Geometria animada

A la primera xerrada plenària de les jornades de l'APMCM de la que ja vam parlar en un post anterior la Carme Burgués va comentar un vídeo del que coneixiem la seva existència però que alguns de nosaltres no hem vist mai. Es tracta del vídeo, titolat "Tres punts determinen una circumferència", al voltant del qual el Caleb Gattegno va organitzar la seva xerrada a Barcelona. Una xerrada en la que el Gattegno es va posar davant un grup d'alumnes de 14 anys, en una sala d'actes plena a vessar de professors que no han oblidat mai l'experiència. 

Aquest vídeo forma part de la sèrie “Animated Geometry” que originalment estava formada per 22 vídeos fets pel suís J. L. Nicolet: curts (de 3 a 6 minuts cadascun), muts i generalment en blanc i negre (hi ha uns pocs en color i en aquests casos el color no és un element accesori, el vídeo esmentat en el paràgraf anterior n'és un exemple). La llista de tots aquests vídeos és:  

• Three points determine one circle
• Circles tangent to two concentric circles 
• Contact point of parallel tangents to circles
• Subtended arc 
• A given line seen at a given angle 
• Angles at the circumference. 

Al canal que té a Youtube l'Association of Teacher of Mathematics: ATMtv podem trobar aquest vídeo 

• Internal bisectors of a triangle 
• External bisectors of a triangle 
• The construction of the regular pentagon 
• The golden section and the regular pentagon 
• Triangle formed from sides of regular polygons 

Aquest vídeo també està disponible al canal de l'ATM:  

En una circumferència s'inscriuen un pentàgon, un hexàgon i un decàgon, tots tres regulars. Si s'agafa un costat de cadascun dels tres polígons, aquests tres segments determinen un triangle rectangle!! (proposició 10 del llibre XIII dels Elements d'Euclides)

• Hypocycloid motion with circles in a ratio of 1:2 
• Two given circles seen under equal angles 
• The strophoid and the golden section 
• Poles and polars in the circle 
• Generation of an ellipse I 
• Locus of vertex of right angles tangent to an ellipse 
• Generation of an ellipse II 
• Generation of a hyperbola 
• Generation of a parabola 
• Another generation of a parabola 
• Common generation of conics 

Posteriorment Gattegno va afegir-ne quatre més a aquesta sèrie:

• Extensions of Pythagoras’ Theorem
• Sections of a cube 

• Generation of some plane curves
• Sections of a cone

Al llibre “Material para la enseñanza de las matemáticas” hi ha un capítol dedicat a aquest tema escrit pel Nicolet i un altre pel Gattegno. Allí Nicolet diu: "Els dibuixos animats no han de ser una paràfrasi d'una demostració. Al contrari, han d'estar el més allunyats possible d'això: només han de suggerir l'enunciat d'un teorema o d'un problema. Han de despertar en el subconscient el sentiment estètic i fer-lo promotor d'una certesa que inviti a la demostració."

En aquest llibre el Gattegno explica alguns del vídeos del Nicolet mitjançant vinyetes. A les fotografies es veu l'auca del film "Triangle formed from sides of regular polygons".

 

També trobareu relats del Gattegno sobre l'ús que feia amb alumnes d'aquests films al volum 2 del llibre For the teaching of Mathematics Nosaltres hem intentat fer-ne una del film "Three points determine one circle"

 

Les etapes d'aquesta auca estan basades en el relat que apareix en un altre llibre de Gattegno: "The Awareness of Mathematization" que es pot llegir online. (Aquest enllaç està relacionat amb la pàgina web dedicada a Gattegno suggerida en un comentari a un post anterior fet pel Dani Ruiz

Us demanem que si coneixeu enllaços amb els quals enriquir aquesta llista ens els feu conèixer.

En aquest sentit Roberto Cardil, responsable de la fantàstica web "Matemáticas visuales", ha elaborat dos vídeos inspirats pel treball de Gattegno i Nicolet

http://www.matematicasvisuales.com/html/encasa/geometria/gattegno2.html

http://www.matematicasvisuales.com/html/encasa/geometria/gattegno3.html 

Jornades de l'APMCM i Caleb Gattegno

La xerrada
Aquest cap de setmana hem assistit a les IV Jornades de Matemàtiques a les Comarques Meridionals, que han estat excepcionals. Hem escrit una piulada al nostre twitter amb un enllaç a la pàgina de la APMCM on es troba informació sobre les comunicacions i taller que hi hem pogut compartir, però en aquest post volem comentar una part de la primera conferència plenària dedicada a rendir homenatge a personatges que ens han marcat camí, a càrrec d'en Claudi Alsina i la Carme Burguès.
En aquest homenatge van dedicar una estona important a recordar a Caleb Gattegno, per les seves aportacions, per la seva qualitat humana la xerrada i sobretot per una conferència que ell va fer a Barcelona fa gaire bé 30 anys i que tots els que hi vam assitir recordem: Gattegno i un grup d'alumnes de 14 anys sobre un escenari parlant de matemàtiques.

Gattegno i els nens

I es veu que això d'estar amb nens li agradava: una de les anècdotes sobre Gattegno que explicava Francesc Esteve, primer director de la revista de Didàctica de les Matemàtiques "L'Escaire" era que amb motiu d'un congrés de Didàctica els assitents van sortir a fer una passejada pels carrers de la ciutat  seu del congrès. Van passar per davant d'uns nens que estaven fent un joc de tauler al terra d'una plaça i van continuar caminant. Poc després es van adonar que en Gattegno no hi era, van tornar enrere i se'l van trobar jugant amb els nens, discutint amb ells i fent-los preguntes sobre el joc d'aquelles que fan pensar.

Els reglets Cuisenaire: una classe de Gattegno

Si expliquem això és perquè quan es parla d'un home amb projecció internacional en el món de la Didàctica costa imaginar-lo atrevint-se a exemplificar el seu discurs amb alumnes, però Gattegno ho feia. Creiem que la millor manera de parlar de l'ús del reglets Cuisenaire (dels que ell en va ser el gran divulgador) es veient al propi Gateggno fer-ne ús en una classe amb alumnes força petits.

La producció dels vídeos es canadenca i hem trobat dos vídeos molt semblants un en anglès i un en francès.
Vídeo 1: versió en anglès

Video 2 : versió en francès

Per fomentar l'ús dels reglets, Gattegno va escriure petites publicacions cadascuna d'elles dedicada a un tema diferent.

El llibrets

En general s'associa l'ús de reglets amb alumnes de primers anys d'escolarització i a la comprensió dels conceptes inicials de numeració, descomposicions de nombres i primeres operacions, però res més lluny d'això. Serveixi com a exemple la col·lecció de 9 llibrets escrita per Gattegno i que en castellà portava el títol de "Aritmètica con Números en Color" editada per Cuisenaire de España (l'edició que tenim és del 1967) 

Els títols d'aquests llibrets són: 1 i 2) Los Números hasta 100; 3) Problemas y situaciones; 4) Los números hasta 1000; 5) Fracciones y decimales; 6) Los números y sus propiedades; 7) El Sistema Métrico: 8) Proporciones y mezclas; 9) Álgebra y Geometria para la Escuela Primaria.

El Geoplà un material que perdura

Aquest material creat per Gattegno és un clàssic i encara ara continua sent vàlid, fins al punt que existeixen forces versions virtuals d'aquest material. Per trobar més informació us remetem a la pàgina de l'espai Jordi Esteve que tracta del Geoplà en el que trobareu des d'un article de l'any 1979 de la revista l'Escaire, fins a una proposta de treball amb Geoplà utilitzant Geogebra feta pel Pep Butjosa. També hi trobareu algunes altres activitats, enllaços i un document per poder imprimir-vos "paper de Geoplà" que facilita el registre de les produccions dels alumnes. 

"Que parlin ells" també a l'ESO

Fins ara, als posts que havíem publicat amb l'etiqueta "que parlin ells", es presentaven experiències amb alumnes de primària. La invitació a que sigui la seva veu la que s'escolti a les aules, feia referència a la discussió sobre les estratègies de resolució de determinats problemes, descrites pels alumnes, a partir de les quals es construïen els nous coneixements. En aquest post aplicarem aquesta idea a la discussió d'estratègies emergents quan proposem a alumnes de secundària problemes en el que està implícita la presentació dels primers sistemes d'equacions.

Situacions que impliquen sistemes d'equacions

Aquesta imatge i les següents són extretes del material de classe d'Escola Sadako. Barcelona

Els alumnes poden deduir que com en la segona imatge hi ha un cafè més i un croissant més que a la primera, el preu d'aquest dos productes és 2 €. tornant a la informació de la primera imatge, si un cafè i un croissant és de 2 €, l'altre croissant ha de costar 0,80 €. A partir d'aquí és immediat deduir el preu del cafè.
Aquest procés és el que justifica l'etiqueta "que parlin ells" ja que la "resposta" al problema no és solament el resultat sinó, i sobretot, el relat del procés fet. Malgrat ens hagi sortit un post una mica massa "explicat" creiem que val la pena fer-ho per deixar clar el que esperem dels alumnes.
La introducció de nomenclatura algebraica a aquesta discussió permet apropar-se al mètode de reducció. Si x representa el preu d'un croissant i y el d'un cafè, les dues imatges són representades per les equacions:

2x+y=2,80

3x+2y=4,80

Restant les dues equacions resulta x+y=2, i restant aquesta equació de la primera resulta x=0,80. A partir d'aquí substituint el valor de x en qualsevol de les equacions anteriors resulta y=1,20. Aquest procés que sembla complicat en llegir l'explicació simbòlica ha estat solucionat en context, sent la part simbòlica una traducció d'un procés ja realitzat.

La primera conclusió que es pot extreure de les noves imatges és que les samarretes són més cares que les pilotes i a continuació, deduir que la samarreta és 15 € més cara que la pilota perquè 15 = 165 - 150. Si en la primera imatge es canvia la pilota per una samarreta el preu augmenta en 15 €, per tant, tres samarretes costen 180 € i una d'elles costa 60 €. Calcular el preu de les pilotes és ara un simple tràmit.

Si x aquí representa el preu d'una samarreta i y el d'una pilota, les dues imatges són representades per: 

2x+y=165

x+2y=150

Restant les dues equacions resulta x-y=15 i sumant aquesta equació amb la primera resulta 3x=180. A partir d'aquí resulta x=60 i y=45.

En aquesta tercera situació, les estratègies personals dels alumnes poden passar per concloure que com que el preu dels dos conjunts és el mateix, el preu d'unes ulleres és el mateix que el de dos barrets. Per tant, cada parell de ulleres de la primera imatge es pot substituir per dos barrets i d'aquí deduir que cinc barrets costen 40 € el que dóna via lliure per trobar els dos preus buscats.

És interessant comprovar com una petita variació com la proposada en la quarta situació genera una variació important en el nivell de les estratègies personals, malgrat que des del punt de vista algebraic els dos sistemes són indistingibles i aquesta simplificació en la variació de situacions és un punt a favor de la introducció dels mètodes algebraics que podem destacar davant de l'alumne.  

 

Per acabar, val a dir que no només podem proposar aquest tipus de situacions amb preus. En el següent problema el context és la mesura de longitud:

Un possible raonament per respondre la pregunta és: la diferència entre les alçades de les dues torres és 16 cm i això correspon al que sobresurt de 4 gots, o sigui que el que sobresurt de cada got és 4 cm. Com que en la segona torre es veuen dos gots que sobresurten, el got que es veu sencer mesura 11 cm (19 menys dos cops 4). Traduït a llenguatge algebraic resulta (x=alçada d'un got sencer, y=mida del que sobresurt en apilar-los):

x+6y=35

x+2y=19

Restant les dues equacions resulta: 4y=16, per tant y=4 i com que x+2y=19 resulta x=11.

En conclusió, creiem que hi ha molta feina a fer abans d'ensenyar que els sistemes d'equacions es poden resoldre per substitució, igualació o reducció, però val la pena.

Podeu aprofundir en aquesta línia llegint l'article d'Abraham de la Fuente, Tim Rowland i Jordi Deulofeu: Developing algebraic language in a problem solving environment: the role of teacher knowledge

Explica com ho has fet

Parlem aquí de la importància que té, des del punt de vista de l'aprenentatge de les matemàtiques, l'explicació raonada del procés realitzat per obtenir la resposta a una activitat, sigui oberta sigui rutinària, i que per definir-ho en una frase l'associaríem a: explica com ho has fet. Diríem que aquest requeriment final hauria de convertir-se en un hàbit per part del mestre.

Importància de les tasques proposades
Pot semblar que això que diem és propi de nivells alts, però de fet depen mès del tipus de tasca que no de l'edat. Si treballem el càlcul des del punt de vista de les estratégies i no únicament dels algorismes, viem que els alumnes "pensen"... i molt

Davant l'operació 25+15 en un curs de primer d'Educació Primària, normalment el que trobem escrit en els fulls dels alumnes és un algorisme en vertical amb el resultat a sota. Però si abans de presentar els algorismes treballem el càlcul de sumes com a objecte d'investigació, ens podem trobar amb treballs matemàtics profunds. Un exemple el tenim en les dues respostes següents d'un alumne d'una mestra excel·lent (Maria Roca).

• En la primera l'explicació veiem com l'alumne necessita modelitzar la situació fent ralletes i puntets per representar els dos nombres sumant després desenes amb desenes i unitats amb unitats.

• Uns mesos després, la manera en que l'alumne s'explica canvia de la representació a la simbologia, bastant informal, però d'una gran qualitat i exhibint un ordre en l'organització espacial dels càlculs on es reflecteix el proces seguit  

Aquestes "descripcions" que fa l'alumne ens permeten saber quin procés ha seguit, veure les seves dificultats i com les soluciona. La nostra interpretació sobre què fa el nen en el cas de la primera suma és la següent (lliure interpretació dels autors del bloc)

• 30+30 fan 60
• per calcular 8+3, fa 8+2 que li dóna 10 (que no escriu)
• aquest 10 amb els 60 d'abans fan 70 i com que l'ha d'afegir l'1 que li havia quedat pendent, li dóna 71
• posa el resultat on toca (és a dir al començament a l'esquerra)

Recolzar-se en fets coneguts per calcular fets desconeguts
En l'anàlisi de la segona resposta volem fer referència sobre les habilitats utilitzades. Aquest alumne de 6 anys, sap alguns resultats de memòria: descomposicions del 10, dobles etc. i desenvolupa la seva estratègia fent servir aquests fets coneguts per deduir-ne els altres. Per exemple: encara que no escriu tots el passos, per fer 6+6, fa el doble de 5 (que sembla que sap de memòria) per posteriorment sumar-li els 2 descomptats al principi

Aquesta manera de calcular per deducció és la mateixa que apareix en el vídeo inclòs en el post dedicat a rapidesa d'operacions on uns quants alumnes, acabats d'arribar a primer, mostren les seves estratègies emergents per a calcular 4+3.

Aquesta manera de construir el càlcul és pròpia d'alguns alumnes que la desenvolupen de manera natural, és a dir no s'esforcen en memoritzar tots el resultats deslligats sinó que n'aprenen uns quants i els altres els dedueixen de manera fàcil. Aprofitem això, a partir de treballs cooperatius i discusions grupals, perquè aquesta manera de fer arribi a tots els alumnes possibles.

D'alguna manera aquesta explicitació dels raonaments que fan els alumnes que obtenen millors resultats en Aritmètica és la base on recolzar-se per aconseguir que tots els nostres alumnes de Cicle Inicial passin del càlcul comptant al càlcul sense comptar (un càlcul construït entretexint fets coneguts i fets derivats).

En aquest sentit voliem acabar amb una frase de E.Gray "Les matemàtiques que fan els alumnes més exitosos és, per a ells, relativament simple, mentre que els alumnes menys capaços estan fent un tipus diferent de matemàtiques que sovint és intolerablement difícil.". Podeu trobar l'article d'on prové aquesta frase aquí.

Més sobre l'arbre de factors

Fa algunes setmanes vam publicar un post titolat "Un algorisme més transparent per calcular MCD i mcm". Allí parlavem de l'applet Árbol de Factores de la National Library of Virtual Manipulatives, del seu ús per al càlcul del màxim comú divisor i el mínim comú múltiple de dos nombres i de com l'applet dóna un model perquè l'alumne comuniqui com fa el càlcul.

Avui farem un altre comentari sobre aquest applet però en relació al seu ús per treballar la descomposició factorial en nombres primers.

L'applet té diferents opcions: 

• un nombre: permet exercitar la descomposició en factors primers de manera no algorítmica. 
• dos nombres: permet calcular el MCD i els mcm tal com ho vam comentar en el post anterior
• usuari: és l'alumne qui tria els nombres inicials
• ordinador: és la màquina la que tria els nombres

Una característica d'aquest applet és que permet treballar la descomposició factorial alleugerint els càlculs i focalitzant l'atenció de l'alumne en el sentit de la factorització:

• en el moment de posar que un dels factors de 80 és 2, automàticament apareix escrit que l'altre factor és 40
• en el moment de trobar-nos davant d'un nombre primer, l'applet ho indica encerclant el nombre mentre que si es tractés d'un nombre compost el col·locaria en un rectangle i ens demanaria alguns dels seus factors. 

És important invitar als alumnes que vagin més enllà de l'applet.

• Quin tipus de factors hem de triar perquè l'arbre quedi el més compacte possible? Compareu les dues descomposicions següents:

• No sempre s'ha de descomposar un nombre en dos factors: per què escriure 8 com 4x2 i després 4 com 2x2 si ells ja saben que 8 és 2x2x2? 

• És interessant establir una relació entre la descomposició factorial d'un nombre i el llistat dels seus divisors (abans d'establir cap relació entre la descomposició factorial de dos nombres amb el seu màxim comú divisor).

En la imatge veiem la descomposició del nombre 2012, si els alumnes entenen que més enllà de l'1 els seus altres divisors es troben combinant els factors primers de 2012 (2, 2 i 503): 2, 503, 2x2, 2x503 i 2x2x503.

En la següent fotografia es veu com alumnes de 4t d'ESO que havíen après uns anys abans a descomposar factorialment nombres amb l'applet, continuen fent servir l'arbre per descomposar factorialment nombres en el context d'exercicis de simplificació d'expressions irracionals força sofisticades.

Comentari a posteriori:

Al febrer de 2013 al bloc Pinkmathematics va apareixer un post sobre aquests arbres de descomposició que acaba amb una imatge meravellosa, d'aquestes que valen més de mil paraules:

Observar que els nombres primers no tenen branques (són bolets!!) i l'1 no és ni bolet ni arbre.

La versió del curs 13-14 del bosc de factorització de Pinkmathematics es ve a la següent imatge i sobre ella es pot llegir al post This year's forest of factors: 

Més comentaris a posteriori:

Aquí tenim algunes descomposicions "made in Vic" inspirades per les de Pinkmathematics. Precioses!!

Més imatges guapes realcionades amb la descomposició factorial dels primers nombres naturals

Un poster de Richard Evan Schwartz http://www.math.brown.edu/~res/poster.html 

Poster de John Graham-Cumming en http://blog.jgc.org/2012/04/make-your-own-prime-factorization.html

Vins per Nadal i Reis

La Laura Morera, de nou, ens envia un suggeriment que en dies com aquests i pensant en objectes de regal és molt adeqüat: una ampolla de vi dedicada al nombre π.

enllaç 12/2011

La Laura cita un post del bloc de Joaquin Sevilla, on diu:  En un supermercado hemos encontrado esta tarde un vino muy sorprendente, y no por el vino en si (que aún no he probado), sino por la marca: PI 

La etiqueta es una espiral con un montón de decimales de PI en color blanco, menos unos cuantos en rojo que dibujan la letra griega.

En la contraetiqueta vemos que es vino Español de la uva Concejón; descubro ahora que es una variedad poco conocida que se conoce también como Moristel, Juan Ibañez o Miguel de Arcos. Dicen que es una selección de 3,1415 hectáreas de la variedad Concejón, pero no hay referencia a la bodega o localidad de producción. En todo caso es una curiosidad deliciosamente FRIKI.

A partir d'aquesta idea hem buscat regals que tinguin relació amb el món de les Matemàtiques i el vi. Us presentem uns quants exemples no sabem si frikis o no.

Comencem per tres vins: el 2πr que no podem deixar mai de banda en una taula matemàticasobre tot si és rodona, el Sixseeds on el grafisme ens recorda amb llavors que 6 és un nombre triangular i finalment, el Möebius, que potser té una versió sofisticada en que l'envàs és una ampolla de Klein.

 Si el que voleu és fer un pack d'ampolles un bon consell és triar les tres ampolles de "quattro cinco neuf" on el disseny d'etiqueta és un exemple bonic de com registrar comptatges.

 Eternium que curiosament és el nom d'un vi jove i Enigma ens volen advertir sobre els misteris de la matemàtica. 

 Per acabar no volem deixar de banda el món de les fraccions.
 

Aquesta petita mostra ha estat treta, en la seva gran majoria, del tag "vino tinto" de la increïble pàgina  Cocina y Matemàtica. Hi trobareu molts més vins dels aquí citats amb la seva fitxa corresponent, a més de tot un món d'artefactes i altres relacions entre la cuina i les Matemàtiques. Per tant considerem demostrat, com indica l'etiqueta de l'ampolla de vi que apareix a sota, que hi ha un extens camp de possibilitats per regalar vins amb aroma matemàtic.

Per als qui els ha tocar la loteria

Vins apart, si teniu diners i us voleu regalar un cotxe, no hi ha res que ho impedeixi, però si us decidiu no ho dubteu: heu de triar el "Mazda-PI"  on hi apareix el nombre π amb 27 xifres decimals.

Bones festes i bons regals.

Un post nadalenc

El triangle de Pascal és un espai fantàstic on trobar regularitats numèriques, una d'elles té molta relació amb els símbols d'aquestes dates i creiem que pot ser una bona manera de dessitjar-vos bones festes.

Una de les moltes maneres de generar aquesta disposició de nombres és la de posar nombres per files de tal manera que en la fila n van n nombres, el primer i el l'últim són el nombre 1 i els altres s'obtenen sumant dos nombre de la fila superior: el que té directament a sobre i el que està a la seva esquerra. Podeu trobar més informació sobre aquest triangle aquí.
Una de les regularitats que els alumnes poden detectar en aquest triangle és la següent:

La suma d'elements consecutius d'una columna començant des de l'1 dóna com a resultat el nombre que està immediatament a baix a la dreta de l'últim element sumat.


Intentant entendre perquè això es verifica en el cas d'un mitjó concret es pot veure que el raonament fet és aplicable a qualsevol altre i aquest raonament està a l'abast dels alumnes més grans de l'ESO.


Ja tornarem en un post futur sobre més regularitats que es poden trobar sobre aquest triangle.
Bones festes!

Any nou 2012 i calendaris

El final del primer trimestre o l'inici del segon, convida a parlar de l'any i dels calendaris. Fabricar calendaris 3D que tinguin com a suport poliedres pot esdevenir una bona activitat. Us presentem dues propostes.

La primera proposta presenta dos calendaris, el primer construït sobre el dodecaedre regular i el segon sobre el dodecaedre ròmbic. L'activitat està enfocada clarament a treballar Geometria de l'Espai.

 

La pàgina que apareix a la figura inferior ens remet a enllaços (Wikipedia) molt interessants que porten informació sobre les figures, el que ens permet discutir, conèixer coses noves i plantejar preguntes per consolidar coneixements, com per exemple, si tots dos són o no poliedres regulars i per què.

per accedir a la pàgina cliqueu sobre la imatge

La segona proposta ens ofereix una col·lecció de 13 calendaris diferents, cosa que ens permet ampliar l'oferta anterior, encara que en aquest cas la informació sobre les figures l'haurem de buscar nosaltres o encomanar als alumnes que cada grup s'encarregui d'una, si volem continuar treballant de la mateixa manera que en la primera proposta.

per accedir a la pàgina cliqueu sobre la imatge

Sobre el 2012,  calendaris.

Comencem per la informació amb la que presenta la Wikipedia l'any que estem a punt de començar: "El 2012 serà un any de traspàs. Aquest és l'últim any computat del Calendari maia, que s'acaba el 21 o el 23 de desembre del 2012 a les 12 del migdia".

http://yelosworld.wordpress.com/

Parlant d'anys de traspàs, de la diferent durada dels mesos i de calendaris en general, que millor que recollir una xerrada de Ton Aubanell sobre calendaris, distribuïda en dos parts. Ens hi ha fet pensar la lectura de l'acabat d'estrenar twitter de Xeix (@SBMXEIX) que us recomanem seguir. 

Un paseo por la historia de nuestro calendario (1 de 2) from FESPM on Vimeo.

Un paseo por la historia de nuestro calendario (2 de 2) from FESPM on Vimeo.

Demanem la vostra ajuda

Buscant informació sobre la dita "qui dia passa, any empeny" o també "qui any passa dia empeny" (hem trobat referències a les dues versions) totes les explicacions del seu sentit estan enfocades a la idea de la constància del dia a dia per assolir objectius més grans. El nostre dubte és si té algun orígen lligat amb les Matemàtiques, ja que si el 23 d'abril d'un any cau en dilluns, el 23 d'abril de l'any següent cau en dimarts (si no és de traspàs) el que coincidiria amb la formulació de la dita. Esperem comentaris.

Feliç 2012 tingui les cares que tingui el vostre futur calendari personal.

El teorema de Pitàgores: aigua i puzles

Fa uns dies ens va arribar via Twitter (recordeu que ens podeu seguir a @puntmat) l'existència d'aquest vídeo on es materialitza la relació establerta pel teorema de Pitàgores:  

La visualització d'aquest vídeo ens va recordar un frustrat intent que vam fer fa un parell d'anys per tenir aquest dispositiu (vam rebre l'encàrrec de materialitzar entre altres qüestions matemàtiques el teorema més famós de l'ensenyament obligatori però, malhauradament, després d'haver presentat la nostra feina el projecte no va ser portat a terme).  

La diferència del dispositiu del vídeo amb aquell que vam dissenyar era que l'aigua que hi ha als quadrats petits fos de diferent color i que el líquid de cada color omplís una part del quadrat construït sobre la hipotenusa tal com apareix en la següent figura:

D'aquesta manera es suggereix la justificació donada pel propi Euclides al teorema de Pitàgores: 

Imatge de les pàgines on apareix la demostració del Teorema de Pitàgores en la edició de "Els Elements"

d'Oliver Byrne (1847) “The first six books of the Elements of Euclid, in which coloured diagrams and 

symbols are used instead of letters for the greater ease of learners” Podeu veure les imatges més
grans aquí i podeu accedir a una versió online del meravellós llibre de Byrne aquí.

També es pot experimentar aquesta justificació mitjançant aquest applet.

Segurament a la majoria de vosaltres us passa el mateix que a nosaltres, us encantaria poder portar a l'aula un dispositiu com el que hem estat comentant, però no en teniu cap a l'abast. El que segur que teniu possibilitat de portar a l'aula són puzles. Tal com es pot veure en la següent experiència de classe, creiem  molt en la virtut dels puzles perquè els alumnes s'apropin a aquest teorema.

El teorema de Pitàgores a la classe de segon d'ESO

Que parlin ells (2): "Quan multipliques, creix"

Una de les constants que envolten als problemes aritmètics escolars és la pregunta dels nostres alumnes: "És de sumar o de restar?". De vegades davant de preguntes com aquestes contestem amb preguntes clau del tipus "el resultat serà més gran o més petit?". Aquest tipus de raonament que porten implícita l'afirmació de que quan sumes el resultat és sempre més gran que els sumands és vàlida quan treballem amb nombres naturals però no ho és quan a Secundària els alumnes comencen a treballar amb nombres enters.

Passa el mateix en el cas de la multiplicació, amb la diferència que abans d'acabar la Primària els alumnes ja tenen al seu abast contexts per rebatre la falsa creença de que "quan multipliques el resultat serà més gran que els factors". És responsabilitat de nosaltres els mestres apropar-los a aquests contexts i fer-los veure que aquest tipus d'afirmacions no són correctes. 

Maleïts mercats!

Tot i que amb els temps que corren la frase està de moda, en aquests cas ens referim al mercat de barri on anem a comprar i que quan treballem decimals a l'escola ens serveixen de context per proposar problemes a classe. I és en aquest context quan a l'hora de dir el preu de 12 croissants a 0,50 € podem explicitar que en fer el càlcul el resultat és més petit que 12... i han multiplicat.

foto: artepan.com

Aprofitar un fet sorprenent per introduir el cas de les multiplicacions per nombres entre 0 i 1 és tenir "ofici" i a més, ens permet entrar de ple a crear conversa a classe.

Què parlin ells!

A l'activitat anterior es parteix de la contradicció entre resultat esperat i l'obtingut i la contradicció que això pot representar en referència a les seves idees prèvies. Si un cop discutit això volem anar més enllà podríem plantejar una activitat, a un nivell més el·laborat, com la següent:

Multipliquem el nombre que està en el punt vermell pel nombre que està en el punt verd sobre la línia numèrica. On queda el resultat?

El problema és complex ja que implica elaborar una resposta que tingui en compte que cal formular la resposta definint tres casos diferents

• Si els dos nombres són més grans que 1
• Si un és més gran que 1 i l'altre més petit que 1
• Si tots dos són més petits que 1
• Pot ser resultat el punt vermell? i el verd?

Evidentment començar així respon al raonament adult. Segurament els alumnes, provant amb la calculadora aniran fent multiplicacions buscant que els resultats surtin a la dreta, al mig o a l'esquerra dels dos punts (què passa si un dels dos punts està sobre el nombre 1?). Serà al final d'aquesta discussió grupal, quan escriguin la conclusió, que s'acostaran més o menys al raonament adult.

Afegim a continuació algunes imatges dels resultats d'aplicar aquesta activitat a l'aula

La proposta

Exemples de solucions trobades pels alumnes

Observar en la imatge del mig que l'alumna opta per fer servir el 0 com a estratègia perquè un dels resultats coincideixi amb el més petit dels factors i no l'1 com els seus companys