta proposta?

Aquests problemes pertanyen a una col·lecció més amplia, que proposa un problema d'aquest tipus per nivell,  que hem conegut gràcies al James Ward (@jimmybcn2) i que podeu trobar a: http://mathpickle.com/unsolved-k-12/

Resta portant-ne (IV) una proposta molt engrescadora

Càlcul en columnes

Un dels debats eterns en l'ensenyament de les Matemàtiques a Primària és el paper, les dificultats i les metodologies que implica l'aprenentatge dels algorismes estàndard. Serveixi com a exemple paradigmàtic la resta portant-ne, protagonista absolut dels darrers 40 anys i tema del post "estrella" (el més visitat) d 'aquest bloc.

Segurament aquesta excessiva durada del debat té a veure amb les implicacions socials i escolars que representa el paper central que els algorismes escrits tenen tant per a pares com per a alguns mestres. Però deixant de banda el seu paper com a contingut el problema dels algorismes estàndard a l'escola es pot resumir en aquesta frase: "l'algoritmització prematura provoca passivitat cognitiva". Dit en altres paraules: presentar els algorismes abans de temps potencia una "actitud d'espera" en els alumnes. 

Actualment sembla que comença a haver un consens: apostar per l'endarreriment en la presentació dels algorismes estàndards i resoldre les situacions aritmètiques que es puguin presentar amb estratègies més transparents. Això permet que els alumnes lliguin les seves estratègies emergents amb els instruments de càlcul que utilitzen.

Un d'aquests instruments és l'anomenat càlcul en columnes al llibre de l'Institut Freudenthal Childrens learn Mathematics . Un instrument en el que s'aprofiten els coneixements que els alumnes tenen del sistema posicional (unitats, desenes i centenes) per obtenir el resultat de les operacions. 

Sumar en columnes

Aquesta és l'anomenada suma en columnes. Com es pot observar es recolza en el valor real de le xifres segons el lloc que ocupen i no cau en consider-los tots com a dígits (el 4 de 453 són 400 i no 4). Veiem el procés pas a pas:

400 + 200 = 600

50 + 40 = 90

3 + 8 = 11

Per acabar la suma final s'acostuma a fer mentalment: 690 + 11 = 701

Les diferències bàsiques entre el càlcul en columnes i l'algorisme estàndard serien:

1. L'algorisme en columnes treballa amb quantitats, metre que l'estàndard treballa amb dígits, la qual cosa entra en confrontació directa amb el treball d'identificació de desenes i centenes just en el moment que s'estan coneixent.
2. L'algorisme en columnes és transparent i s'associa fàcilment amb un context de diners (sumar bitllets de 100, de 10 i monedes d'euro) que és com s'introdueix. L'algorisme estàndard en ser més comprimit no és tan transparent: el "portar-ne una" no és de comprensió immediata.
3. L'algorisme estàndard és el punt i final d'un procés de compressió, per tant és més eficient, ocupa menys lloc i és un fet cultural important de les Matemàtiques. Per aquestes raons no hi estem en contra, sinó que posem sobre la taula els inconvenients derivats de la seva introducció prematura i les dinàmiques escolars que comporta actualment.

El discurs associat
"Fer sumes" hauria de venir associat a la resolució de problemes i no presentat de manera aïllada en fulls apart o quaderns. Davant un problema com: "En Jaume ha comprat per regalar dos telèfons mòbils. Un, per a la seva dona, que ha costat 453 € i l'altre, per a la seva filla, que ha costat 248 €. Quant han costat en total?" L'alumne té dues tasques: identificar l'operació que cal fer i trobar el resultat utilitzant les estratègies i habilitats que té en aquell moment al seu abast. A l'hora de fer l'operació, els alumnes poden recolzar-se en el context per resoldre la suma, convertint així l'exercitació en la resolució d'un problema.

A l'hora de calcular les sumes parcials apareixen les estratègies emergents dels alumnes, Per exemple: en la suma presentada anteriorment, per fer 400 + 200 poden sorgir diferents estratègies de resolució més sofisticades o no en funció de les habilitats que dominin, per exemple:

1. 400 + 200 = 600, si domina l'habilitat de comptar de 100 en 100
2. 400 € + 200 € si es recolza en el context com a mecanisme de seguretat
3. 4 bitllets de 100 i 2 bitllets de 100 són 6 bitllets de 100, per tant 600 aprofitant l'estructura de poder comptar bitllets.

És important "que parlin ells" explicant com ho han calculat  i que no ens fixem solament en el que està escrit, ja que així discutim, comparem estratègies i podem incidir en millorar-ne l'eficàcia

Presentem un exemple d'un "discurs associat" a l'operació

Resta en columnes i resta portant-ne

En el cas de les restes sense portar-ne el procés és el mateix que en el cas de la suma, amb algun canvi en el discurs. Per exemple utilitzar "em queden" per a identificar els resultats de les restes parcials. Però el gran avantatge que hi veiem és que quan la resta és "portant-ne" els ofereix un model clar, transparent i entenedor per resoldre les restes d'aquest tipus. Veiem un exemple:

Veiem que, per una banda, el context de treballar amb diners estalvia qualsevol tipus d'instrucció directa donada des de fora. Els primers passos són fàcils ja que tenir 400 € i pagar 200 € implica que encara et quedin 200 €. El canvi es presenta a l'hora d'haver de pagar 8 € quan solament en tens 3. De fet no pots: en deus 5 (el vocabulari pot ser el que us sembli més adient) i escrivim "- 5", associant el signe "-" a l'expressió "en dec". Un cop fetes les restes parcials el càlcul últim és senzill: "si em queden primer 200 € i després 10, me'n queden 210 i si en dec 5, al final em quedo amb 205 €"

Idees finals

Hem posat un exemple, el cas en que la dificultat està en les unitats, però s'estén sense dificultat a altres casos ( a les desenes o a desenes i unitats a la vegada) proveu-ho.

Creiem que l'algorisme en columnes és una gran alternativa per a solucionar les operacions a cicle inicial ja que globalitza la comprensió del sistema de numeració decimal treballant contínuament amb descomposicions de nombres i dóna un model transparent tant per la suma com per la resta.

De totes maneres cal anar amb compte: estem parlant d'una manera de fer Matemàtiques centrada en resoldre situacions. Si ara s'adopta el càlcul en columnes i d'aquí a 3 anys comencen a sortir "quaderns de càlcul en columnes" per exercitar-lo, ens estem equivocant ja que oblidem el context.

Un últim apunt: solucionant les restes per l'algorisme en columnes desapareix el "contingut" restes portant-ne: no es necessita. Aquest aspecte és específic del algorisme estàndard: quan el dependent de la botiga et torna el canvi d'un bitllet de 50€, en algún moment pensa "en porto una"?

Comentari curricular

La LOE, a Catalunya ha desplaçat la introducció de l'algorisme de la resta portant-ne a Cicle Mitjà. Estem completament d'acord, ja que endarrereix la presentació i això ens sembla positiu, però què passa amb els problemes? deixarem de fer problemes de resta portant-ne? De cap manera: gràcies a la resta en columnes podrem atacar qualsevol problema de resta que es presenti a cicle inicial tal i com fèiem abans, però a més sense necessitat de preocupar-nos per fer entendre un algorisme gens transparent.

Amb aquest post donem per acabada (si és que no hi ha algun canvi inesperat) la sèrie de quatre posts sobre resta portant-ne
Posts relacionats: Resta portant-ne (I), Resta portant-ne (II) i Resta portant-ne (III)

Nombres primers, compostos i quadrats

Gràcies a un tuit de la "particular" Vi Hart (@vihartvihart  o http://vihart.com) hem conegut un applet que comença amb una imatge com aquesta:

La primera imatge que apareix representa la sèrie d'arcs de circumferència de radi: 1, 2, 3, etc. Quan activem la "pel·lícula" es va formant una espiral.

A mesura que avança, es van acolorint de vermell els nombres primers i veiem, per exemple (veure figura inferior) que el 51 està alineat amb el 3 i el 17 i 51 és 3x17. Ens preguntem: passa sempre que el nombre final és el producte dels nombres que estan alineats amb ell? Quina informació ens donen els nombres que surten alineats amb d'un nombre determinat? Com veieu és una magnífica ocasió per convidar als alumnes perquè "parlin ells"

 

Aquesta espiral ens va fer pensar en una imatge famosa, davant  de la qual la pregunta que s'acostuma a fer és: qué és això?

I la resposta és "el gargot d'Ulam": els nombres primers pintats en una quadrícula en espiral començada des del centre. Convida a pensar que aquests maleïts nombres primers deuen tenir alguna regularitat encara no trobada. Si voleu conèixer més a fons aquesta història us remetem a la fantàstica exposició sobre "quadrats" dissenyada per la gent de la societat balear Xeix. Us presentem una petita mostra que pot donar lloc a una gran feina amb l'alumnat.

Finalment, comentarem un altre applet que resol de manera notable la representació de divisors d'un nombre. En la part central veiem el gràfic, a sota el nombre, en aquest cas el 36 i a la dreta la seva descomposició en nombres primers.

Si llegim de fora cap a dintre viem que hi ha:

• Un cercle blau gran que conté 3 cercles blaus petits 
• Cada cercle blau petit conté 3 cercles grocs
• Cada cercle groc conté 2 cercles grocs petits
• Cada cercle petit conté 2 punts, el que finalment ens porta a 3x3x2x2

Creiem que és una representació que permet crear preguntes interessants i reptes de cara als nostres alumnes, com per exemple:

• Aquí veiem les representacions de quatre nombres: el 6, el 7, el 8 i el 9. Troba un altre nombre que tingui la mateixa representació que el 7 (és a dir sense subgrups)

 

• Donat un nombre, dibuixa el gràfic (es pot fer manipulativament representant la  quantitat  amb fitxes de parxís). 
• Molts nombres tenen més d'una representació. Donat un nombre, fes totes les representacions possibles. Per exemple, el 30 dóna gràfics diferents segons es comenci la descomposió per 2x15, 3x10 o 5x6. 
• Els nombres primers tenen una sola representació possible. Hi ha altres nombres que la tinguin?
• Donat un gràfic "mut" (amb cercles però sense els punts) troba alguns nombres que responguin a aquesta estructura

Esperem que en aquest començament de curs encara pugueu fer un espai per a enquibir alguna d'aquestes idees al llarg de l'any, si és que us han agradat.

Afegitó (7/11/12)
Una altra animació preciosa

Al següent vídeo podem veure una activitat relacionada amb aquest applet que proposa @martapb87 als seus alumnes de 6è  

La regla de tres

Aquestes precioses il·lustracions pertanyen a un quadern de problemes escrit l'any 1932 per l'Anicet Villar, mestre del grup escolar Pere Vila de Barcelona. La raó per dedicar-li un post és que a la introducció al quadern ens ha semblat veure, en certs aspectes, una proposta propera al que pensem actualment sobre el que haurien d'aprendre els alumnes.

 La introducció: una declaració d'intencions

Volem destacar tres idees interessants que ens suggereix la seva lectura. La primera la trobem quan diu que l'alumne "descobreixi el fil de les relacions que hi ha entre els diferents problemes del mateix tipus", desplaçant així el punt de mira d'una proposta d'un llistat de problemes per entrenar de manera irreflexiva a un llistat de problemes per descobrir-hi relacions.

El segon aspecte ens acosta a la comunicació. No sabem si la pretensió de l'autor era únicament explicar a l'alumne com es resolia aquell tipus de problema en concret. Però, vist amb ulls d'ara i pensant en termes de comunicació, la seva pretensió podia ser donar pautes perquè els alumnes expliquin en forma de text la seva resolució d'aquell tipus de problemes, entrant de ple en la competència comunicativa.

El tercer aspecte i la regla de tres

Fins ara se'ns podria acusar de "lectura parcial o interessada" de les intencions de l'autor, veient coses que potser no són així. Però en l'últim paràgraf de la introducció en la que fa referència explícita a la "regla de tres" o a determinades fórmules d'economia domèstica, no hi ha dubte: les seves indicacions i el que pensem ara estan molt properes: defuig la presentació de fórmules per defensar un treball molt més conceptual. 

Reproduïm aquí sota el paràgraf esmentat:

"Els problemes de regla de tres, d'interès, etc., es resolen per reducció a la unitat, o potser millor dit, per raonament lògic prescindint de tota regla més o menys artificiosa. El mestre que vulgui ensenyar aquestes regles com a mitjà ràpid i mecànic de trobar la solució farà bé sempre que el nen estigui preparat de tal manera que, encara que oblidés les regles fos capaç de resoldre els problemes per discerniment propi"

Si el pobre Anicet veiés l'èxit que té actualment explicar la regla des tres a moltes de les nostres aules, no descansaria en pau. 

Aquest exemple ens dóna entrada a una pràctica, malauradament massa estesa encara en la nostra realitat educativa: l'administració sistemàtica i contínua de "formules màgiques" específiques que solucionen problemes específics: la regla de tres, el càlcul de tants per cent, l'àrea del trapezi, del rombe, dels polígons regulars a partir de l'apotema, córrer la coma en les multiplicacions per decimals, l'escaleta per fer conversions en el sistema mètric decimal, etc. I el més greu és que pensant que guanyem eficàcia, el que fem és donar una imatge als nostres alumnes completament distorsionada del que vol dir "fer Matemàtiques".

Ensenyar la regla de tres a Primària segurament roba a molts d'alumnes, la possibilitat de "descobrir el fil" de les relacions multiplicatives entre nombres o de trobar regularitats més enllà de les additives. Explicar-la a Secundària fa que no entrin a fons a una idea important: la de raó i proporció. A més els deixa orfes d'estratègies, de manera que davant un problema nou una mica diferent als fets anteriorment, no saben com encarar-lo i es bloquegen. Per culpa de l'aprenentatge basat en fórmules molts professors de matemàtiques ens trobem que quan s'acosta la declaració a hisenda, els amics "autònoms" ens truquen per preguntar-nos com es fa per calcular l'IVA corresponent a un producte del que sap el preu final (amb IVA carregat) i cal desglosar-ho.

La regla de tres i en Claudi Alsina

Tenim dues referències sobre la regla de tres, fetes per Claudi Alsina famós i divertit matemàtic de professió i divulgador de vocació. La primera és un innocent acudit publicat al número 3 de la revista l'Escaire (1979).

La segona referència és una frase dita, si més no contundent, en una xerrada als anys 80 on intentava explicitar l'estat de la didàctica de les Matemàtiques al nostre país:

"La regla de tres es diu així perquè solament s'explica a tres països: Espanya, Grècia i Portugal"

Llegida actualment, un pensa si "rescat" i "regla de tres" tenen alguna relació.

Molts anys després d'escriure aquest post, al 2018, durant una sessió del mòdul 2 del curs ARAMAT, analitzant els càlculs basats en la proporcionalitat involucrats en una activitat sobre estadística "Nombres en persepectiva", va surgir la reflexió sobre la falta d'estratègies alternatives a la regla de tres i vam acabar analitzant les taules de proporcionalitat com a estratègia eficient per a aquests càlculs. Aquest vídeo resumeix aquesta discussió:

Hem tornat

Comença el curs. És el moment en que ens plantegem que farem enguany. Posem en ordre les coses de les que estem satisfets per repetir-les aquest any, potser amb algun petit canvi. Ens plantegem alguna millora en coses que no ens han acabat d'agradar. Ara és el moment del treball creatiu i tenir alguns referents a l'abast per treure-hi idees és una bona idea.

Pensem que us poden ser útils algunes adreces de pàgines web o blocs (que seria interessant que seguíssiu) que ofereixin activitats concretes i classificades per poder inspirar-se. En aquest sentit, una de les pàgines que us recomanen és nrich que periòdicament planteja activitats, gairebé sempre en forma de problemes, jocs o reptes per a alumnes de totes les etapes. Mentre que les seves etapes 1, 2 i part de la 3  abastarien primària, les etapes 3 i 4 són pròpiament d'ESOt d'ESO  i la 5 abastaria últims cursos d'ESO i certes incursions a Batxillerat. La pàgina és en anglès, però té traducció automàtica (no és que sigui excel·lent però ajuda)

Val a dir que apart de plantejar el problema, tal com es veu a la capçalera, s'hi inclouen unes molt útils "notes pel professorat", que solament ocupen un full i més o menys sempre tenen la mateixa estructura:

1. Per què aquest joc?
2. Possibles enfocaments
3. Les preguntes clau
4. Possible suport
5. Possible extensió

Una altra característica important és que moltes d'aquestes activitats aporten un applet per poder treballar-hi o vídeos explicatius. Un últim apartat, molt interessant, però del que molts quedem fora, de moment, per culpa de l'idioma, és un lloc on els alumnes poden enviar la solució del problema i hi queden recollides.

Alguns exemples
Etapa 1 i 2: Dotty six:
Una mena de quadrat màgic en el que cal aconseguir tres sisos en ratlla. Cal destacar que inclou un vídeo explicatiu i un applet per a jugar-hi.

Etapa 3 i 4: Tres en ratlla

Un altre joc del tres en ratlla que treballa les sumes i restes de nombres enters, on es pot triar l'ordre dels nombres i l'operació, per aconseguir el nombre desitjat.

Hem posat dos jocs d'exemple, però la col·lecció de situacions i problemes toca molts aspectes com veureu a l'apartat de pòsters. 

Els pòsters nrich: una gran ajuda
Alguns dels molts problemes de la pàgina estan recollits, en presentacions power point, en un format que ells anomenen "pòsters" preparats per a ser presentats amb un projector. Considerem que és una eina molt útil ja que ens dóna una visió d'entrada interessant.

Us presentem un exemple  de l'etapa 3 per que en veieu el format. Clicant a sota de la imatge en trobareu molts més de la mateixa llista. Aquestes power point  poden ser descarregats.

Per accedir a la llista completa cliqueu aquí: 
presenten aproximadament 90 problemes.

Hi ha dues cintes vermelles i quatre de blaves en una caixa. Traiem dues cintes de la caixa sense mirar. Guanyes tu si són del mateix color i guanyo jo si són de colors diferents. És un joc just? 

Si un problema us interessa cliqueu a sobre i s'obrira una pàgina amb el problema i la possibilitat d'imprimir-lo, però a més trobareu un ellnaç directe al problema on trobareu les indicacions per professorat així com  vídeos o applets que l'acomapanyen 

Per accedir més llistes aneu a la pàgina general de pòsters aquí Hi trobareu propostes per a altres etapes i aspectes.

Els referents i el treball cooperatiu

La pàgina és molt completa i no te l'acabes en un any, però pot ser de gran ajuda. De totes maneres des de Puntmat llancem una idea: si utilitzeu algunes activitats de nrich i n'esteu contents, ara que tindreu menys alumnes per classe i estareu descansats, ens escriviu un mail a puntmat@gmail.com. Poseu-hi l'enllaç al problema que heu treballat i un full adjunt amb comentaris, fotografies o el que vulgueu, i sobretot la vostra opinió:perquè us ha agradat? No oblideu de posar el nivell en que s'ha treballat.
A final de curs farem un "rànquing" que publicarem en aquest bloc: i que vol ser una veritable guia de problemes experimentats a classe que pot servir per a millorar la nostra formació. Us esperem.

Una proposta de formació individual

Si la pàgina us ha agradat la podeu anar mirant periòdicament, però és molt millor fer un RSS, registrar-se per rebre la informació, o en aquest cas el més senzill fer-se'n seguidor en twitter per així rebre l'anunci de les novetats tant bon punt surten a la pàgina. Així sense esforç podeu anar incorporant idees noves de manera automàtica.
Us desitgem un bon curs malgrat l'entorn que ens espera.