28 d’octubre del 2012

El·lipses i material manipulatiu

Foto: http://www.saboreagalicia.es
III Edición de la Festa do Cocido de Porco Celta

Mentre existeixi el xoriço, les el·lipses no són un contingut específic de matemàtiques avançades:











Per això quan les portem a l'aula volem envoltar-les d'experiències que permetin als alumnes "tocar" aquestes corbes.
 a) amb el mètode del jardiner
 b) projectant un llum sobre una paret
c) en un con amb sorra
d) tallant un con de plastilina
e) plegant paper
Dibuixem una circumferència en paper vegetal i, en el seu interior, indiquem un punt (preferentment diferent del centre). Pleguem el paper de manera que la circumferència passi pel punt indicat. Tornem a fer-ho unes dotze vegades.
També es pot fer amb paper normal, però en aquest cas la circumferència s'ha de retallar abans de començar a fer els plecs.
Aquestes experiències amb material manipulatiu es complementen perfectament amb un petit applet fet amb Geogebra
Cliqueu aquí per accedir a l'animació
Després d'això amb alumnes dels últims cursos de l'ESO podem justificar perquè aquestes línias són l'envolvent d'una el·lipse

25 d’octubre del 2012

Avaluar el compatge 2

En aquesta entrada presentem tres exemples que complementen el post  "Avaluar el comptatge, competències?":  un applet, un text de la Constance Kamii  i una app d'iPad

Un applet
enllaç
En aquest applet es presenta un seguit d'imatges en cadascuna de les quals els alumnes han de triar quina de les tres "safates" és la indicada per posar a cada pallasso el seu complement corresponent, en aquest cas el llaç. Altres pantalles porten boques, parelles d'ulls, barrets, etc.

Aquest és un applet fàcil de materialitzar, és a dir, de convertir-lo en un joc de taula per tenir-lo en un racó i fer-se manipulativament. Podeu trobar altres exemples de materialitzacions en el bloc.

Una pàgina del llibre de Constance Kamii
Un dels casos que recull en el seu llibre  "El número en la educación preescolar" (1984) ens dóna un exemple molt il·lustratiu, de la dificultat que representa el "saber comptar". De fet és semblant a  l'activitat dels cotxes o la dels pinzells del post citat anteriorment, però fruit d'una observació sistemàtica.
 "Una madre pedia a su hijo de cinco años que todos los días a la a la hora de la comida pusiera una servilleta en el plato de cada uno. Normalmente se sentaban cuatro personas a la mesa. Jean-Pierre sabia contar hasta 30 o más. Sin embargo iba al armario a coger la primera servilleta y la colocaba en un plato, volvía al armario a coger una segunda servilleta que colocaba en el segundo plato y así sucesivamente realizando un total de cuatro viajes. A los 5 años y 3 meses y 16 días, pensó espontáneamente en contar los platos, contó cuatro servilletas que habia de sacar del armario y las distribuyó en la mesa. Actuó de esta forma durante 6 días. El séptimo dia llegó un invitado y por lo tanto hubo un plato más de lo habitual. Jean-Pierre cogió cuatro servilletas como de costumbre, las distribuyó, y se dió cuenta que un plato seguía vacío. En vez de coger una servilleta más recogió las cuatro que estaban ya en los platos y las volvió a llevar al armario. Luego comenzó otra vez y realizó cinco viajes para llevar a cabo la tarea. Al dia siguiente el invitado no estaba, pero Jean-Pierre continuó haciendo cuatro viajes durante cinco dias más hasta que volvió a descubrir el contar..."  

Dos comentaris: el procés del comptar és molt més complex del que sembla en principi i, benvolguts pares i mares, per ajudar als fills a que aprenguin a comptar: feu-los parar taula més que intentar ensenyar-los com es fa. Caurà  pel seu propi pes quan toqui.

Finger Numbers: comptatge sobre un ipad
Continuant amb la idea d'associar dos conjunts del mateix nombre d'elements comencen a  sortir propostes molt interessants. Un exemple desevolupat per a treballar amb ipad és el següent:



A la part superior surten diferents representacions dels nombres i l'alumne ha de deixar tantes empremtes digitals com indica el nombre. Ens agrada!

17 d’octubre del 2012

Matematiques anant pel carrer (5)

Comencem per un diari
Sota la bossa d'escombraries que hi ha posada al costat de la porta, a punt perquè la porti al contenidor, hi ha un full de diari per preservar el terra de possibles humitats no desitjades. Veig que els números de les dues pàgines (del mateix full) que estan cap a dalt són la 14 i la 35 i un seguit de preguntes em venen al cap:
  1. Quins números estan a l'altre banda del full? 
  2. Quantes pàgines té aquest diari? 
  3. El número 20, on estarà: a la pàgina de la dreta o de l'esquerra? 
  4. Quina serà la pàgina oposada de la 9? 
  5. En algun moment el número de la pàgina de l'esquerra és més gran que la de la dreta?
  6. Entre quines pàgines es veuen les grapes?
  7. Quan sumen tots els números de pàgina del diari?
Les pàgines d'un llibre
Molts cops, quan s'acaba de llegir un llibre, ens trobem amb un dubte: per què hi ha una, dues o més pàgines blanques al final? quin paper juguen? serà per agafar apunts?

Tot té una raó. Ho hem preguntar a l'Enric, un amic que treballa en edició de llibres, i ens ho ha explicat. Cal dir que parlem de llibres cosits, no dels encolats. Un cop a casa per comprovar el que ens ha dit, agafem dos llibres de cuina: "Cuina per a solters" d'en Ismael Pardos i "El Gran Llibre de la Cuina Catalana" d'en Josep Lladonosa.


Comptem les pàgines que tenen en total aquests llibres, comptant també com a pàgines del llibre les blanques no numerades. El resultat és 192 i 720 respectivament. Si ara dividim el nombre de pàgines per 16, curiosament ens dóna un nombre enter, 192:16 = 12 i 720:16 = 45.
Això és degut a que per fer llibres cosits, en general, es fan "llibretes" (en diuen "plecs") de 16 pàgines o de 32 per després cosir-los. Per tant el nombre de pàgines d'un llibre per anar bé ha de ser múltiple de 16, i com que això és difícil de demanar als autors, complementen amb planes blanques. Proveu-ho amb algun dels vostres llibres. Molts llibres tenen un nombre total de pàgines múltiples de 16!
Us podeu trobar en que de vegades el quocient de la divisió no és enter (dóna 33,5 en el cas del llibre de Paul Auster "Creia que mi padre era Dios", per exemple). Això és degut a que arribar a un múltiple de 16 inclouria massa pàgines blanques i aleshores els editors  utilitzen un plec de 8 o fins i tot de 4 pàgines per "tancar el llibre."

Com és un plec?
Aquest és el model d'organització de les pàgines amb el que treballen a l'editorial de l'Enric


En aquest cas es tracta d'un plec de 32 pàgines. La mesura del full (16 impreses per les dues bandes)  si les pàgines del llibre fossin de mida DINA 4, és  un DIN A0, és dir un metre quadrat. Després cal plegar-lo i guillotinar-lo pels llocs indicats en vermell a la figura de la dreta, per a obtenir el plec.






Estudi d'un plec de 16 pàgines
Una bona activitat per portar a classe és construir un plec de de 16 fulls. Aquesta és la distribució de pàgines on a més de l'ordre s'indica el sentit del text de cada pàgina

Seguint aquest model, podem proposar als alumnes dividir un DINA4 en vuit rectangles iguals per cada banda, numerar els rectangles que representen les pàgines i construir el plec plegant-lo correctament.

Alguns aspectes per discutir: Tenint com a punt de partida la posició de la pàgina 1, la ubicació de les altres pàgines és un joc de simetries:
  • darrera de l'1 ha d'anar el 2 però la direcció del text ha d'anar al revés. 
  • al costat de l'1 ha d'anar el 16, perquè al plegar-les una sigui la pàgina inicial i l'altre la final
Descobrir que la suma de les pàgines que van de costat (1 i 16, 4 i 13, etc) és sempre la mateixa, és la clau de volta per resoldre l'activitat proposada. Si a més de construir el plec els fem escriure o explicar quines decisions han anat prenent per solucionar la tasca, aprofundirem molt més en el tema: "Que parlin ells"

Un joc de màgia plegant paper
Per acabar un joc de màgia que, com quasi sempre, hem après d'en Lluís Segarra.
  • Feu dividir un full en 16 parts i escriure els nombres de l'1 al 16, en ordre (figura). Mentrestant escriu el nombre XXX en un paper i poseu-lo en un sobre.
  • Feu doblegar el paper de la manera que vulguin (fent meitats, com un mapa, com un acordió...) fins que solament es vegi un dels rectangles numerats al davant.
  • Retalleu els quatre costats de manera que els nombres us quedin solts, per poder-los utilitzar com a cartes.
  • Separeu les cartes en dues piles: les que vinguin de cara les poseu en una pila i les que vinguin d'esquena en una altra.
  • Demaneu a algú que sumi els nombres de la pila i digui en veu alta el resultat. Obriu el sobre i ensenyeu que aquest resultat coincideix amb el nombre que hi ha escrit (el nombre al que hem anomenat XXX). 
Quin és aquest nombre XXX que hauriem d'haver posat al sobre per tenir èxit en aquest joc? Serà realment "màgia"?

13 d’octubre del 2012

Nombres amb forma (II)

Després d'haver parlat dels nombre "oblongs" en el post Nombres amb forma (I) toca el torn a uns nombres encara més famosos, els triangulars, que són la suma de nombres naturals consecutius començant per l'1.


Podem observar que en la successió dels nombres triangulars s'intercalen nombres senars i parells.

Justament aquests nombres són el tema del mes del concurs fotogràfic JAEM'13 organitzat per la Societat Balear de Matemàtiques SBM-XEIX
En  trobareu més exemples a
  http://xvi.jaem.es/concurso-fotografico/octubre-2012-nombres-triangulars.html

Una propietat molt interessant d'aquests nombres és el Teorema del nombre poligonal de Fermat que afirma que tot nombre natural es pot escriure com a suma de tres nombres triangulars.

En la graella multiplicativa els nombres triangulars tenen una posició molt particular
Captura de pantalla de la proposta del projecte Nrich: Triangle Numbers

Mirem algunes relacions dels nombres triangulars amb altres nombres amb forma:
    La suma de dos nombres triangulars consecutius és un nombre quadrat
    El doble d'un nombre triangular és un nombre oblong
    (veure una animació d'aquesta propietat a Picturing Triangle Numbers)
    Si multipliquem un nombre triangular per 9
    i sumem 1 obtenim un nombre triangular
    Si multipliquem un nombre triangular per 8
    i sumem 1 obtenim un nombre quadrat
    Si multipliquem un nombre triangular per 6
    i sumem 1 obtenim un nombre hexagonal
    Per acabar, els nombres triangulars també estan relacionats amb les piràmides oblongues i les piràmides quadrades: la suma de n nombres oblongs consecutius i l'enésim nombre piramidal és un nombre triangular
    Si eliminem les taronges marcades amb una creu de la piràmide oblonga
    de la imatge de Richard Philipps (apareguda en en el post
    Nombres amb forma I
    ) ens queda una piràmide quadrada 

10 d’octubre del 2012

L'applet dels globus

Clicar imatge per accedir a l'applet
Uns dels primers applets que vàrem conèixer a l'any 2003, i que podríem definir com "d'èxit assegurat" és el dels globus de l'institut Freudenthal. Sobre una línia numèrica buida cal col·locar un globus just en el lloc que ocuparia el nombre escrit a la part superior. Es prem el botó i cau un dard que ha de fer explotar el globus. Queda un trosset de cordill sobre la línia per així tenir constància de la magnitud de l'error.



Us recomanem  jugar-hi una estoneta i analitzar quins coneixements "es mouen" quan
jugueu.
Actualment l'Institut Freudenthal presenta una proposta molt més amplia que creiem que val la pena que la tingueu a l'abast en un idioma més proper que no l'holandès. L'esquema que utilitzen treballa sobre aquestes tres idees:
  1. Treballant sobre la línia numèrica "marcada", o sobre la línia numèrica buida
  2. Variant el rang de nombres: 0-10, 0-20, 0-100, 0-1000 o variable
  3. Proposant, en algunes ocasions, col·locar el globus en la posició d'un nombre donat, i en altres ocasions, donar el nombre corresponent a un lloc concret de la línia. 
Clicar imatge per accedir ala pàgina
Rang 0-10
Per conèixer aquesta proposta començarem amb una anàlisi més detallada de l'applet que proposa nombres en el rang 0-10 i la completarem amb un llistat dels altres rangs.
 
  • Les opcions a) i c) generen activitats de comptatge i certes estratègies, per exemple és interessant discutir per quin nombre és més eficaç començar a comptar. No és el mateix col·locar el 2 que el 9 (enllaços 0-10/a i 0/10c)
  • Les opcions b) i d) generen activitats d'estimació i aquí les discussions són molt interessants, en el que la idea de meitat és bàsica. Discutir sobre si determinat nombre està a la dreta o l'esquerra del 5 pot ser interessant (enllaços 0/10b i 0,10/d)
La proposta es completa amb dues propostes per jugar per parelles: la primera sobre la línia numèrica marcada 0-10/c/2j i la segona sobre la línia numèrica buida 0-10/d/2j. 

L'armari d'applets: rangs 0-20, 0-100, 0-1000
L'esquema es repeteix en aquests tres rangs que continuen. El que canvia és la magnitud dels nombres. Adjuntem la llista d'enllaços utilitzant les abreviatures LM per indicar línia numèrica marcada, LB per indicar línia numèrica buida, i 2j per indicar que és per a 2 jugadors
Rang 0-20
Col·locar el globus: 20gLM, 20gLB
Escriure el nombre: 20nLM, 20nLB20nLM2j20nLB2j
Rang 0-100
Col·locar el globus: 100gLB, 100gLM, 100gLB2j, 100gLB2j, 100gLB2j
Escriure el nombre: 100nLM, 100nLB, 100nLM2j, 100nLB2j
Rang 0-1000
En aquest rang solament es treballa la col·locació de globus: 1000gLM, 1000gLB, 1000gLB2j, 1000gLB2j, 1000gLM2j

Comentaris a altres applets més específics
Rang variable
Clicar imatge per accedir a l'applet
En el cas de l'applet al que podeu accedir clicant la imatge de l'esquerra, els extrems de la línia van canviant a cada pantalla i no són fixes com en els casos presentats fins ara. Per exemple: la línia amb extrems 600 i 800, cas de la pantalla capturada a la imatge, pot estar seguida d'una línia d'extrems 200 i 400 etc. El que si que es manté és la distància de 200. Val la pena, discutir col·lectivament on posar el globus abans de prémer el botó. Es recullen estratègies diverses i interessants.

Un altre applet al que podeu accedir a través d'aquest enllaç, us dona accés  a un generador d'applets on podeu triar el nombre de jugadors, els nombres dels extrems, etc.

Nivells
Clicar imatge per accedir a l'applet
A l'applet de la imatge trobareu amb un seguit de pantalles de dificultat creixent en el que si s'aconsegueix el nombre d'encerts necessari, es passa de nivell.

Finalment un últim applet delq ue no reproduïm la foto treballa ja en el món dels decimals.  enllaç.




    Partir d'una multiplicació
    Clicar imatge per accedir a l'applet
    En aquest cas el nombre a posicionar ve donat en forma de multiplicació. En una classe de sisè vàrem jugar amb aquests applets sobre la LNB, i la idea d'estimació presidia la activitat. Els alumnes tardaven molt a fer-ho. Preguntats per la seva tardança la resposta va ser "es que ens costa molt fer 4x115". Va ser un bon moment per reflexionar sobre els avantatges d'estimar quan el problema no necessita un càlcul exacte: en aquest cas és més eficaç, per exemple, multiplicar per 4x111 o 4x120 i col·locar el globus una miqueta a la dreta del punt en que es creu que es troba el 444 o a l'esquerra del punt 480.

    6 d’octubre del 2012

    Ús de parèntesis i prioritat d'operacions

    L'ús de parèntesis i "que parlin ells"
    Aprendre a utilitzar parèntesis és important en Matemàtiques. El moment actual, un marc competencial i la importància de la comunicació com a competència rellevant, ens conviden a reflexionar sobre aquest aspecte.

    Els coneguts jocs en que s'ha de combinar nombres per a obtenir-ne un de prefixat representen una excel·lent oportunitat per introduir l'ús de parèntesis per comunicar determinat càlculs. Un exemple d'aquests jocs:

    photo credit: )ota. via photo pin cc
    El joc del 24
    És un joc que es planteja utilitzant cartes amb nombres de l'1 al 9. Es treuen quatre cartes del mateix coll i per tant, diferents. Utilitzant els quatre nombres un sol cop cadascun i les operacions suma, resta, multiplicació i divisió (els cops que es vulgui), cal obtenir el nombre 24.








    Proposem el joc a classe: és una activitat que en general els agrada, sobretot perquè no és un exercici "preparat" sinó que són les cartes les que determinen la sortida. Al cap d'una estona comencen a sortir solucions que es van recollint col·lectivament.
    Suposem que els nombres que han aparegut són l'1, el 4, el 3 i el 7 i que al cap d'una estona una alumna ja hagi trobat una solució que ha expressat d'aquesta manera (els nombres encerclats indiquen els quatre nombres a utilitzar, els altres surten dels resultats parcials, el segon 3 i el 21.)

    Podem aprofitar l'ocasió demanant que enlloc d'escriure les operacions de "forma indicada" comprimeixin tots els càlculs utilitzant una sola expressió. És força normal és que els alumnes escriguin: 4 - 1 + 7 x 3 = 24. En calcular el resultat de l'expressió en algunes calculadores dóna 30, encara que, aplicant la llei de prioritat d'operacions, dóna 24 (però pensem que aquest és un contingut posterior ja que va associat a una economia a l'hora d'escriure i de moment el que volem és que "comuniquin un ordre").
    Per tant cal posar-se d'acord en com indicar quins càlcul parcials es fan abans i quins després. Plantejat això a classe una de les propostes dels alumnes acostuma a ser la del tipus: "primer fes 7 x 3" i per assenyalar-ho ho tanquin en un registre determinat com, per exemple, un rectangle.
    Aquest rectangle, que ens ajuda a comunicar l'ordre de les operacions, és l'antecedent als parèntesi i ha sorgit per la necessitat de comunicació. Podem exercitar-lo amb activitats del tipus següent:
    • Quants resultats diferents es poden obtenir a partir de 3x5+2x3, posant el parèntesi en llocs diferents? 
    • O el seu invers: posa el parèntesi de manera que l'expressió 3x5+2x3 doni 51.
    També és un bon moment per parlar dels dos tipus de calculadores senzilles, jeràrquiques i no jeràrquiques, la diferència entre elles i el perill que correm si no comprovem d'entrada de quin tipus són: el primer que cal fer amb una calculadora desconeguda és calcular 2+3x5 (per exemple), si dóna 17 és jeràrquica, si dóna 25 és no jeràrquica. Solament imagineu els problemes que pot presentar quan calculem la mitjana de notes d'una activitat ja feta la taula de freqüències (4x4+6x5+7x6) i les calculadores que tenim són no jeràrquiques.


    El joc del 24 a la xarxa 
    Un applet interessant que treballa el joc del 24, consta d'una seqüència de 5 activitats que guia a l'alumne en l'escriptura ordenada de manera vertical que és un primer pas a fer per ensinistrar als alumnes a comunicar de manera ordenada. Posteriorment i ja en paper podem passar a les expressions en una sola línia utilitzant parèntesi.
    Si voleu proposar el joc als vostres alumnes amb cartes, pot ser us va bé tenir a mà un applet que troba algunes solucions per qualsevol quaterna que li proposeu.
    Captura de pantalla http://scripts.cac.psu.edu/staff/r/j/rjg5/scripts/Math24.pl 
    La raó del 24 i no de qualsevol altre nombre
    La raó de la tria del joc amb quatre cartes és purament matemàtica i saber-ho és interessant: donats quatre nombres de l'1 al 9 a l'atzar no repetits, solament hi ha dues quaternes (entre les 126 possibles) que no tenen solució: la 1678 i la 3467. Un bon tema de discussió per treballar amb alumnes grans. Per a més informació i si voleu saber més sobre el joc del 24 i no us atrevíeu a preguntar-ho, en Toni Gomà us ho explica aquí.

    Contextualitzant per entendre: llei de prioritat d'operacions
    La llei de prioritat d'operacions és un conveni que ens permet simplificar les expressions simbòliques estalviant parèntesis. Entenem que és l'estadi final d'un procés: primer entendre que cal prioritzar certes operacions amb l'ús del parèntesis, per després arribar a la llei per estalviar complexitat en l'expressió.

    En Adolf Almató: un dels tres "mestres" que em van marcar en començar a fer de "mestre de mates" (els altres dos varen ser en Francesc Esteva i en Pere Roig) em va explicar, als anys 80, una activitat que va fer per treballar la llei de prioritat d'operacions amb els seus alumnes.
    Acte 1: Es demana que calculin una expressió escrita a la pissarra: 2x3+4x5 mentalment. Pot passar que hi hagi alumnes que els doni 26 i d'altres 50.
    Acte 2: Es reparteixen calculadores (jeràrquiques i no jeràrquiques) a diferents grups d'alumnes. Es comprova que les calculadores tampoc "es posen d'acord". Unes donen 26 i d'altres 50. No cal dir que les discussions i justificacions entre alumnes de cinquè o sisè eren impossibles i que anaven des de la desqualificació de l'adversari a l'estat de les piles de la calculadora del company o companya.
    Acte 3: Parem les discussions i resolem el següent problema mentalment: la Maite compra 2 llapis que valen 3 pessetes (estem a principis els 80) cadascun i després 4 paquets de galetes que valen 5 pessetes cadascuna. Quant s'ha gastat? Aquest cop el resultat és el mateix per a tothom: 26 la discussió es tanca. És el moment de representar-ho simbòlicament: 2x3+4x5 i reprendre la discussió primera des de l'argument "dóna 26 no hi ha dubte" (ara diríem: el context no enganya) què passa a l'hora de calcular? com ho hem de fer perquè doni 26?

    Aquest és un exemple clar del paper del context en la compressió dels continguts matemàtics: qualsevol altra explicació del mestre cauria en el sac del "es fa així". Però quan a tots els alumnes de classe, aplicat a una situació en context, els ha donat que el resultat és 26 no cal aprendre-ho de memòria: s'ha entès per sempre.

    Aquesta activitat, dels anys 80, continua sent vàlida actualment. El que segurament canviaria, degut al paper que el context juga actualment, seria que primer plantejaríem el problema en context resolent-lo utilitzant el càlcul mental, per després plantejar-nos a l'hora de representar-ho simbòlicament quines condicions ha de complir una expressió simbòlica perquè no sigui equívoca i comuniqui exactament el que nosaltres volem.

    Posts relacionats: Materialitzacions d'applets

    Un comentari a posteriori:

    3 d’octubre del 2012

    Avaluar el comptatge-1

    El fet de comptar
    Quan parlem de comptar en els primers nivells d'escola (Infantil i començament de primer) podem identificar dos aspectes diferents: el comptatge acústic, o sigui, la "cantarella" (un, dos, tres, quatre, cinc, etc.) i el comptatge resultatiu, és a dir l'aplicació d'aquesta cantarella al comptatge d'objectes. Implica una coordinació entre recitar la sèrie numèrica i, a la vegada, assenyalar, o desplaçar l'objecte comptat. De fet saber comptar és això. Aquest fantàstic invent d'associar un nom ("sis", "vuit") a una col·lecció, és un dels aprenentatges principals a l'hora d'organitzar el món a les primeres edats. 

    Una activitat d'en Guy Brousseau
    Farà cosa d'uns 20 anys, en una agradable sopar amb en Guy Brousseau, ens va explicar una activitat que feia amb els alumnes i que ell classificava, si no recordem malament, com a "situació fonamental":
    + informació clicar imatge
    Entorn d'una taula hi ha un grup d'alumnes i a sobre de la taula hi ha 7 gots amb pintura però necessiten un pinzell per cada recipient. Els pinzells estan en una altra classe, per tant, proposa als alumnes que vagin a buscar-los intentant que no en falti ni en sobri cap. També els explica que si són capaços de fer el que els demana correctament un cop pot ser que sigui casualitat, però si ho fan bé molts cops, encara que ell canviï el nombre de recipients, aleshores, voldrà dir que ja saben comptar!. 
    Un exemple que va explicar-nos va ser el següent: "Un alumne s'aixeca, mira els gots, marxa, va a l'altra classe, n'agafa uns quants a ull, torna, els posa i no coincideixen! Mentre pensa en què ha fallat, els seus companys li diuen: "compta, compta, compta". L'alumne compta 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, va a l'altra classe, agafa una pila de pinzells sense comptar-los, torna i tampoc ho aconsegueix".


    Una de les coses que ens va sorprendre més de la situació va ser la inclusió de l'objectiu "acadèmic" en l'activitat: promoure que els alumnes s'apropiïn de l'objectiu, fer-ho en un sol viatge.

    Si ens parem a pensar això dels nombres és un invent genial: es disposa d'una col·lecció de gots, cal anar a buscar pinzells i no en pot sobrar ni faltar cap. Es compten els gots. S'identifica l'últim nombre dit (el 7) com el cardinal (el nombre d'elements) de la col·lecció. T'emportes el nombre al cap. Es va a un altre escenari. Es "baixa" el 7 de la memòria i es converteix en el nombre de pinzells necessaris. Es porten els pinzells al primer escenari on hi ha els gots i coincideixen! Això és saber comptar: utilitzar el comptatge per resoldre situacions en que la comparació directa no és possible. Per això és molt important que els escenaris estiguin separats.

    Una aplicació posterior
    Van passar els anys i a l'any 2004, la Carme Barba va realitzar una llicència d'estudis on una de les activitats que va dissenyar per a alumnes de P4, inspirada totalment en aquesta idea, va ser la que podeu veure en aquesta presentació que portem al bloc.

    Material utilitzat "clicks" © PLAYMOBIL/ geobra Brandstätter GmbH & Co. KG
    Si obriu la presentació amb Slideshare, clicant a la part inferior esquerra, podeu descarregar la presentació

    Analitzem solament el primer el cas: cotxe amb quatre viatgers:
    1. Els alumnes tenen clar l'objectiu: coneixen perfectament les lleis de joc i saben on han d'arribar
    2. Fora de casos extrems els alumnes saben resoldre el problema a partir de les seves estratègies emergents, des dels que fan quatre viatges fins els que en fan un.
    3. Dóna informació a la mestra sobre el nivell dels alumnes en fer l'activitat, però aquesta informació no és del tipus "ben fet - mal fet", sinó del nivell d'eficàcia.
    4. La discussió en grup a la meitat de l'activitat ens acosta a un treball que fa avançar als nostres alumnes.
    5. Cal tenir en compte que l'objectiu de la mestra no és "resoldre correctament la situació", de fet ho saben fer tots, sinó "resoldre-la en un sol viatge" és a dir treballant l'eficàcia de les estratègies. Però tot i així, aquest requeriment (un sol viatge) no apareix en les condicions inicials de la proposta, element que portaria a una activitat completament diferent tipus "ho saps fer, no ho saps fer"
    6. L'ordre de la tria dels alumnes és important (i això no cal explicar-ho a cap mestre amb experiència ja que tots ho sabeu) fent sortir primer als alumnes més "artesanals" a solucionar el problema, per anar donant la paraula a alumnes amb estratègies més eficients, a mesura que avança l'activitat.
    Diferència amb el problema dels pinzells
    L'activitat dels pinzells era feta amb 7 elements. Aquesta ha estat plantejada amb 4. Aquesta diferència de nombre és important. Per resoldre situacions reals, manipulatives o gràfiques amb nombres baixos, molts els cops els alumnes utilitzen l'anomenat "cop d'ull" (o subitising) és a dir, veient la col·lecció reconeixen el nombre sense necessitat de comptar. Fer-ho amb 7 elements ja convida molt més a utilitzar el comptatge resultatiu i per alumnes més grans, segurament és més indicat.

    L'activitat amb nombres més grans: del cotxe a l'autobús
    La segona part de l'activitat ja entra més a la resolució de problemes ja que el que fa és ampliar el nombre de seients, des d'el cotxe de quatre places fins a l'autobús. Aquest augment del nombre de seients genera, com es veu en la presentació, dividir el problema en parts i omplir el vehicle per etapes, més o menys en funció del domini de la grandària del nombre que tingui l'alumne que el fa.

    Veient això sembla que no és el mateix saber comptar fins a 20, per exemple, que tenir-ne un domini competencial a l'hora de resoldre situacions. Si fos així els alumnes aplicarien la mateixa estratègia d'emportar-se'n el nombre al cap tal com hem vist a l'exemple del cotxe. Què n'opineu?