Els primers nombres quadrats (I)

Des del moment en  que a un alumne li podem proposar la tasca de dibuixar tots els rectangles possibles que cobreixin 23, 24 o 25 quadrets d'un paper quadriculat, ja podem introduir els conceptes de nombres primers, compostos i quadrats. Al post Nombres primers, compostos i quadrats vam veure que després d'haver introduït aquests noms, podem visualitzar-los de molt variades maneres.

Però a més de saber identificar els nombres quadrats creiem en la importància de que els alumnes memoritzin alguns d'ells per poder avançar en tasques posteriors sense haver d'aturar-se a verificar si són quadrats o no. A més creiem que aquesta memorització pot desenvolupar-se en un ambient de resolució de problemes. 

En aquest post, a l'igual que vam fer a Els primers nombres primers, volem comentar alguns exemples d'activitats que al nostre entendre permeten als alumnes familiaritzar-se amb els primers nombres quadrats i que poden resoldre simplement coneixent els 20 nombres quadrats més petits que 400.

1) Suma de quatre quadrats

El matemàtic Joseph Louis Lagrange en 1770 va demostrar que “Tots els nombres enters es poden descompondre com a suma d'un màxim de quatre nombres quadrats”. 

Tal com es veu en l'animació anterior aquesta descomposició no és única

a) 90 és el nombre de dues xifres que admet més descomposicions diferents: quantes en té?

b) quins són els dos únics nombres entre 50 i 100 que admeten una única descomposició?

Solució: Les nou descomposicions del 90 són 9+81, 1+25+64, 16+25+49, 1+4+4+81, 1+4+36+49, 1+9+16+64, 4+25+25+36, 9+9+36+36 i 9+16+16+49. Podem proposar als alumnes que trobin aquestes descomposicions de manera cooperativa i, als alumnes que presentin més dificultats amb la tasca, els podem donar 90 cubets encaixables i demanar-los que els agrupin en 4 o menys quadrats. També es pot simplificar la tasca canviant el 90 per un 50 que té cinc descomposicions possibles.

Els dos nombres entre 50 i 100 que admeten una única descomposició són 56=4+16+36 i 96=16+16+64 (novament creiem que es tracta d'una tasca adient per ser resolta de manera cooperativa, donem a cada alumne dos nombres entre 50 i 100 i els demanem que els descomponguin, en el moment que surtin dues possibilitats, de dos alumnes diferents, descartem el nombre com a resposta a la pregunta formulada).

A @escolasadako les mestres de 6è van proposar als seus alumnes experimentar amb el teorema en un altre format igualment productiu:

2) Restant el major quadrat
Restant sempre el major quadrat possible arribem des de qualsevol nombre al 0. Però quantes restes necessitem? El 96 requereix cinc restes: 96 → 96-81=15 → 15-9=6 → 6-4=2 → 2-1=1 → 1-1=0

• quin és el menor nombre que requereix cinc restes?
• quin és el menor nombre que requereix sis restes?

Font: Hem conegut aquesta formulació del problema a través de @willhek1 

Solució: 23 és el menor nombre que requereix 5 restes: 23 → 7 → 3 → 2 → 1 → 0 i 167 el menor nombre que requereix 6 restes: 167 → 23 → 7 → 3 → 2 → 1→ 0. 
Més resultats a A006892 i A053610

3) Suma de dos quadrats
A) Quins nombres menors que 100 es poden escriure com a suma de dos quadrats?

Solució: Observa la imatge que hi ha a a continuació: a la taula de l'esquerra es poden veure els 43 nombres menors que 100 que poden ser descomposts com a suma de dos quadrats.

A partir d'una taula com aquesta taula els alumnes poden conjecturar que cap nombre anterior a un múltiple de 4 es pot escriure com a suma de dos quadrats. Els alumnes més grans, poden investigar les descomposicions factorials dels altres nombres que no es poden descompondre com a suma de dos quadrats (mirar la taula de la dreta) i i poden fer altres conjectures que s'apropin al teorema dels dos quadrats de Fermat (també conegut com a teorema de Nadal atenent a que es diu que el va demostrar el 25 de desembre de 1640) que afirma que

• un nombre és suma de dos quadrats si i només si cadascun dels seus factors primers de la forma 4 k + 3 intervé amb una potència parell.

• un nombre primer es pot escriure de manera única com a suma de dos quadrats si i només si és de la forma 4n+1.  Ho ilustrem amb una altra animació de @funfunfunctions

 B) Tria dos nombres quadrats i suma’ls. Troba dos quadrats que sumin el doble que els primers.  

Solució: Per exemple, si els alumnes han triat 16 i 25 que sumen 41, ara han de buscar dos quadrats que sumin 82 (1+81). Trobar aquesta segona parella sempre és possible.

La justificació visual d'aquest fet es pot veure a la següent imatge: el quadrat vermell i el quadrat blau representen la primera parella triada i el doble d'aquesta suma està representat en la part superior de la imatge, a la part inferior de la imatge es veu com les peces es poden reorganitzar (retallant el rectangle groc de la dreta i posant-lo en el lloc marcat en groc fosc) com si fossin peces d'un puzle per obtenir una parella de quadrats que apareixen en gris (els destinataris d'aquesta justificació són els mestres i els alumnes més inquiets però de cap manera la seva presentació és la fita de l'activitat, la qual continua sent la familiarització amb els nombres quadrats):

Encara més, en la imatge hi ha amagada una estratègia per resoldre la tasca: si els primers quadrats triats són a2 i b2, els que s'han de trobar poden ser (a+b)2 i (a-b)2.

L'activitat aquí proposada és un cas particular d'aquesta altra: "Tria dos nombres quadrats i suma’ls. Tria altres dos nombres quadrats i suma'ls (poden ser els mateixos que abans). Multiplica els dos resultats anteriors i troba dos quadrats que sumin el resultat de la multiplicació".

4) Diferència de dos quadrats
Quins nombres es poden expressar com a diferència de dos nombres quadrats?

Solució: Si proposem la tasca de manera cooperativa (cada grupet d'alumnes s'encarrega d'analitzar una desena de nombres) i demanem als alumnes que vagin acolorint els resultats obtinguts en una  graella del 100 que posem a la pissarra, es pot conjecturar que els nombres que es poden expressar restant dos nombres quadrats són tots els senars i dels parells la meitat (graella de l'esquerra a la següent imatge).

Si la graella que posem a la pissarra és una graella multiplicativa es pot conjecturar que els nombres que es poden expressar restant dos nombres quadrats són els resultats de parell x parell, senar x senar o múltiples de 4 per qualsevol nombre (graella de la dreta a la següent imatge).

En lila apareixen els nombres 1 i 4 perquè necessiten del 0 per poder obtenir-los com a diferència de nombres quadrats

5) Divisions de nombres quadrats I
Tria un nombre i suma-li 3, divideix el quadrat del nombre triat entre el resultat de la suma. Fes-ho amb diferents nombres de sortida, què hi observes?

Solució: Encara que en un inici no sembla que hi hagi cap patró a partir de la setena divisió aquest patró es fa evident

Per suposat que la validesa de la conjectura sobre la invariabilitat del residu i la relació entre el nombre triat i el quocient es pot justificar algebraicament (n2=(n+3)(n-3)+9) però segurament els alumnes als que hem proposat la tasca encara no han treballat amb tanta àlgebra com per ser convençuts per aquesta igualtat. Per tant, creiem més oportú presentar-los una justificació visual: en dividir un quadrat de costat n en grups de n-3 elements, resultat n+3 grups i ens sobren 9 quadrets.

Variants del problema: si proposem als alumnes triar un nombre i sumar-li 1 en lloc de sumar-li 3, el patró en els residus i els quocients es fa evident des de la primera divisió. També es pot sumar 2 o qualsevol altre nombre: el residu a partir d'una certa divisió sempre serà el nombre sumat al quadrat.

6) Divisions de nombres quadrats II
Divideix els primers nombres quadrats entre 4, què hi observes?

Solució: 

Els alumnes que trien fer divisions decimals veuen que per als quadrats parells el quocient és un nombre enter i per als quadrats senars el quocient sempre té la forma x,25. Els alumnes que trien fer divisions enteres veuen que per als quadrats parells el residu sempre és 0 i per als quadrats senars el residu sempre és 1. El que té més gràcia és quan s'adonen que els quocients compleixen un interessant patró de creixement tal com es veu a la imatge (recull de resultats de les divisions de 1:4 a 100:4 fetes per un alumnes de 1r d'ESO)

En la següent imatge es veu una justificació visual d'aquest comportament:

Els primers nombres quadrats (II)

Seguint la proposta del post Els primers nombres quadrats (I) aquí continuarem comentant alguns exemples d'activitats que al nostre entendre permeten als alumnes familiaritzar-se amb els primers nombres quadrats en un ambient de resolució de problemes.

1) Quadrat més proper
Quin és el nombre quadrat més proper als següents nombres? 

• 1x2x3x4 
• 2x3x4x5
• 3x4x5x6 
• 4x5x6x7 
• ...

Font: Product of four consecutive integers
Solució: Si els alumnes coneixen els primers nombres quadrats podran observar que els resultats d'aquestes multiplicacions són sempre el nombre anterior a un nombre quadrat i alguns podran anar més enllà: el resultat de a·b·c·d és el nombre anterior al quadrat de a·d+1 o c·d-1

2) Quadrats consecutius
Escriu, en ordre, quatre nombres quadrats consecutius. Suma els dos dels extrems. Suma els dos del mig. Què hi observes?

Solució: La suma dels extrems és sempre 4 unitats major que la suma del mitjos. Aquesta regularitat a l'igual que l'anterior són fàcilment justificables algebraicament però no és aquest l'objectiu principal de l'activitat, que recordem que és familiaritzar-se amb els nombres naturals i establir conjectures en relació als patrons que hi puguin detectar.

3) La xifra final dels nombres quadrats
Escriu els primers nombres quadrats en ordre creixent i analitza la xifra de les unitats de cadascun d'ells. Què observes?

Solució: A partir d'aquests primers casos els alumnes poden conjecturar que cap nombre quadrat acaba en 2, 3, 7 o 8 o poden detectar que la xifra de les unitats segueix un cicle: 1, 4, 9, 6, 5, 6, 9, 4, 1, 0 i torna a començar. Aquest cicle no es trenca degut a la propietat que exposa el següent diagrama en relació a què passa en elevar un nombre al quadrat: si acaba en 0, 1, 5 o 6 el resultat acaba en la mateixa xifra, si acaba en 2 o 8 el resultat acaba en 4, si acaba en 3 o 7 el resultat acaba en 9, si acaba en 4 el resultat acaba en 6 i si acaba en 9 el resultat acaba en 1. 

Ampliació: Quines poden ser les dues últimes xifres d'un nombre quadrat?

Solució: Mentre que l'última xifra dels nombres quadrats poden ser 6 valors entre els 10 possibles, les últimes dues xifres poden ser 22 entre les 100 possibles (apareixen ressaltades en la següent tabla):

4) La xifra inicial dels nombres quadrats
Quin és el primer nombre quadrat que comença en 5?

Solució: El primer nombre és 529 (el quadrat de 23) però no és el dígit que més triga en aparèixer a la xifra inicial dels nombres quadrats (el 7 no apareix fins al quadrat de 27, 729). Val a destacar que les primeres xifres dels nombres quadrats no segueixen un patró com els que hem observat en les últimes xifres.  

5) Collar de perles quadrades
Reordena els nombres de l'1 al 35 perquè la suma de dos nombres adjacents sigui un nombre quadrat

Solució: 

enllaç

A la imatge anterior es veu un collar obert i al rang 1-35 però aquí es pot trobar una distribució que permet fer un collar tancat en aquest rang (1 35 29 20 16 33 31 18 7 9 27 22 14 2 23 26 10 6 19 30 34 15 21 28 8 17 32 4 5 11 25 24 12 13 3) i també en rangs més grans (fins i tot 1-50)

Quadrats torts

Creiem que és molt important que els alumnes des de ben petits s'acostumin a identificar els quadrats més enllà de les posicions prototípiques en que habitualment els presentem i que entenguin que un polígon de 4 costats només ha de complir dues condicions perquè sigui anomenat quadrat: que tots els seus costats siguin iguals i que tots els seus angles siguin rectes.

Un primer applet que ens pot ajudar a aconseguir aquest objectiu és "Complete the square". Allí es proposa als alumnes que completin un dibuix perquè en acabar quedi representat un quadrat:

http://nrich.maths.org/2910 

Un segon applet "Square it" els proposa posar en joc els aprenentatges anteriors intentant guanyar a l'ordinador o a un company en qui és el primer en aconseguir triar quatre punts que determinin un quadrat (una espècie de "3 en ratlla" al que podíem anomenar "4 en quadre"). Òbviament, aquells alumnes que siguin capaços de "veure" els quadrats torts aprofitaran aquest avantatge.

http://nrich.maths.org/2526

Encara que no sigui un applet hi ha una altra activitat proposada pel Projecte NRICH que pretèn el mateix objectiu que intentem destacar en aquest post. Es tracta de descobrir quin és el màxim nombre de fitxes que podem posar en una graella de nxn de manera que triades 4 d'elles mai quedi determinat un quadrat (Square Corners).

Una possible distribució de la màxima quantitat de fitxes que es poden col·locar
en una graella de 4x4 de manera que cap quaterna determina un quadrat

Una altra tasca (típica pràctica productiva) directament relacionada amb la promoció entre els alumnes de exemples de quadrats torts és la coneguda "Quants quadrats diferents es poden dibuixar en un geoplà de nxn?" Per a aquesta tasca tenim disponibles els geoplans recollits en aquest post.

En les tres imatges anteriors es poden veure els onze quadrats
diferents que es poden dibuixar en un geoplà de 6x6. 

Per comprovar la quantitat de quadrats diferents que es poden col·locar en un geoplà de nxn en funció de n podeu anar aquí.

Si volem endinsar-nos en el món de les coordenades, és interessant treballar els patrons que s'estableixen entre les coordenades dels quatre vèrtexs dels quadrats "torts".

Podem començar experimentant amb l'applet del NRICH: Square coordinates

http://nrich.maths.org/2667 

I acabar analitzant les regularitats entre les coordenades dels vèrtexs d'un quadrat quan està centrat a l'origen o quan un desls seus vèrtexs és (0,0) tal com proposa Don Steward en el seu post Slanted Squares

Si un vèrtex té coordenades (a,b) el seu oposat és (-b,a) i el tercer (a-b,a+b)

Applets de divisibilitat

Els primers passos en divisibilitat giren sobre al idea de múltiple, divisor i la descomposició de nombres en producte de primers. Podríem dir que si quan treballem les taules de multiplicar partint del resultat  (42= __x__) comencem a entrar en el camp de la descomposició en factors.
Si demanem que enlloc de descompondre en dos factors ho facin en tres, quatre etc, arribarem, de manera natural, a la descomposició en factors primers a partir de les idees emergents dels alumnes. És per aquesta raó que comencem aquesta presentació d'applets per un joc restringit a les taules de multiplicar, per després anar entrant més a fons en el tema.

NOTA: Per a accedir als applets cal clicar a sobre de les imatges

Quatre en ratlla

Joc per dos jugadors. Cal aconseguir "pintar" quatre nombres en línia. Exemple: primer jugador: si vol  pintar el 18 ha de generar-lo a partir de dos dels nombres de la tira inferior. Per a fer-ho ha de situar el rectangles dels extrems sobre dos nombres de manera que el seu producte sigui 18, com per exemple  el 9 i el 2 (o també el 6 i el 3).  Un cop fet, el 18 queda marcat a la graella amb el color del jugador i passa el torn al jugador següent que ja solament podrà moure un dels dos rectangles. Podríem dir que aquí comença la part estratègica del joc.
És fàcilment "materialitzable" és a dir es pot convertir en joc de taula  per poder treballar sense ordinador.

Ànecs que corren

Applet d'exercitació que té certa gràcia: segurament caldrà anul·lar el so als ordinadors si no voleu que la classe es converteixi en un galliner. Té diverses opcions que van des d'identificar parells i senars, fins a la identificació de potències de 2 o quadrats perfectes, passant per la identificació de múltiples d'un nombre concret.








Factoritze2: una visió geomètrica de la descomposició en factors

Identificar un producte amb el model rectangular, és a dir amb una visió geomètrica, ens obre les portes a veure que els nombres es poden representar en forma de "barra" (rectangles amb un costat que mesuri 1) en forma de rectangle i alguns d'ells en forma de quadrat. D'aquí pot sortir, de manera natural, la idea que un nombre primer és aquell que solament es pot representar en forma de barra. A més a més ens obre les portes a il·lustrar per què diem nombres quadrats als nombres elevats a dos.


La caixa forta

Per obrir la caixa forta cal prémer tots els divisors del nombre que surt al centre i clicar a la maneta.
Presenta dos nivells. En el segon nivell de dificultat (amb nombres entre 101 i 199) és quan cal utilitzar, de vegades, la calculadora. Per exemple per saber si 858 és múltiple de 7 poden provar a fer 70x12=840, i a partir d'aquí veient que els 18 que falten no són múltiples de 7 el nombre no ho és. La genialitat és que la calculadora no té tecla de dividir!

Arbre de factors i càlcul del mcd i mcm

Aquest applet, ja ha estat comentat en dos posts d'aquest bloc: "Un algorime més transparent per a calcular el MCD" i "Més sobre l'arbre de factors". Ens planteja un camí  alternatiu al model de factorització que normalment utilitzem. Per altra banda, "fórmules" del tipus "comuns i no comuns elevats a l'exponent més gran" desapareix del mapa per donar lloc a una proposta molt més transparent. Per més informació  mireu  els posts citats.

Factor game: dominar els divisors i tenir estratègies

Joc per a dos jugadors, el primer tria un nombre, per exemple el 28 clicant a sobre. El segon jugador ha de clicar els divisors propis del nombre, en aquest cas 1, 2, 4, 7 i 14.
El primer jugador guanya tants punts com el nombre triat (28) i el segon guanya tants punts com el resultat de la suma dels divisors que ha escrit (1+2+4+7+14 = 28). En aquest cas dóna també 28, com en el cas del 6, per això s'anomenen "nombres perfectes", però en general no passa.
Un cop s'ha utilitzat un nombre tant dels que s'han triat com dels divisors, ja no es poden utilitzar més. Per quin nombre començaríeu a jugar? i si fóssiu el segon jugador, quina seria la vostra estratègia?

Mesura de superfície amb Tangram i Geoplà

Per començar presentem una activitat realitzada amb els alumnes de Magisteri d'Educació Musical de la UAB, i que tracta sobre el tema mesura de superfície, bàsicament el treball d'ús d'unitats. Per portar-la a terme es van utilitzar dos materials manipulatius: el Geoplà de malla quadrada i el Tangram standard.

L'activitat es va organitzar dividint la classe en quatre grups, encarregant una tasca diferent a cadascun d'ells i finalment fent una exposició de cadascun dels grups.

Aquesta és per exemple la tasca encarregada al grup 1, en aquest cas sobre Geoplà.

 Altres grups tenien tasques sobre Tangram.

Un cop acabades les tasques els grups van presentar les seves conclusions públicament, relacionant les diferents tasques presentades, i trobant alguna solució nova, gràcies a les intervencions del companys.

Per veure aquesta lliçó, alguna resposta d'alumnes, etc., cliqueu aquí i entrareu directament a la fitxa de la lliçó dintre de la web de l'Espai Jordi Esteve. L'Espai Jordi Esteve, és un projecte que té per objectiu publicitar l'ús de materials manipulatius per a l'ensenyament de les Matemàtiques. A la seva pàgina a més d'una mostra i descripció de materials, hi trobareu recursos (vídeos, simuladors, documents per imprimir, etc) i reculls d'activitats siguin propostes per fer a classe o relats de lliçons fetes.

Comentari posterior
Al 2018, molts anys després d'haver proposat aquestes tasques, en un taller durant les jornades de @ademgi el Xavier Fernández ens va proposar anar més enllà d'utilitzar les peces del tangram com a unitats d'àrea: provar que en el tangram dos triangles mitjans més dos paral·lelograms més dos quadrats són "iguals" que tres triangles grans.

Si entenem "iguals" per "tenir la mateixa àrea", la igualtat és certa ja que els triangles mitjans, els paral·lelograms i els quadrats tenen per àrea la meitat que l'àrea dels triangles grans, però amb la @lau_morera hem buscat anar més enllà i provar la igualtat entenent per "iguals" que els dos grups de figures podien unir-se per conformar una mateixa figura

 

Val la pena observar que malgrat à(dos quadrats) = à(triangle gran), dos quadrats no són "iguals" a un  triangle gran si entenem per "iguals" que els dos grups de figures podien unir-se per conformar una mateixa figura.

No només mesurem àrees
En aquest taller, el Xavier va proposar "ordenar" les peces per diferents criteris i vam voler anar més enllà de les mides habituals:

• àrea (de gran a petit i de tal manera que el mateix color implica igual àrea)

• perímetre (de gran a petit i de tal manera que el mateix color implica igual perímetre)

• diàmetre (de gran a petit i de tal manera que el mateix color implica igual diàmetre)

• radi màxim de cercle inclòs (ara sí 5 figures amb 5 mides diferents)

Fraccions: què vol dir "parts iguals"?

Una activitat de mesura

Vàrem posar-nos en una sala petita de l'escola Baloo, corria l'any 99, una càmera de vídeo filmaria el que ens proposàvem fer aquell matí amb alumnes de 6è. Sobre havia la taula una "caixa d'eines" (una caixa en la que hi ha de tot: cordills, paper quadriculat, regle graduat, escaire, cartabó, semicercle graduat, paper vegetal, calculadores, etc.) amb l'objectiu que siguin els alumnes qui triïn l'eina a l'hora de solucionar un problema.

Els alumnes entren en grups de quatre i a cada grup els plantegem la mateixa activitat: agafem quatre fulls iguals i doblegant de diferents maneres obtenim aquestes línies.

De cadascun del fulls separem, retallant, una de les seves parts

Posem les quatre figures sobre la taula i preguntem: d'aquestes quatre figures que hi ha sobre de la taula, quina és la que té l'àrea més gran?

Què van contestar els alumnes?
La primera resposta va ser francament desencoratjadora. Una mica més i pleguem!

• Manuel: L'àrea és com... allò del fútbol, oi?

El que buscàvem nosaltres en aquesta activitat és veure si els alumnes tenen clara la idea de fracció, i realment, apart de la desmoralització de la mestra veient el que "els ha quedat" de quan van fer àrees, es va produir una discussió molt interessant que no reproduïrem aquí, però de la que en fem un resum. Podeu llegir-ho complet a l'article "Del cuarto escondido a la idea de área: el material como modelo o contexto generador de problemas". (Carme Barba & David Barba. Aula 83/84. Juliol 1999, pg 46-49).

Finalment després de molt discutir i arribant a una mena de definició d'àrea com a "l'àrea és l'espai que ocupa una figura" van fer la seva primera conjectura 

• Marta: Doncs jo crec que és el triangle!
• Mestra: Podeu demostrar d'alguna manera que el triangle és el que té l'àrea més gran
• Tots: Podem "TOCAR-LOS" ?

La caixa d'eines i el camí cap a la solució
La majoria de grups van optar en primer lloc per la corda, posant-la sobre els costats fins a arribar a adonar-se'n que no els servia. Posteriorment van passar al paper quadriculat per a poder calcular làrea de cadascuna de les figures.

Cal destacar que cap del grups va utilitzar el regle graduat per mesurar costat i altura i aplicar la fórmula per ells ja coneguda. Sembla que si no és en un exercici de llibre de text, no té aplicació. Aixó ens porta a pensar que  l'aprenentatge de les fórmules de les àrees no ha esdevingut competencial.

A mesura que, gràcies al paper quadriculat,  anaven obtenint resultats, i veient que cada nova figura mesurada donava el mateix resultat que les anteriors, van arribar a enfurismar-se, fins a dir-li a la mestra.

• Ondia! si són iguals! TU (mestra) ens ho has fet retallar de una manera determinada per a enganyar-nos. No ens havies dit que era la quarta part!!!

Reflexionant sobre aquesta experiència veiem que aquí no solament es treballa el concepte d'àrea, sinó que, paral·lelament, implica també  el concepte de fracció que, de fet, esdevé la millor "eina" per a resoldre el problema. Solament un grup, va solucionar el problema utilitzant aquesta idea, sense necessitat de prendre cap mesura.

• Grup: Són iguals (sense mesurar res, a la primera)
• Mestra: Per què?
• Grup: Perquè cada part és 1/4

Una bona pregunta per discutir sobre fraccions
La pregunta clau seria: "què vol dir dividir en parts iguals quan parlem de fraccions". Veient les explicacions, propostes i exemples i discussions dels alumnes veurem realment que han entés. "Què parlin ells", però com començar?

photo credit: Edgar Barany via photopin cc

Per iniciar  la idea de fracció de manera coherent amb el concepte una activitat interessant por ser la següent. Els alumnes disposen d'una fulla o reproducció d'una fulla i preguntem: "Un cuc es menja una quarta  part d'aquesta fulla cada dia. Dibuixa quant s'haurà menjat aproximadament el primer dia". Posteriorment i utilitzant paper quadriculat cada grup valida qui s'acosta més a la quarta part. D'aquesta manera el concepte de fracció es lliga al de superfície el que ens permet atacar problemes molt més interessants.

Fraccions i textos escolars

La figura següent presenta l'activitat comentada anteriorment, ara en format text, amb la diferència que s'esmenta la quarta part. cosa que en l'activitat de retallar no es va fer.

 3x6-mat, Quandern 17, p18. Ed. Barcanova (2005)

Activitats d'aquest tipus ens obren les porten a una comprensió més completa de la idea de fracció. El problema està en que en la majoria de textos escolars els models gràfics utilitzats gairebé sempre són rectangles, quadrats o cercles dividits en parts d'igual forma, i no proposant divisions de mateixa superfície com per exemple els triangles de groc i vermell de la imatge anterior. Això implica que molts alumnes, i adults associïn que parts iguals vol dir necessàriament "mateixa forma" reducció malèvola del concepte de fracció com a part d'un objecte.

Les definicions matemàtiques i el joc del tabú

Segurament estem d'acord en que aprendre coses de memòria en un moment en que tenim a l'abast Google, Wikipedia, etc ha perdut molta importància. Té sentit preguntar-nos, per tant, quin és el paper que han de jugar les definicions en la classe de matemàtiques? Nosaltres creiem que el paper ha de ser el mateix, sobre tot perquè encara que no existís Internet, la importància de treballar les definicions matemàtiques no ha passat mai per aprendre a recitar-les de memòria.

Algunes característiques de les definicions matemàtiques:

• Són necessàries. Quan resolem un problema en que intervé un concepte matemàtic la majoria de les vegades no fem servir la seva definició (per dir que 17869 no és un múltiple de 5 no fem la divisió entre 5 i verifiquem que el residu és diferent de 0 ni per identificar si el gràfic d'una funció és continua no recorrem a epsilons i deltes). El que fem servir són imatges visuals, propietats, repertoris d'exemples i no exemples o procediments que tenim associats al nom del concepte i amb això en la major part de les situacions en tenim prou. El paper de la definició és vetllar per la coherència de tots aquest coneixements que posem en joc en fer matemàtiques. 
• No són úniques. Es pot definir rectangle de moltes maneres diferents (quadrilàter amb quatre angles de 90º, quadrilàter amb tres angles rectes, quadrilàter amb diagonals iguals que es tallen al punt mig, paral·lelogram amb un angle recte, etc) i no n'hi ha cap més correcte que les altres des d'un punt de vista matemàtic. Això no treu que nosaltres, com a mestres, no tinguem preferències estètiques o didàctiques per treballar amb una en lloc de les altres.
• Són convencionals. Segons totes les definicions anteriors els quadrats són casos particulars de rectangles, però sabem que un rectangle es pot definir també de manera que que exclogui els quadrats (mirar definición de "rectángulo" en el "Diccionario de la Real Academia Española de la Lengua"). La qüestió és que, malgrat que és possible definir així un rectangle, des de les matemàtiques preferim aquelles que relacionen jeràrquicament els quadrats amb els rectangles.

Una bona manera de treballar les definicions a l'aula creiem que és el Joc del Tabú: una idea que vam llegir a un post del bloc "Things I Wish I Knew Earlier About Teaching Maths" (trobo fantàstic aquest títol: Coses que m'hagués agradat saber abans sobre l'ensenyament de les mates)

photo credit: bigbirdz via photopin cc

Només d'imaginar tots els coneixement que s'han de posar en joc quan hem de definir "nombre primer" sense fer servir  la paraula "divisor"ens venen ganes de preparar unes targetes i portar demà mateix el joc a l'aula.

Aquí van dos exemples:

El següent pas, després de jugar amb aquestes fitxes fetes per mestres, és proposar als alumnes que siguin ells qui dissenyin les fitxes. Al post del bloc "Things I Wish I Knew Earlier About Teaching Maths" esmentat abans,  hi ha un enllaç a la descripció d'una classe organitzada al voltant d'una proposta de disseny de fitxes per part dels alumnes.

Pràctica productiva: restes (3)

A l'igual que Pràctica produtiva: restes (2) i a diferència de Pràctica produtiva: restes (1), la tasca sobre la que parlarem en aquest post forma part de l'article de @suma_fespm "Tareas ricas para practicar las restas"

Aquesta tasca està inspirada en el problema anomenat Diffy que ja vam comentar al post Pràctica productiva i pràctica reproductiva però amb una formulació diferent, més propera a l’estudi realitzat pel matemàtic E. Ducci en 1930 que va trobar que sense importar els nombres d’inici sempre s’arriba a quatre zeros (Font: Cut the knot)

Al "Cuaderno de Cultura Científica" la @MartaMachoS ha fet un article sobre "El teorema de Ducci" que ens ha permès conèixer una sèrie molt interessant de referències sobre aquest problema. Entre elles destaquem Carlos D’Andrea y Adrián Paenza, Un cuadrado, cuatro números, Pensamiento matemático vol VIII, no. 1, 71-82.

Farem diagrames amb les normes següents:

• en totes les files hi ha 4 cel·les en cada cel·la, 
• a partir de la segona fila, has d’escriure la diferència entre les dues cel·les que té immediatament a sobre 
• en el cas de l’última cel·la de cada fila la diferència l’has de fer entre el últim i el primer nombre de la fila anterior
• el diagrama acaba quan en tota la fila s’obtenen zeros

Exemple: començant amb els nombres 4, 1, 6 i 2 el diagrama té 5 files

En el context del projecte Problemàtiques alguns mestres del departament col·laboratiu de Matemàtiques de la @FTrams vam proposar a alumnes del cicle superior de Primària que triessin nombres de la primera fila perquè el diagrama tingués la major quantitat de files que puguessin aconseguir. L'activitat va ser un èxit, ja que va engrescar molt als alumnes.

A la següent imatge podeu veure l'anàlisi d'una alumna sobre com afecta l'ordre dels nombres de la primera fila a la quantitat de files del diagrama

En aquesta línia, alguns alumnes van voler analitzar totes les 24 possibles distribucions dels 4 nombres en la fila inicial, sense adonar-se que, per simetries i girs, en realitat només cal estudiar tres distribucions diferents i no més.

Els alumnes als que vam proposar el repte no van aconseguir diagrames de més de 8 files (val a dir que van trobar moltes quaternes diferents que generaven diagrames d’aquesta mida) possiblement perquè a partir de l'exemple, van creure que els nombres inicials havien de ser menors que 10.

El @rbalague11 ens va regalar aquest petit applet per experimentar amb diferents quaternes de dígits!!

Introdueix els quatre nombres inicials (entre 1 i 9)

Nombre de la posició 1:

Nombre de la posició 2:

Nombre de la posició 3:

Nombre de la posició 4:

Però el cert és que, si permetem que a les cel·les vagin nombres majors que 9, hi ha diagrames de tantes files com es vulgui. Per exemple:

• començant amb els nombres 1, 15, 30 i 60 el diagrama té 10 files
• començant amb els nombres 0, 653, 1854 i 4063 el diagrama té 24 files

Altres comentaris:

• Es pot preguntar quin és el diagrama en el que aconsegueixin que hi hagi nombres senars en major quantitat de files. El cert és que a partir de la cinquena fila mai queden nombres senars però es poden triar quaternes en que quedi algun senar fins a la 4a fila (per exemple: 2 4 6 7 → 2 2 1 5 → 0 1 4 5 → 1 3 1 3 → ...) Font: D. Shapiro
• Es pot proposar als alumnes que analitzin el joc quan en lloc de diagrames que tenen 4 nombres per fila en tenen altres quantitats. La conclusió de que sempre s’arriba a tots zeros pot deixar de ser certa Per exemple, per diagrames de 3 nombres per fila es pot entrar en un bucle 1 2 2 → 1 0 1 → 1 1 0 → 0 1 1 → 1 0 1 → 1 1 0 → 0 1 1... Acabem sempre amb el cicle aa0 → a0a → 0aa on a és el mcd dels nombres diferents de zero de la primera fila.
• Es pot demanar als alumnes que comparin un diagrama i el que resulta de sumar, restar o multiplicar a tots els nombres de la quaterna inicial per un mateix nombre.
• Don Steward proposa comprovar que si els 4 nombres inicials estan en progresió aritmètica la quantitat de files és sempre la mateixa (6), investigar què passa quan els 4 nombres inicials són quadrats consecutius, són nombres triangulars consecutius, són termes de Fibonacci, etc o estudiar què passa si a tots els nombres de la quaterna els multipliquem o els sumem un mateix nombre
• Es pot demanar als alumnes que per a la quaterna inicial triïn nombres que no siguin enters. En aquest sentit, a 4t d'ESO de @escolasadako, aquest any vam proposar als alumnos experimentar amb nombres irracionals

Val la pena analitzar que la petita quantitat de files també es dóna quan totes les entrades són irracionals. Aquí veiem l'anàlisi de la situació amb tres irracionals:

A la dreta apareixen les aproximacions decimals dels valors de cada cel·la per guiar la decisió de quin nombre és més gran i així decidir si es resta a-b o b-a.

El Josep, alumne del Màster de Secundària (grup 3, curs 18-19) ho va comprovar utilitzant els quatre irracionals més famosos

El Sergio B. (@magiaymates) es va preguntar: I per què no aplicar això per practicar restes de polinomis? Només haurem de decidir que vol dir fer la diferència entre dos polinomis...

A continuació apareix un exemple entenent que fer la diferència entre dos polinomis és fer la resta entre ells en l'ordre que permeti que el coeficient principal (el del terme de major grau) del resultat sigui positiu.

Els alumnes de #ESO4SDK (curs 18-19) van practicar la resta de polinomis amb aquesta tasca:

Una altra direcció d'ampliació d'aquesta tasca és l'estudi del mateix problema quan es canvia la quaterna inicial per una quíntupla: