Estratègies de càlcul a infantil

Comencem per un exemple que ve del 2004: a les aules de P5 de l'Escola Baloo de Barcelona, els alumnes utilitzen aquest material el·laborat per Carme Barba, per treballar "els dobles".

"Les samarretes dels dobles" porten el mateix dibuix a la part del darrera que a la del davant. Els alumnes mirant la samarreta plegada han d'anticipar el nombre total de dibuixos que hi ha en total. Un cop fet això i per facilitar-ne la comprovació les samarretes "s'obren"com es veu a la fotografia i així facilitar el comptatge.

Aquest material, així com molts d'altres, és un dels fruit de la llicència d'estudis realitzada per Carme Barba al 2004, sota la direcció de Roser Codina i la col·laboració, en moments puntuals, d'en David Barba.
L'objectiu d'aquesta llicència té dues vessants: per una banda el·laborar aplicar i treure conclusions de l'adaptació de la prova per alumnes de final d'educació infantil, i per l'altra dissenyar activitats i materials de classe destinats a treballar els aspectes fonamentals reflectits a l'esmentada prova. Tota aquesta informació la trobareu a la llicència. 
La llicència porta un annex amb els materials perquè puguin ser reproduïts, que també us podeu baixar, si hi voleu accedir directament cliqueu aquí. Molts d'aquests material són útils també per a primer de Primària.
Si l'hem portada al bloc és perquè creiem que és una publicació molt interessant que pot ajudar a la pràctica del dia a dia a Educació Infantil. Per altra banda les activitats de la prova poden representar un banc d'idees sistematitzat que pot ajudar molt al seguiment dels v vostres alumnes.

Us recomanem un llibre

Si ens rebeu per mail, us demanem que cliqueu al títol per llegir directament el bloc: tindreu més informació i a més us podrem "comptar" .

“El libro de las matemáticas”
Autor: Clifford Pickover
ISBN: 978-90-8998-097-7

Per presentar-vos aquesta recomanació us transcrivim unes paraules de Martin Gardner que apareixen a la contratapa d’aquest llibre "Clifford Pickover, escritor prolífico y erudito innegable, ha escrito una maravillosa obra de consulta. Breves, sus 250 capítulos ofrecen una historia completa de las matemáticas, centrada en los teoremas más extraordinarios y en los genios que los descubrieron. La pasión del doctor Pickover por las matemáticas y su admiración por sus misterios impregnan todas y cada una de las páginas de este maravilloso libro. Sólo las ilustraciones ya hacen que merezca la pena."

Podeu llegir una ressenya més completa d’aquest llibre a la página de Divulgamat, el “Centro Virtual de Divulgación de las Matemáticas” de la “Real Sociedad Matemática Española”

Podeu trobar algunes de les fantàstiques fotos de les que parla Gardner a la pàgina web de l'autor (http://pickover.com)

El preu d’aquest llibre, disponible en les llibreries menys especialitzades que pogueu imaginar, no arriba als 20 euros (increïble considerant la bona qualitat d’edició, les seves 527 pàgines i les seves tapes dures amb sobrecoberta).

Applets i Estimació

Si ens rebeu per mail, us demanem que cliqueu al títol per llegir directament el bloc: tindreu més informació i a més us podrem "comptar"

Començarem per un consell que ens va donar un bon amic quan ens vàrem posar a treballar amb els applets "Quan vogueu fer una observació d'un applet per portar a la vostra classe, traieu-vos "la bata" de docents. Jugueu amb ell. No li feu una mirada i prou, arribeu al final, enfadeu-vos quan us equivoqueu i mireu de millorar... encara que sigui un applet per a alumnes de 6 anys"
Aquí afegirem nosaltres, que un cop acabat aquest procés, cal posar-se "la capa" analitzar les estratègies que heu fet servir, que passa quan t'equivoques, etc.

Estimació i càlcul
El primer applet és un tetris "de sumes i restes". Jugueu-hi i després en parlem. Per començar us acosellem seleccionar l'interval 0-20 i l'opció "Optellen" (afegir o sumar).

 

 Clica a la imatge per activar l'applet 15/09/2011

Us ho heu passat bé? D'entrada si el mirem sense jugar-hi, sembla un applet de "sumes", però quan ens hi posem i anem "justos" cridem a  l'estimació més que al càlcul exacte. Ho diem en el sentit que una possible primera estratègia no planificada d'entrada pot ser: si els dos nombres són més petis de 5 ha d'anar a l'esquerra i si són més grans de 5 a la dreta.


Estimació i càlcul: per anar ràpid has d'estimar
En primer lloc cal dir que el títol fa referència solament al món del càlcul. Aquest applet ja és directament d'estimació. El resultat calculat  és col·loca a la barra on els colors indiquen l'aproximació més o menys bona que s'ha fet al resultat correcte. Quan a barra que compta el temps arriba al final,  l'applet permet escriure el resultat igualment.  Aixo permet "respirar" als més lents, però també permetre que els ràpids vagin de cara al càlcul exacte.
Si juguem a apuntar el resultat abans que s'acabi el temps l'exercici esdevé d'estimació. Aquest punt és interessant de debatre amb els alumnes la que per ells l'exactitud sembla irrenunciable.

 Clica a la imatge per a activar l'applet 15/09/2011

Estimació i mesura: la recta numèrica
En el tercer exemple entrem en el camp de la mesura: localitzar nombres en una línia numèrica buida. Cal dir que quan l'hem fet a classe, tant en classe col·lectiva com per parelles, la implicació dels alumnes ha estat espectacular.

clicar imatge per accedir a l'applet 16/04/2013

Aquest  applet és un sol exemple d'una sèrie nombrosa amb el mateix escenari: globus i dards.  Es treballa amb diferents intervals i amb línies marcades o buides. Si voleu accedir a tota la col·lecció cliqueu aquí

Estimació: quantitats, longituds, superfícies.

Per acabar presentem una mena de botiga d'estimació que va des de estimar quantitats a estimar longituds o mesures de superfície. Presenta diferents opcions: quantitat, longitud, superfície... Hem triat la "random" per a que us els mireu.

clicar imatge per accedir a l'applet 15/09/2011

Comentari final

Aquest quatre applets, a diferència de molts d'altres més mecànics ens conviden  a la discussió final col·lectiva. Podem recollir estratègies diferents i veure les més efectives o esbrinar com ho hem fet per anar afinant cada cop més els resultats . En podríem dir "applets potencialment rics" ja que creen un context de resolució de problemes molt interessant.

Acabem amb una pregunta: quines "bones preguntes" plantejaríeu per cadascun dels applets per activar la discussió de les estratègies?

Resta portant-ne (I)

Gairebé podríem afirmar, sense risc d'equivocar-nos, que aquest és el tema més debatut en didàctica al nostre país: en generacions i generacions de claustres ha estat objecte de discussió i, fins i tot, ha creat tibantors entre els mestres. Això no és normal. Alguna cosa passa.

Perquè no tenim el tema tancat com molts d'altres?
Aquesta preocupació generalitzada té alguna cosa misteriosa que no acabem d'entendre, el que ens fa  pensar que això de la resta portant-ne no és només un algorisme, sinó l'última icona d'alguna religió desapareguda. Una de les raons per les que pensem que és un fet de caire religiós, és que per anys que passin i canvis que apareguin es continuen fent les mateixes preguntes transcendentals, que gairebé podríem anomenar "misteris" i que són les següents

1. Els alumnes no entenen la resta portant-ne. Com podem fer per arreglar-ho?
2. Quin dels dos algorismes (en general, la gent els anomena "mètodes" o "maneres") de restar és el més aconsellable: el de tota la vida, on "les que es porten" s'afegeixen al subtrahend, o el més "comprensiu" que ho treu del minuend? (veure nota)
3. Si triem l'algorisme "comprensiu", quan arribin a cursos superiors, l'hem de canviar per l'altre o continuar amb el mateix?

Nota: en alguns països d'Amèrica del Sud, per exemple, el segon misteri no existeix, ja que el seu algorisme estàndard, de "tota la vida" és el que aquí hem anomenat comprensiu, el que fa desaparèixer també el tercer misteri.

Constatacions recollides al dia a dia

 1. A l'escola d'Estiu de Rosa Sensat d'aquest passat mes de juliol, vàrem escoltar la següent conversa:
A: "Hem canviat de llibre de text perquè els nous llibres de l'editorial que fèiem servir des de fa anys no inclouen la resta portant-ne a segon"

B: Però heu llegit el nou currículum del Departament? Diu explícitament que no s'ha de fer fins a cicle mitjà!

A: Si que ho sabem, però hi ha una part important de professorat que no hi està d'acord.

2. En molts dels cursos de formació o assessoraments que fem els de "PuntMat", sigui quin sigui el tema, quan ja portem uns dies junts, hi ha algú diu: "et volia fer una pregunta, no té res a veure amb el tema, però... i la resta portant-ne?" El més divertit és que ja no especifiquen més. Solament dient el títol (resta portant-ne) l'interlocutor ja sap les preguntes (els misteris).

3. Mercat de Gràcia: a l'escola del meu nen fan la resta portant-ne a tercer, però a la del seu cosí la fan a segon. Aniré a parlar (protestar) amb la mestra.

Un conte que podria deixar de ser-ho
La Marta, és una mestra novell, però amb molta iniciativa, no coneixedora encara dels misteris de la resta portant-ne. Al mes març comença una substitució de tres setmanes. Pel que fa a les matemàtiques, li toca fer la resta portant-ne.
El primer dia fa una petita observació i s'esgarrifa: la cosa no funciona, els alumnes no entenen el que fan, no sap com explicar-ho, etc. En arribar a casa seva, es planteja què fer. Fullejant un llibre de Brian Bolt troba un algorisme diferent, i decideix utilitzar-lo. A l'endemà i utilitzant la pissarra digital ho ensenya als alumnes.

No feia ni una setmana que havia acabat la seva substitució que va rebre un e-mail de la mestra titular felicitant-la per la seva feina i els seus resultats!.
El conte ens porta a formular una pregunta: un cop la Marta sigui responsable d'una classe durant tot l'any què ha de fer? explicar l'algorisme que li ha donat tant bon resultat o canviar a fer l'algorisme de tota la vida? Vosaltres que li aconsellaríeu i per què? Teniu l'apartat dels comentaris per a discutir-ho. Creiem que podem tenir un bon debat si us animeu. 

Protagonisme de la resta

El fet que, a més, se li hagin dedicat cançons és una prova més de la singularitat d'aquest algorisme. La cançó és obra de Thom Lehrer 

El dia 25/06/21015, en Dani Ruiz ens ha fet arribar un segon vídeo que ajuda a seguir millor l'anterior (als no "angloentenedors potents")

 

Dos comentaris
És fàcil justificar l'algorisme "constructiu" de la resta, però l'algorisme de la resta de Bolt també té una justificació bastant fàcil. Us donem una pista als comentaris.
Pel que fa a la relació algorisme/habilitats, durant el segon trimestre del curs passat, hem estat observant nens i nenes de tercer. Hem constatat que forces alumnes resolen correctament restes portant. El problema és alguns tarden  molt. La raó és que les restes parcials (tipus 14-8) les resolen amb els dits. Aquest sí que és un problema, que per cert queda amagat darrera una resta correcta escrita en un paper. A més si un nen tarda molt en fer una activitat mecànica, comença a pensar que les matemàtiques són "un rollo"

Reflexió final

Caricatures postvacances apart, i parlant seriosament: cal deixar tancat d'una vegada el tema dels algorismes. És possible que no hi hagi una única sortida. El que actualment ja no és aconsellable ens continuar fent pàgines d'algorismes. A més guanyarem molt temps per fer Matemàtiques de veritat.
Un segon problema és que es confon "saber restar" amb saber fer l'algorisme. Es desvia la importància de la part conceptual, la comprensió de les operacions i les seves propietats.
Cal plantejar-se per què els algorismes escrits continuen sent "de facto" els organitzadors del currículum. Dit d'una altra manera: en una societat on les calculadores les portem en el mòbil, cal centrar el currículum per competències en que els alumnes sàpiguen solucionar els problemes aritmètics (amb nombres a l'abast) amb altres eines que no pas solament l'algorisme: les estratègies de càlcul.

Posts relacionats: Resta portant-ne (II)  Resta portant-ne (III) i Resta portant-ne (IV)

Curs Escola d'Estiu de Rosa Sensat i Scoop.it

Si ens rebeu per mail, us demanem que cliqueu al títol per llegir directament el bloc: tindreu més informació i a més us podrem "comptar"
S'han acabat les vacances: benvinguts de nou. Tot i que sembla que l'ambient de treball que ens espera no ens oferirà aquella tranquil.litat necessària per poder fer la nostra feina.

La segona setmana de juliol PuntMat va presentar un curs de 15 hores a l'Escola d'Estiu de Rosa Sensat, portat per en David Barba. El curs s'anomenava "Què parlin ells!" i la seva intenció era reflexionar sobre com hauria de ser la dinàmica de les classes de matemàtiques per potenciar la conversa a classe?

El curs es va centrar en dos aspectes: Aritmètica i Geometria, si bé seus continguts estructuradors han estat els materials manipulatius. Collarets, Línia Numèrica, Graella del 100 i Diners ens van oferir contextos rics i propers als alumnes.el que representa un gran ajud per a construir el càlcul.
A Geometria els protagonistes van ser diferents. Geoplà. Barretes per construir polígons. Materials per construir poliedres. Plegat de paper. Aquests materials organitzats ens tallers ens van introduir en forma de resolució de problemes, entenent la Geometria, no com a llistat d'etiquetes a aprendre sinó un món en el que investigar, fer conjectures, comprovar, definir...
Finalment l'útilització  de blocs o wikis per a fer treball de tipus cooperatiu a l'aula va representar una aportació més al tema de la conversa a classe.

L'scoop.it: una eina per conservar o compartir amb els altres idees que ens agradin
Scoop.it és el nom d'un programa que permet i ajuda a recollir material penjats a la xarxa, de manera fàcil, amb una estètica que agradable al nostre entendre.

Hem utilitzat aquesta eina per a guardar el  recull del curs realitzat

Hi trobareu les presentacions en pdf, els applets, pàgines web, Vídeos i activitats. Cal dir que en no haver assistit al curs es farà difícil abstraure les idees principals discutides a les classes, però també és cert que disposar d'aquest material us pot ser útil.

PuntMat i Scoop.it
Apart dels cursos, PuntMat publica a scoop.it el que podríem anomenar "revista". Hi trobareu diferents apartats. Revistes que llegim. Applets que utilitzem. Vídeos que ens agraden etc. Per accedir a "l'índex" cliqueu aquí.
Trobareu l'accès directe a la columna d'informacions del bloc a "altres projectes de PuntMat>PuntMat a l'Scoop.it

Vacances 5: deures d'estiu

Si ens rebeu per mail, us demanem que cliqueu al títol per llegir directament el bloc: tindreu més informació i a més us podrem "comptar"

Aquest és l'ultim post del curs, a setembre tornarem al nostre ritme normal de curs, de totes maneres us deixem uns deures

Conferències de Matemàtiques: TED

Al post "Vacances 3: Màgia matemàtica" vàrem presentar una conferència TED. la de l'Arthur Benjamin,  però era més un espectacle de teatre que no una conferència. Aquest cop us proposem gaudir amb una xerrada sobre creixement econòmic, potser no massa matemàtica, encara que toca l'Estadística. Però atès que a l'hemisferi nord estem de vacances d'estiu la xerrada és refrescant. Abans de veure-la us volem dir la raó per la que l'hem triada: mostrar la nostra admiració per la manera de fer del conferenciant, especialment per  ús que fa del Power Point (cosa que encara a molts ens costa)  i del marcador làser utilitzat.

Els deures

No cal que ens els presenteu fets en acabar l'estiu, però us proposem que aneu mirant alguna de les conferències TED a les que podeu accedir clicant aquí. Algunes d'elles són més properes a les matemàtiques que d'altres, però no hi fa res, són vacances. Us recordem que quan visioneu la conferència, a la part inferior de la pantalla hi ha un botó que permet subtitular-la gairebé a l'idioma que vulguis.

Fins setembre

Vacances 4. El joc del Nim i el New York Times

Si ens rebeu per mail, us demanem que cliqueu al títol per llegir directament el bloc: tindreu més informació i a més us podrem "comptar"

El Nim és un conegudíssim joc que sota diferents variants hem jugat quan érem petits i que té diferents versions. Una de les més conegudes és la següent: joc per dos jugadors, cadascun pot, al seu torn,  treure 1,2, o 3 escuradents d'una mateixa fila. Qui s'emporta l'últim llumí guanya.

foto: http://www.archimedes-lab.org

Les instruccions de joc del Nim (Wikipedia) són  les següents:

"En este juego, dos jugadores a los que llamaremos A y B, colocan un número arbitrario de fichas (cerillas, palillos, guijarros) sobre una superficie, separados en filas o grupos. Tanto el número de filas como el número de fichas en cada fila son también arbitrarios. El primer jugador, supongamos que es A, toma cualquier número de fichas de un fila, entre uno y el total de la fila, pero sólo de una fila. El jugador B hace su jugada de manera similar, retirando algunos de las fichas que quedan, y los jugadores van alternándose en sus jugadas. Se puede jugar de modo que gane el que retire la ultima ficha, que es el modo más fácil, o el "modo miseria" en el que perdería el que retire la última ficha.
Este juego ha sido objeto de profundos análisis en el campo de la teoria de jocs y la matemática combinatoria"

imatge treta de Wikipedia

La raó per la qual portem el Nim a  un bloc de Matemàtiques és perquè que l'anàlisi de jocs d'estratègia guanyadora en el que guanyar o perdre depèn de qui comença (si el jugador amb avantatge  segueix l'estratègia correcta), ens acosta al camp de la resolució de problemes. Això implicarà conèixer el joc, jugar unes partides, analitzar com ho pots fer per guanyar,  començant pel final per descobrir l'estratègia guanyadora,  conjecturar i comprovar si funciona,
L'inconvenient està en que un cop sabuda, l'estratègia guanyadora el joc ja perd tot l'interès, a no ser que s'utilitzi per estudiar generalitzacions canviat nombre d'elements.

Jocs i pseudojocs
Parlant del Nim, un dia en Jordi Deulofeu ens explicava que un cop hi havia alumnes que sabien l'estratègia i altres que no, posava a jugar a un que ja ho dominava davant un que no, amb unes regles noves, de manera  que el que en sabia, no podia guanyar mai. Les lleis de joc que plantejava eren les següents
Algunes formulacions dels jocs tipus NIM són el que s'anomenen pseudojocs, ja que en realitat no són autèntics jocs perquè les pròpies regles determinen la solució. Per exemple, 20 fitxes, i cada jugador n'agafa 1, 3 o 5. Guanya qui agafa la última  En aquest cas, guanya sempre el segon, jugui com jugui (és a dir, guanya encara que no vulgui), ja que el primer ha de deixar sempre sobre la taula un nombre senar de fitxes, P-S = S, S-S = P (i 0 és parell!!!)
 Ja us imagineu dir que la  condició principal  era que  l'alumne que dominava l'estratègia, havia de ser el primer jugador, i  que evidentment després de fracassos continuats ja tenia una nova feina de nivell alt: saber perquè perdia sempre.

El Nim al cinema
Per acompanyar al joc: si disposem  d'un vídeo que faci referència al tema que ens ocupa, com per exemple aquest fragment de la pel·licula d'Alan Resnais "L'ultim any a Marienbad" on el pobre personatge, sempre perd amb el seu contrincant,  millor que millor.

El New York Times i la seva secció de Matemàtiques

De fet aquest és una recreació, una excusa, per a presentar  una secció periòdica, que el New York Times dedica a les Matemàtiques sota el nom de "Numberplayer" cada dilluns. Una de les seves particularitats és que sempre acompanya el problema o situació proposada, amb vídeos, fotografies, converses o exemples, sense oblidar el fòrum sobre el problema. Pot ser molt útil per a crear ambient matemàtic al vostre centre,senzillament per gaudir mirant-la setmanalment.  Si cliqueu a la imatge poder veure l'article dedicat al Nim.

Clicar imatge. Obert el 19/05/2011. En cas que no  podeu accedir-hi ens envieu un comentari a PuntMat.

Vacances 3. Màgia Matemàtica

Si ens rebeu per mail, us demanem que cliqueu al títol per llegir directament el bloc: tindreu més informació i a més us podrem "comptar"

Les conferències TED són famoses tant per la categoria del seus  conferenciants com per la seva competència comunicativa. 

En aquests cicles de conferències les Matemàtiques també hi tenen cabuda. El cas que us presentem tracta d'una sessió de Màgia Matemàtica en la que el ponent, un gran calculista, sorprèn a l'auditori amb càlculs impossibles.

Moltes de les coses que fa són inabastables per mortals com nosaltres, però analitzant un dels trucs, hem trobat que qualsevol docent el podria repetir a classe o fer que els alumnes intentin esbrinar com s'ho fa. Us deixem amb el vídeo i posteriorment us plantegem el repte. Cal destacar que les conferències TED van acompanyades de l'opció  de poder accedir a subtítols, en espanyol gairebé sempre i en català algun dels cops, com és el cas d'aquest. Trobareu l'opció a la barra inferior.

Obert el 19/07/2011. en cas que no hi podeu accedir ens envieu un comentari a PuntMat.

El repte
Hi ha un moment del vídeo, aproximadament a partir del minut 5:50 i que ell mateix defineix com a un "petit truc", en que de quatre nombres que ha apuntat anteriorment que són nombres quadrats calculats mentalment en un repte anterior, planteja un nou repte:  quatre convidats han de multiplicar aquest nombre per un altre de de tres xifres, dir-li totes les xifres del resultat menys una i aleshores el mag endevina la que falta.

Quin truc fa servir? 

Esperem els vostres comentaris. Si obriu "comentaris" us trobareu una pregunta que us pot servir de primera pista, però si sou matemàtics de cor segurament no us ho mirareu. 

Un cop tingueu la solució, tant matemàtica com de la petita "trampa" que fa, ens l'envieu.

La curiositat
El que ens ha sorprès més d'en Arthur Benjamin és descobrir que en una altra intervenció en el mateix marc (aquest cop una comunicació curta) planteja com a solució alternativa a l'ensenyament de les Matemàtiques centrar bàsicament l'atenció en ...
Endevineu en que? Mireu el vídeo.

Es vol quedar sense feina, o vol eliminar la competència?

Vacances2: Els drets dels infants

Si ens rebeu per mail, us demanem que cliqueu al títol per llegir directament el bloc: tindreu més informació i a més us podrem "comptar"

Encara que el tema sigui molt més ampli que no les Matemàtiques, hem pensat que  qualsevol persona interessada en l'educació hauria de veure aquest vídeo que la institució "Rosa Sensat" ha penjat a la seva pàgina web, on Philippe Meirieu, conegut pedagog francès, parla dels drets dels infants, anant molt més enllà de les disposicions oficials, per entrar en els compromisos que cadascú ha d'afrontar.

Quins infants deixarem al nostre món? from jfernanq on Vimeo.

obert el 8/07/2011

En escoltar a Meirieu parlar de la nostra responsabilitat d'ensenyar a "diferir", hem vist que com a mestres de Matemàtiques hi ha molts moments que hem d'ensenyar als alumnes a ajornar impulsos. Impulsos,com ara:

• el de demanar una fórmula "màgica" per resoldre un problema en lloc de "construir" grupalment  un procediment de resolució 
• el de reclamar que validem una resposta a un problema abans de presentar-nos la seva justificació
• el d'esperar que només es treballin a classe unes matemàtiques que tinguin una aplicació pràctica, directa e immediata sense considerar el valor formatiu del pensament matemàtic desenvolupat en altres activitats de classe.

En un altre ordre de coses i com a lectura de vacances, recomanem la lectura d'un llibret que porta per títol: "Frankestein educador", escrit pel personatge que ens ocupa. Encara que no tingui res a veure amb Matemàtiques, fa reflexionar i molt, sobre el paper del docent.

Vacances1: Bach i Möebius

Si ens rebeu per mail, us demanem que cliqueu al títol per llegir directament el bloc: tindreu més informació i a més us podrem "comptar"

Atès que ja comença el temps de recull de curs, preparació del posterior i unes merescudes vacances, optem per fer el "puntmat" d'estiu en el que trobareu: curiositats, vídeos i alguna altra cosa que ens distregui de la calor (com a mínim als del hemisferi nord). I a més ralentitzarem el ritme de posts que portàvem fins ara.
Pel que fa al vídeo no hi ha comentari: s'explica sol.

Hem trobar aquest vídeo gràcies al bloc "papelitos", en el que podeu llegir directament el seu comentari clicant aquí, i passejar tot fent-li una mirada.