Perímetre i àrea

Que amb el mateix perímetre es poden aconseguir àrees diferents i que de totes les figures possibles, el cercle és la d'àrea màxima, és una idea interessant per discutir amb els alumnes. A més, la llegenda sobre la fundació de Cartago  ens ofereix un exemple fantàstic per treballar-ho. 

Sobre aquesta llegenda la Wikipèdia diu: Segons la llegenda, que ha estat adulterada per alguns escriptors clàssics llatins, Cartago va ser fundada l'any 810 aC per la princesa Dido, germana de Pigmalió, rei de Tir. Aquest, que ambicionava el tresor de Siqueu, espòs de Dido, la va obligar a que li revelés la ubicació d'aquestes riqueses. Dido va enganyar a Pigmalió indicant-li un fals lloc i aquest primer va assassinar a Siqueu i després va buscar la fortuna, mentre Dido el desenterrava i fugia amb el tresor i els seus seguidors. Va embarcar i va navegar fins a arribar a la regió habitada pels libis, on va sol·licitar al rei local terres per fundar una ciutat però, poc inclinat a la intrusió, només li va concedir el terreny ocupat per una pell de brau. Dido, dona enginyosa, va tallar la pell en finíssimes tires i així va delimitar una gran extensió i va fer construir una fortalesa anomenada Birsa, que més tard es va convertir en la ciutat de Cartago.

Font: Wiquipèdia

Primera activitat

La idea es repartir trossos de cordill (llargs i iguals) per a cada grup d'alumnes i la proposta que en el pati de l'escola facin el paper de la princesa Dido: amb el cordill com a model de la pell de brau ja tallada, hauran de definir les fronteres del "seu" país, per després calcular-ne l'àrea. Finalment, s'han de comparar les àrees de cada país per veure quina és la màxima.

Un cop arribats a que el cercle és la figura d'àrea màxima, podem plantejar una segona qüestió. Cartago està davant el mar, per tant Dido tenia dues opcions: delimitar un terreny circular al costat del mar, o aprofitar la costa i ocupar un terreny de forma semicircular. Són solucions equivalents? Depèn de l'edat dels alumnes la tasca serà diferent pel que fa a les eines emprades: des del dibuix fins al càlcul o a l'ús de l'àlgebra.

Es podría completar amb una activitat d'ampliació: que passaria si el terreny hagués de tenir forma rectangular? (quadrat inclòs)

Segona activitat

La feina de proposar als alumnes com tallar una figura en talls finíssims per ampliar l'àrea tal com ho va fer Dido, ens la va explicar en Joan Jareño quan ho feia amb els seus alumnes d'ESO. Són dues tasques molt engrescadores i sorprenents:

• Cap un nen dins d'un DINA4? Depèn, ja que si el talles de la manera en que es veu a la imatge no només pot cabre un nen dins d'un DINA4 sinó que en poden cabre més (com més propers es facin els talls més gran serà l'àrea de la regió que pot delimitar). Quants diríeu que hi caben?

• I amb un cercle?

Aquest post està relacionat amb
http://puntmat.blogspot.com.es/2014/05/perimetre-i-area-2.html 

Nota:
Després de publicar aquesta entrada ha sortit publicat un post del bon amic, fins avui,  Joan Jareño sobre el mateix tema del que en podem aprendre un pou: Les tires dels tiris: tancant àrees màximes. 
Joan: el proper cop que estiguis preparant un super post com aquest AVISA! esperarem que surti el teu i ens dedicarem a un altre tema. Ets un "brutu"! et felicitem. 

Matematiques anant pel carrer (5)

Comencem per un diari

Sota la bossa d'escombraries que hi ha posada al costat de la porta, a punt perquè la porti al contenidor, hi ha un full de diari per preservar el terra de possibles humitats no desitjades. Veig que els números de les dues pàgines (del mateix full) que estan cap a dalt són la 14 i la 35 i un seguit de preguntes em venen al cap:

1. Quins números estan a l'altre banda del full? 
2. Quantes pàgines té aquest diari? 
3. El número 20, on estarà: a la pàgina de la dreta o de l'esquerra? 
4. Quina serà la pàgina oposada de la 9? 
5. En algun moment el número de la pàgina de l'esquerra és més gran que la de la dreta?
6. Entre quines pàgines es veuen les grapes?
7. Quan sumen tots els números de pàgina del diari?

Les pàgines d'un llibre

Molts cops, quan s'acaba de llegir un llibre, ens trobem amb un dubte: per què hi ha una, dues o més pàgines blanques al final? quin paper juguen? serà per agafar apunts?

Tot té una raó. Ho hem preguntar a l'Enric, un amic que treballa en edició de llibres, i ens ho ha explicat. Cal dir que parlem de llibres cosits, no dels encolats. Un cop a casa per comprovar el que ens ha dit, agafem dos llibres de cuina: "Cuina per a solters" d'en Ismael Pardos i "El Gran Llibre de la Cuina Catalana" d'en Josep Lladonosa.

Comptem les pàgines que tenen en total aquests llibres, comptant també com a pàgines del llibre les blanques no numerades. El resultat és 192 i 720 respectivament. Si ara dividim el nombre de pàgines per 16, curiosament ens dóna un nombre enter, 192:16 = 12 i 720:16 = 45.
Això és degut a que per fer llibres cosits, en general, es fan "llibretes" (en diuen "plecs") de 16 pàgines o de 32 per després cosir-los. Per tant el nombre de pàgines d'un llibre per anar bé ha de ser múltiple de 16, i com que això és difícil de demanar als autors, complementen amb planes blanques. Proveu-ho amb algun dels vostres llibres. Molts llibres tenen un nombre total de pàgines múltiples de 16!
Us podeu trobar en que de vegades el quocient de la divisió no és enter (dóna 33,5 en el cas del llibre de Paul Auster "Creia que mi padre era Dios", per exemple). Això és degut a que arribar a un múltiple de 16 inclouria massa pàgines blanques i aleshores els editors  utilitzen un plec de 8 o fins i tot de 4 pàgines per "tancar el llibre."

Com és un plec?
Aquest és el model d'organització de les pàgines amb el que treballen a l'editorial de l'Enric

En aquest cas es tracta d'un plec de 32 pàgines. La mesura del full (16 impreses per les dues bandes)  si les pàgines del llibre fossin de mida DINA 4, és  un DIN A0, és dir un metre quadrat. Després cal plegar-lo i guillotinar-lo pels llocs indicats en vermell a la figura de la dreta, per a obtenir el plec.

Estudi d'un plec de 16 pàgines

Una bona activitat per portar a classe és construir un plec de de 16 fulls. Aquesta és la distribució de pàgines on a més de l'ordre s'indica el sentit del text de cada pàgina

Seguint aquest model, podem proposar als alumnes dividir un DINA4 en vuit rectangles iguals per cada banda, numerar els rectangles que representen les pàgines i construir el plec plegant-lo correctament.

Alguns aspectes per discutir: Tenint com a punt de partida la posició de la pàgina 1, la ubicació de les altres pàgines és un joc de simetries:

• darrera de l'1 ha d'anar el 2 però la direcció del text ha d'anar al revés. 
• al costat de l'1 ha d'anar el 16, perquè al plegar-les una sigui la pàgina inicial i l'altre la final

Descobrir que la suma de les pàgines que van de costat (1 i 16, 4 i 13, etc) és sempre la mateixa, és la clau de volta per resoldre l'activitat proposada. Si a més de construir el plec els fem escriure o explicar quines decisions han anat prenent per solucionar la tasca, aprofundirem molt més en el tema: "Que parlin ells"

Un joc de màgia plegant paper

Per acabar un joc de màgia que, com quasi sempre, hem après d'en Lluís Segarra.

• Feu dividir un full en 16 parts i escriure els nombres de l'1 al 16, en ordre (figura). Mentrestant escriu el nombre XXX en un paper i poseu-lo en un sobre.
• Feu doblegar el paper de la manera que vulguin (fent meitats, com un mapa, com un acordió...) fins que solament es vegi un dels rectangles numerats al davant.
• Retalleu els quatre costats de manera que els nombres us quedin solts, per poder-los utilitzar com a cartes.
• Separeu les cartes en dues piles: les que vinguin de cara les poseu en una pila i les que vinguin d'esquena en una altra.
• Demaneu a algú que sumi els nombres de la pila i digui en veu alta el resultat. Obriu el sobre i ensenyeu que aquest resultat coincideix amb el nombre que hi ha escrit (el nombre al que hem anomenat XXX). 

Quin és aquest nombre XXX que hauriem d'haver posat al sobre per tenir èxit en aquest joc? Serà realment "màgia"?

Problemes irresolubles a l'ensenyament obligatori?

Hi ha alguns problemes matemàtics que van romandre sense ser resolts per molts anys (alguns d'ells encara avui no han estat resolts) i que poden ser "entesos" pels nostres alumnes. Òbviament, en presentar-los a l'aula, volem analitzar en què consisteix el problema i no en trobar la seva solució amb els alumnes. I creiem que té interès analitzar alguns d'ells a l'aula perquè tracten temes curriculars d'una manera entretinguda per als alumnes i fàcil d'implementar pel professor.

Dos exemples: 

Problema 1: fins a quina bola has arribat? (adaptació del problema de Schur)

Tenim dos barrets i boles numerades des del nombre 1 cap endavant. El problema consisteix en posar la major quantitat possible de boles als barrets amb dues condicions:

* les boles es van posant dins dels barrets en ordre, primer la bola 1, després la bola 2, etc

* per posar una bola en un barret, el valor de la bola ha de ser diferent al valor de les sumes que es poden obtenir a partir de dues boles que hi ha dins.

Posem un exemple:

Imatge 1. La bola 1 ha estat posada al segon barret,
Imatge 2. Les boles 2 i 3 han estat posades al primer. Ara cal posar la bola 4: pot anar a qualsevol dels dos barrets. Es tria el primer.

Imatge 3. On anirà el 5?: No es pot posar al primer barret atès que les boles 3 i 2 sumen 5 per tant haurà d'anar al segon barret.

Imatge 4.  En intentar posar la bola 6 s'acaba el joc ja que no es pot posar posar ni al primer ni al segon barret.

Proveu-ho ara vosaltres: fins a quina bola heu arribat? heu aconseguit posar el 6? i el 7? Oi que també és possible aconseguir una distribució de fins a 8 boles en dos barrets?

El problema pot continuar amb tres barrets (que és l'exemple que veureu al vídeo que hi a continuació fet amb alumnes de "grade 2"), amb quatre, amb cinc, etc. Tot i que fer-ho amb tres ja es un bon problema. 

Problema 2: Gratacels alineats  (adaptació del problema de Dudeney dels tres punts no alineats)

Col·locar 8 edificis sobre un paper puntejat de 4x4 de manera que no hi hagi tres edificis en línia recta.

Aquesta és una de les 4 solucions

Cal dir que el que es planteja a l'activitat no és solament trobar una solució sinó trobar-les totes. Us podeu divertir una estona resolent el problema o posant-lo als vostres alumnes també amb graelles de 5x5 o més grans.

Podeu veure un vídeo sobre aquest problema a l'aula (en anglès) en "grade 1". Clicar imatge per accedir a vídeo (en anglès)

D'on surt aquesta proposta?

Aquests problemes pertanyen a una col·lecció més amplia, que proposa un problema d'aquest tipus per nivell,  que hem conegut gràcies al James Ward (@jimmybcn2) i que podeu trobar a: http://mathpickle.com/unsolved-k-12/

Nombres primers, compostos i quadrats

Gràcies a un tuit de la "particular" Vi Hart (@vihartvihart  o http://vihart.com) hem conegut un applet que comença amb una imatge com aquesta:

La primera imatge que apareix representa la sèrie d'arcs de circumferència de radi: 1, 2, 3, etc. Quan activem la "pel·lícula" es va formant una espiral.

A mesura que avança, es van acolorint de vermell els nombres primers i veiem, per exemple (veure figura inferior) que el 51 està alineat amb el 3 i el 17 i 51 és 3x17. Ens preguntem: passa sempre que el nombre final és el producte dels nombres que estan alineats amb ell? Quina informació ens donen els nombres que surten alineats amb d'un nombre determinat? Com veieu és una magnífica ocasió per convidar als alumnes perquè "parlin ells"

 

Aquesta espiral ens va fer pensar en una imatge famosa, davant  de la qual la pregunta que s'acostuma a fer és: qué és això?

I la resposta és "el gargot d'Ulam": els nombres primers pintats en una quadrícula en espiral començada des del centre. Convida a pensar que aquests maleïts nombres primers deuen tenir alguna regularitat encara no trobada. Si voleu conèixer més a fons aquesta història us remetem a la fantàstica exposició sobre "quadrats" dissenyada per la gent de la societat balear Xeix. Us presentem una petita mostra que pot donar lloc a una gran feina amb l'alumnat.

Finalment, comentarem un altre applet que resol de manera notable la representació de divisors d'un nombre. En la part central veiem el gràfic, a sota el nombre, en aquest cas el 36 i a la dreta la seva descomposició en nombres primers.

Si llegim de fora cap a dintre viem que hi ha:

• Un cercle blau gran que conté 3 cercles blaus petits 
• Cada cercle blau petit conté 3 cercles grocs
• Cada cercle groc conté 2 cercles grocs petits
• Cada cercle petit conté 2 punts, el que finalment ens porta a 3x3x2x2

Creiem que és una representació que permet crear preguntes interessants i reptes de cara als nostres alumnes, com per exemple:

• Aquí veiem les representacions de quatre nombres: el 6, el 7, el 8 i el 9. Troba un altre nombre que tingui la mateixa representació que el 7 (és a dir sense subgrups)

 

• Donat un nombre, dibuixa el gràfic (es pot fer manipulativament representant la  quantitat  amb fitxes de parxís). 
• Molts nombres tenen més d'una representació. Donat un nombre, fes totes les representacions possibles. Per exemple, el 30 dóna gràfics diferents segons es comenci la descomposió per 2x15, 3x10 o 5x6. 
• Els nombres primers tenen una sola representació possible. Hi ha altres nombres que la tinguin?
• Donat un gràfic "mut" (amb cercles però sense els punts) troba alguns nombres que responguin a aquesta estructura

Esperem que en aquest començament de curs encara pugueu fer un espai per a enquibir alguna d'aquestes idees al llarg de l'any, si és que us han agradat.

Afegitó (7/11/12)
Una altra animació preciosa

Al següent vídeo podem veure una activitat relacionada amb aquest applet que proposa @martapb87 als seus alumnes de 6è  

La regla de tres

Aquestes precioses il·lustracions pertanyen a un quadern de problemes escrit l'any 1932 per l'Anicet Villar, mestre del grup escolar Pere Vila de Barcelona. La raó per dedicar-li un post és que a la introducció al quadern ens ha semblat veure, en certs aspectes, una proposta propera al que pensem actualment sobre el que haurien d'aprendre els alumnes.

 La introducció: una declaració d'intencions

Volem destacar tres idees interessants que ens suggereix la seva lectura. La primera la trobem quan diu que l'alumne "descobreixi el fil de les relacions que hi ha entre els diferents problemes del mateix tipus", desplaçant així el punt de mira d'una proposta d'un llistat de problemes per entrenar de manera irreflexiva a un llistat de problemes per descobrir-hi relacions.

El segon aspecte ens acosta a la comunicació. No sabem si la pretensió de l'autor era únicament explicar a l'alumne com es resolia aquell tipus de problema en concret. Però, vist amb ulls d'ara i pensant en termes de comunicació, la seva pretensió podia ser donar pautes perquè els alumnes expliquin en forma de text la seva resolució d'aquell tipus de problemes, entrant de ple en la competència comunicativa.

El tercer aspecte i la regla de tres

Fins ara se'ns podria acusar de "lectura parcial o interessada" de les intencions de l'autor, veient coses que potser no són així. Però en l'últim paràgraf de la introducció en la que fa referència explícita a la "regla de tres" o a determinades fórmules d'economia domèstica, no hi ha dubte: les seves indicacions i el que pensem ara estan molt properes: defuig la presentació de fórmules per defensar un treball molt més conceptual. 

Reproduïm aquí sota el paràgraf esmentat:

"Els problemes de regla de tres, d'interès, etc., es resolen per reducció a la unitat, o potser millor dit, per raonament lògic prescindint de tota regla més o menys artificiosa. El mestre que vulgui ensenyar aquestes regles com a mitjà ràpid i mecànic de trobar la solució farà bé sempre que el nen estigui preparat de tal manera que, encara que oblidés les regles fos capaç de resoldre els problemes per discerniment propi"

Si el pobre Anicet veiés l'èxit que té actualment explicar la regla des tres a moltes de les nostres aules, no descansaria en pau. 

Aquest exemple ens dóna entrada a una pràctica, malauradament massa estesa encara en la nostra realitat educativa: l'administració sistemàtica i contínua de "formules màgiques" específiques que solucionen problemes específics: la regla de tres, el càlcul de tants per cent, l'àrea del trapezi, del rombe, dels polígons regulars a partir de l'apotema, córrer la coma en les multiplicacions per decimals, l'escaleta per fer conversions en el sistema mètric decimal, etc. I el més greu és que pensant que guanyem eficàcia, el que fem és donar una imatge als nostres alumnes completament distorsionada del que vol dir "fer Matemàtiques".

Ensenyar la regla de tres a Primària segurament roba a molts d'alumnes, la possibilitat de "descobrir el fil" de les relacions multiplicatives entre nombres o de trobar regularitats més enllà de les additives. Explicar-la a Secundària fa que no entrin a fons a una idea important: la de raó i proporció. A més els deixa orfes d'estratègies, de manera que davant un problema nou una mica diferent als fets anteriorment, no saben com encarar-lo i es bloquegen. Per culpa de l'aprenentatge basat en fórmules molts professors de matemàtiques ens trobem que quan s'acosta la declaració a hisenda, els amics "autònoms" ens truquen per preguntar-nos com es fa per calcular l'IVA corresponent a un producte del que sap el preu final (amb IVA carregat) i cal desglosar-ho.

La regla de tres i en Claudi Alsina

Tenim dues referències sobre la regla de tres, fetes per Claudi Alsina famós i divertit matemàtic de professió i divulgador de vocació. La primera és un innocent acudit publicat al número 3 de la revista l'Escaire (1979).

La segona referència és una frase dita, si més no contundent, en una xerrada als anys 80 on intentava explicitar l'estat de la didàctica de les Matemàtiques al nostre país:

"La regla de tres es diu així perquè solament s'explica a tres països: Espanya, Grècia i Portugal"

Llegida actualment, un pensa si "rescat" i "regla de tres" tenen alguna relació.

Molts anys després d'escriure aquest post, al 2018, durant una sessió del mòdul 2 del curs ARAMAT, analitzant els càlculs basats en la proporcionalitat involucrats en una activitat sobre estadística "Nombres en persepectiva", va surgir la reflexió sobre la falta d'estratègies alternatives a la regla de tres i vam acabar analitzant les taules de proporcionalitat com a estratègia eficient per a aquests càlculs. Aquest vídeo resumeix aquesta discussió:

DIN A4: algunes preguntes

Material omnipresent als centres educatius, els DIN A4 s'han de conèixer: Podem començar per esbrinar d'on ve el seu nom (format per tres lletres que són les inicials de Deutsches Institut für Normung). Després podem començar a fer-nos preguntes abans d'obrir el paquet, veient les informacions que porta escrites. Quines preguntes poden aparèixer?

Algunes preguntes per a Primària

• Quants fulls conté el paquet?
• Què vol dir A4? Quina mida fa? Quina mida fa un full DINA4 expressat en cm?
• Hi ha altres mides de paper que responen als següents codis: A0, A1, A2, A3, A4, A5, A6, A7, A8.  Quines mides té cadascun? 
• Cadascuna d'aquestes mides s'utilitzen per fer coses concretes a la vida quotidiana, busca exemples
• Si tens un full DINA4, explica com ho faries per aconseguir un DINA5
• Com construiries un DIN A3 a partir de dos DIN A4? Explica-ho de manera que ningú s'equivoqui en llegir les teves instruccions

Una activitat: calcular el  pes d'un paquet de DIN A4

Cal tenir en compte que per fer aquesta activitat cal tenir en compte que normalment a les papereries se senten frases com: "vull un paquet de fulls de 80g". Això implica que quan preguntem quan pesa un full? és usual que alguns alumnes responguin "80g": Si apliquen aquesta idea en la resolució del problema, el pes resultat serà desmesurat. Cal tenir una balança a classe per comprovar les possibles errades que els portaran a replantejar-se coses i fixar-se que el paquet diu 8og el metre quadrat.

Però que hi pinta un metre quadrat aquí al mig? Ho contestem en la primera investigació que trobareu més avall

Nota: a molts paquets posa  "80 gsm" enlloc de 80g. El que passa és que utilitza l'abreviatura anglesa de l'expressió en anglès: "grams square metre"  "gsm

Algunes idees per a la Secundària

Imatge Viquipèida

Forces preguntes plantejades anteriorment poden servir per a Secundària. Les que venen a continuació són pròpies d'aquesta etapa.

• Fotocopia dues pàgines DINA4, aplicant la reducció de manera que càpiguen en un sol DINA4. Quin % has de posar? Pensa bé abans de prémer el botó
• Amplia un escrit fet en un full DINA4 a un DINA3. Quin % has de posar al marcador?

Si fem que parlin ells i justifiquin les seves respostes ens portarà a un treball molt més interessant.

Dues petites investigacions entre Cicle Superior i Secundària

1. Construcció d'un DIN A0

Anteriorment hem plantejat la relació del pes amb el metre quadrat. I no és altre que un DINA0 mesura 1 metre quadrat. L'activitat que plantegem és coprovar-ho a classe.
Construim un DINA0 al terra. Partint d'un DINA4, anem col·locant fulls un al costat de l'altre, de manera correcta,  reconeixent successivament els DINA3, A2, A1,  fins a arribar a aconseguir el DINA0, tal i com es veu a la figura. Un cop fet en calculem l'àrea.

Al paquet posa que la mida d'un DINA4 és de 210 x 297mm. Utilitzant aquesta dada, veiem que la base fa 21x 4= 84 cm i l'altura  29,7 x 4 = 118,8 cm, el que ens dóna que l'àrea del DINA0 és de:  118,8 x 84 = 9979,2 cm quadrats o sigui, gaire bé 1 metre quadrat.

Ara ja tenim dades per tancar la investigació, ens plantegem:

• Quant pesa el paquet de fulls?
• Quan pesa un DIN A4?

La construcció del DINA0, va ser realitzada a classe de sisè per en Josep Martí, de l'Escola Ponent, de Terrassa. Un dels efectes col·laterals no previstos, però molt interessant, va ser la sorpresa i desconcert dels alumnes en veure un metre quadrat que no era un quadrat, cosa que en Josep amb l'habilitat que el caracteritza va aprofitar com aigua de maig.

2. Imprimint fulls

1. Si omplim completament un full de tractament de textos amb "g" escrites amb lletra tipus Times, mida 12.

• Quantes lletres creus que hi entraran? 
• Quantes files ocupa?

Es comprova  amb l'eina de word que compta el nombre de caràcters del document. 

2. Ampliem el text a mida 24. Quants fulls diries que omplirà? Primer pensa i després comprova-ho amb l'ordinador.

3. Un cop resolta i comprovada l'anterior activitat.

• Torna a començar per la mida 12 i digues quants fulls omplirà si ampliem el text a mida 18. Comprova-ho. Un cop vist el que surt fes un escrit amb les teves impressions i conclusions sobre aquesta activitat. Entre elles es pot demanar que busquin una generalització o justificació del problema

Contes matemàtics a la xarxa

Mati y sus mateaventuras, és una sèrie de contes curts escrits per la Clara Grima Ruiz i il·lustrats per la Raquel Garcia Ulldemolins. La temàtica d’aquests contes és matemàtica i el motiu per parlar d’aquesta sèrie en aquest bloc de TICs* és que aquests contes estan disponibles únicament per llegir online.
Fins al moment hi ha publicats 19 números d’aquesta col·lecció:

• El 1 nunca fue un soldado
• El mago de 2
• Con 3 esquinitas de nada…
• Te doy Π besitos
• Dame 4 colores y pintaré el mundo
• El oro estaba escondido en una estrella de 5 puntas
• Media docena son 6 huevos
• 7 puentes para un sólo paseo
• Porque 8 no es siempre el doble de cuatro
• Y con Plutón serían 9
• ¡Nos han puesto un 10!
• 11 para la gloria
• Las 12 uvas ¿de la suerte?
• Y después del ocho, viene el 13
• ¿Gauss cumple 14 años?
• 15 sombreros, blancos y negros.
• Una constelación con 16 estrellas
• ¡Más de 17 formas de ocultar un secreto!
• 18 monedas de chocolate

Podeu començar per qualsevol, però si voleu un suggeriment, jo crec que ¿Gauss cumple 14 años? dóna una bona idea del que us trobareu en aquests contes.

Les quatre imatges d’aquest post procedeixen de http://pequenoldn.librodenotas.com/matiaventuras/
* Aquest post és còpia del que vaig escriure per al bloc Amics de les TICs de l'Escola Sadako

Matemàtiques kitsh

Com no podria ser d'una altra manera no podíem deixar passar una data tant significativa en el nostre calendari com és el 14 de febrer, dia dels enamorats: hem buscat un parell de propostes per anar augmentant  la nostra secció d'objectes de regal.

fotografia treta de http://www.unoaerre.it/es

En primer lloc, els que ja tenim una edat, recordem "el regal" per antonomàsia, quasi canònic, anomenat "la medalla del amor". Utilitzava signes matemàtics per formular una successió (monótona?) creixent,  en referència a la quantitat d'estimació lliurada dia a dia pel qui feia el regal" definida per la frase "+ que ayer - que mañana". La posem en castellà ja que el nostre documentalista no ha sabut trobar la versió catalana. Encara que si que, com mostra la fotografia, la podeu trobar en italià.

El segon obsequi és dels nostres dies i presenta certes restriccions respecte el regal anterior, ja que implica que la persona que rep el regal ha de ser informàtic o informàtica. 

"San Valentín: camiseta binary love para el amor geek"

La pàgina de compradicción ens ofereix aquesta samarreta si el teu "amor" és  "geek". Us deixem amb la seva explicació.

El amor no discrimina ni por edad, ni por raza, ni por posición económica, ni por estilo de vida. El amor es para todos y San Valentín nos recuerda una vez al año lo hermoso de estar enamorados y nos invita a festejar ese sentimiento. Así, los geeks también se enamoran y, quizás, sólo ellos entiendan ciertos códigos. Claro, no hablo de los códigos del amor, sino de los códigos binarios.

Es por ello que esta camiseta llamada Binary Love es el obsequio perfecto para los geeks románticos que pretendan demostrar su amor así. La misma cuenta con un corazón en el pacho que debe comenzar a leerse desde el centro hacia la derecha. ¿Qué dice? 01101100011011110111011001100101. ¿Qué significa ello? Pues un traductor de binario a ASCII nos dirá que ello quiere decir Love (Amor).

Ja posats en aquest ambient, no ens negareu que l'explicació "mola", oi?
Finalmet i perquè veieu que enaixò del 14 de febrer matemàtic no estem sols, mireu-se la pàgina de "Gaussianos" dedicada al 14F

Geometria animada

A la primera xerrada plenària de les jornades de l'APMCM de la que ja vam parlar en un post anterior la Carme Burgués va comentar un vídeo del que coneixiem la seva existència però que alguns de nosaltres no hem vist mai. Es tracta del vídeo, titolat "Tres punts determinen una circumferència", al voltant del qual el Caleb Gattegno va organitzar la seva xerrada a Barcelona. Una xerrada en la que el Gattegno es va posar davant un grup d'alumnes de 14 anys, en una sala d'actes plena a vessar de professors que no han oblidat mai l'experiència. 

Aquest vídeo forma part de la sèrie “Animated Geometry” que originalment estava formada per 22 vídeos fets pel suís J. L. Nicolet: curts (de 3 a 6 minuts cadascun), muts i generalment en blanc i negre (hi ha uns pocs en color i en aquests casos el color no és un element accesori, el vídeo esmentat en el paràgraf anterior n'és un exemple). La llista de tots aquests vídeos és:  

• Three points determine one circle
• Circles tangent to two concentric circles 
• Contact point of parallel tangents to circles
• Subtended arc 
• A given line seen at a given angle 
• Angles at the circumference. 

Al canal que té a Youtube l'Association of Teacher of Mathematics: ATMtv podem trobar aquest vídeo 

• Internal bisectors of a triangle 
• External bisectors of a triangle 
• The construction of the regular pentagon 
• The golden section and the regular pentagon 
• Triangle formed from sides of regular polygons 

Aquest vídeo també està disponible al canal de l'ATM:  

En una circumferència s'inscriuen un pentàgon, un hexàgon i un decàgon, tots tres regulars. Si s'agafa un costat de cadascun dels tres polígons, aquests tres segments determinen un triangle rectangle!! (proposició 10 del llibre XIII dels Elements d'Euclides)

• Hypocycloid motion with circles in a ratio of 1:2 
• Two given circles seen under equal angles 
• The strophoid and the golden section 
• Poles and polars in the circle 
• Generation of an ellipse I 
• Locus of vertex of right angles tangent to an ellipse 
• Generation of an ellipse II 
• Generation of a hyperbola 
• Generation of a parabola 
• Another generation of a parabola 
• Common generation of conics 

Posteriorment Gattegno va afegir-ne quatre més a aquesta sèrie:

• Extensions of Pythagoras’ Theorem
• Sections of a cube 

• Generation of some plane curves
• Sections of a cone

Al llibre “Material para la enseñanza de las matemáticas” hi ha un capítol dedicat a aquest tema escrit pel Nicolet i un altre pel Gattegno. Allí Nicolet diu: "Els dibuixos animats no han de ser una paràfrasi d'una demostració. Al contrari, han d'estar el més allunyats possible d'això: només han de suggerir l'enunciat d'un teorema o d'un problema. Han de despertar en el subconscient el sentiment estètic i fer-lo promotor d'una certesa que inviti a la demostració."

En aquest llibre el Gattegno explica alguns del vídeos del Nicolet mitjançant vinyetes. A les fotografies es veu l'auca del film "Triangle formed from sides of regular polygons".

 

També trobareu relats del Gattegno sobre l'ús que feia amb alumnes d'aquests films al volum 2 del llibre For the teaching of Mathematics Nosaltres hem intentat fer-ne una del film "Three points determine one circle"

 

Les etapes d'aquesta auca estan basades en el relat que apareix en un altre llibre de Gattegno: "The Awareness of Mathematization" que es pot llegir online. (Aquest enllaç està relacionat amb la pàgina web dedicada a Gattegno suggerida en un comentari a un post anterior fet pel Dani Ruiz

Us demanem que si coneixeu enllaços amb els quals enriquir aquesta llista ens els feu conèixer.

En aquest sentit Roberto Cardil, responsable de la fantàstica web "Matemáticas visuales", ha elaborat dos vídeos inspirats pel treball de Gattegno i Nicolet

http://www.matematicasvisuales.com/html/encasa/geometria/gattegno2.html

http://www.matematicasvisuales.com/html/encasa/geometria/gattegno3.html 

Jornades de l'APMCM i Caleb Gattegno

La xerrada
Aquest cap de setmana hem assistit a les IV Jornades de Matemàtiques a les Comarques Meridionals, que han estat excepcionals. Hem escrit una piulada al nostre twitter amb un enllaç a la pàgina de la APMCM on es troba informació sobre les comunicacions i taller que hi hem pogut compartir, però en aquest post volem comentar una part de la primera conferència plenària dedicada a rendir homenatge a personatges que ens han marcat camí, a càrrec d'en Claudi Alsina i la Carme Burguès.
En aquest homenatge van dedicar una estona important a recordar a Caleb Gattegno, per les seves aportacions, per la seva qualitat humana la xerrada i sobretot per una conferència que ell va fer a Barcelona fa gaire bé 30 anys i que tots els que hi vam assitir recordem: Gattegno i un grup d'alumnes de 14 anys sobre un escenari parlant de matemàtiques.

Gattegno i els nens

I es veu que això d'estar amb nens li agradava: una de les anècdotes sobre Gattegno que explicava Francesc Esteve, primer director de la revista de Didàctica de les Matemàtiques "L'Escaire" era que amb motiu d'un congrés de Didàctica els assitents van sortir a fer una passejada pels carrers de la ciutat  seu del congrès. Van passar per davant d'uns nens que estaven fent un joc de tauler al terra d'una plaça i van continuar caminant. Poc després es van adonar que en Gattegno no hi era, van tornar enrere i se'l van trobar jugant amb els nens, discutint amb ells i fent-los preguntes sobre el joc d'aquelles que fan pensar.

Els reglets Cuisenaire: una classe de Gattegno

Si expliquem això és perquè quan es parla d'un home amb projecció internacional en el món de la Didàctica costa imaginar-lo atrevint-se a exemplificar el seu discurs amb alumnes, però Gattegno ho feia. Creiem que la millor manera de parlar de l'ús del reglets Cuisenaire (dels que ell en va ser el gran divulgador) es veient al propi Gateggno fer-ne ús en una classe amb alumnes força petits.

La producció dels vídeos es canadenca i hem trobat dos vídeos molt semblants un en anglès i un en francès.
Vídeo 1: versió en anglès

Video 2 : versió en francès

Per fomentar l'ús dels reglets, Gattegno va escriure petites publicacions cadascuna d'elles dedicada a un tema diferent.

El llibrets

En general s'associa l'ús de reglets amb alumnes de primers anys d'escolarització i a la comprensió dels conceptes inicials de numeració, descomposicions de nombres i primeres operacions, però res més lluny d'això. Serveixi com a exemple la col·lecció de 9 llibrets escrita per Gattegno i que en castellà portava el títol de "Aritmètica con Números en Color" editada per Cuisenaire de España (l'edició que tenim és del 1967) 

Els títols d'aquests llibrets són: 1 i 2) Los Números hasta 100; 3) Problemas y situaciones; 4) Los números hasta 1000; 5) Fracciones y decimales; 6) Los números y sus propiedades; 7) El Sistema Métrico: 8) Proporciones y mezclas; 9) Álgebra y Geometria para la Escuela Primaria.

El Geoplà un material que perdura

Aquest material creat per Gattegno és un clàssic i encara ara continua sent vàlid, fins al punt que existeixen forces versions virtuals d'aquest material. Per trobar més informació us remetem a la pàgina de l'espai Jordi Esteve que tracta del Geoplà en el que trobareu des d'un article de l'any 1979 de la revista l'Escaire, fins a una proposta de treball amb Geoplà utilitzant Geogebra feta pel Pep Butjosa. També hi trobareu algunes altres activitats, enllaços i un document per poder imprimir-vos "paper de Geoplà" que facilita el registre de les produccions dels alumnes. 

Vins per Nadal i Reis

La Laura Morera, de nou, ens envia un suggeriment que en dies com aquests i pensant en objectes de regal és molt adeqüat: una ampolla de vi dedicada al nombre π.

enllaç 12/2011

La Laura cita un post del bloc de Joaquin Sevilla, on diu:  En un supermercado hemos encontrado esta tarde un vino muy sorprendente, y no por el vino en si (que aún no he probado), sino por la marca: PI 

La etiqueta es una espiral con un montón de decimales de PI en color blanco, menos unos cuantos en rojo que dibujan la letra griega.

En la contraetiqueta vemos que es vino Español de la uva Concejón; descubro ahora que es una variedad poco conocida que se conoce también como Moristel, Juan Ibañez o Miguel de Arcos. Dicen que es una selección de 3,1415 hectáreas de la variedad Concejón, pero no hay referencia a la bodega o localidad de producción. En todo caso es una curiosidad deliciosamente FRIKI.

A partir d'aquesta idea hem buscat regals que tinguin relació amb el món de les Matemàtiques i el vi. Us presentem uns quants exemples no sabem si frikis o no.

Comencem per tres vins: el 2πr que no podem deixar mai de banda en una taula matemàticasobre tot si és rodona, el Sixseeds on el grafisme ens recorda amb llavors que 6 és un nombre triangular i finalment, el Möebius, que potser té una versió sofisticada en que l'envàs és una ampolla de Klein.

 Si el que voleu és fer un pack d'ampolles un bon consell és triar les tres ampolles de "quattro cinco neuf" on el disseny d'etiqueta és un exemple bonic de com registrar comptatges.

 Eternium que curiosament és el nom d'un vi jove i Enigma ens volen advertir sobre els misteris de la matemàtica. 

 Per acabar no volem deixar de banda el món de les fraccions.
 

Aquesta petita mostra ha estat treta, en la seva gran majoria, del tag "vino tinto" de la increïble pàgina  Cocina y Matemàtica. Hi trobareu molts més vins dels aquí citats amb la seva fitxa corresponent, a més de tot un món d'artefactes i altres relacions entre la cuina i les Matemàtiques. Per tant considerem demostrat, com indica l'etiqueta de l'ampolla de vi que apareix a sota, que hi ha un extens camp de possibilitats per regalar vins amb aroma matemàtic.

Per als qui els ha tocar la loteria

Vins apart, si teniu diners i us voleu regalar un cotxe, no hi ha res que ho impedeixi, però si us decidiu no ho dubteu: heu de triar el "Mazda-PI"  on hi apareix el nombre π amb 27 xifres decimals.

Bones festes i bons regals.