Inicis del comptatge

Comptatge acústic

S'anomena "comptatge acústic" a aquell en el que els nens aprenen a recitar la sèrie 1,2,3,4,5,6,... per distingir-lo del comptatge resultatiu al que, anteriorment, havíem dedicat dos posts, és a dir al tipus de comptatge que es fa (de fet és el que en diem "comptar")  quan els demanem que ens diguin quants cubets hi ha a sobre de la taula, o que agafin el número de clicks necessari per omplir un vehicle  que està en un altre lloc de la classe sense que en falti ni en sobri cap.Més informació aquí i aquí.

Aquest procés de comptar objectes implica posar en funcionament dues habilitats a la vegada : mentre es recita la sèrie numèrica cal anar assenyalant coordinadament amb dir el número de la sèrie (comptatge acústic) procés en el que moltes vegades cal enretirar l'objecte comptat per així no comptar-lo dos cops.

Reflexions sobre la introducció del comptatge acústic

Comptar cap endavant d'un en un i dir el següent
Comptar endavant és la primera habilitat necessària per a poder determinar quants objectes hi ha en una col·lecció determinada. El procès de recitar  la seqüència de nombres es comença a educació infantil, i continua a primer, fent jocs o activitats que ajudin a  interioritzar la sèrie 1, 2, 3, 4, 5,etc

Un exemple el tenim en la primera activitat del 3x6.mat de primer curs, on es planteja recitar la sèrie acompanyant-la de moviment corporal.

Captura de 3x6.Mat (Editorial Barcanova, 2005)

 Una activitat que mantenim vigent en noves propostes

Captura de Laboratori de Nombres (InnovaMat Education, 2017)

Un cop els alumnes tenen un cert domini, cal proposar-los que diguin quin és el següent d'un nombre, diferent del 1,  o que recitin una seqüència curta començant per altres nombres

Dir l'anterior i comptar enrere
La seqüència inversa, comptar endarrere, comporta força més dificultat. Una habilitat, en principi fàcil, com "dir l'anterior", és molt més complicada del que sembla.
Potser, si només demanem aquesta qüestió per escrit no ens en adonarem ja que la respondran bé, però si la pregunta és oral veurem que hi ha alumnes que tarden força a contestar, ja que, per exemple, si han de dir quin és l'anterior del 13 (o el que va abans del 13) i els demanem que diguin en veu alta el que pensen, és probable que la resposta sigui: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13... el 12! Tenim algun vídeo de nens que fan això però no el podem posar  per respectar els drets d'imatge. Si coneixeu algun vídeo penjat a la xarxa, i els el voleu enviar, el penjarem en aquest post.

Això ens porta a plantejar que a diferència del comptar endavant, la seqüència en aquest cas hauria de començar per primer dir l'anterior d'un nombre, i posteriorment comptar endarrere, just al revés que fèiem per comptar endavant: primer recitar la sèrie  i després preguntar el següent d'un nombre.

Per acabar: és possible que algunes de les dificultats (manca de velocitat) en l'algorisme de la resta com, per exemple, fer el càlcul 9-2 vingui donada per la falta d'aquesta habilitat,encara que en aquest cas, el millor és que canvii l'estratègia i compti cap endavant enlloc de cap enrere de 2 a 9 o, millor encara, el treball amb els triangles additius (+ informació)

En aquest vídeo de @innovamat_ trobareu algunes altres reflexions al respecte de l'inici del comptatge:

https://youtu.be/D13K0v5d_2s 

Un applet
Vam conèixer aquest applet a la molt interessant, encara que ja inactiva, pàgina "Count Me in Too" L'alumne triava una carta que es girava mostrant un nombre (en el cas de la imatge el 5) l'ordinador "pronunciava" el nom del nombre. Posteriorment, l'alumne havia de dir quin era el número posterior i comprovar-ho (l'ordinador deia el nom del següent en anglès, italià o mandarí). Immediatament després, se li preguntava per l'anterior.

Mateclicks: "Problemes" de suma

En un post anterior: els costa molt fer 3+?=10, fèiem referència als PAE (Problemes Aritmètics Escolars) i a la classificació de tipus de problemes de sumar i restar en tres classes diferents

• Transformació (o canvi)
• Combinació
• Comparació

Problemes de transformació
Podem identificar 6 tipus de problemes de transformació segons el lloc que ocupi la incógnita:

• Suma: a+b = ?,   a + ? = c,   ? + b = c
• Resta: a - b = ?   a - ? = c,    ? -  b = c

Un dels contextos més adequats per treballar-los són els autobusos i passatgers que hi pugen (suma) o que baixen (resta). Esperem que us agradi el vídeo que hem preparat amb l'equip "Ma+eclicks" per al problema "a+b=?"

Figures:© PLAYMOBIL/ geobra Brandstätter GmbH & Co. KG. 

Les parades estan construïdes amb KAPLA 

Comentaris

• Quan el fem servir amb alumnes cal aturar el vídeo quan apareix la pregunta: quants n'han baixat? i demanar-los que anticipin el nombre final de passatgers abans l'autobús no arrenqui de nou. Engegar el vídeo i comprovar la resposta.
• L'expressió final: 6 + 4 = ? simbolitza el tipus de problema segons el lloc que ocupa "la incògnita". Podríem dir que es la forma simbòlica d'expressar: què ha passat? (veure post citat anteriorment)
• Un cop passat el vídeo podem proposar nous problemes canviant els nombres.

Jocs del "3 de 7" (I): l'autobús

"Tres de Set" va ser una col·lecció de llibres de text per Primària, publicats per l'Editorial Barcanova a principis dels 90, coordinats per David Barba, que també va ser-ne autor, conjuntament (segons el cicle) amb Rosa Marzo i Josep Maria Esteve, Raquel Cirera o Lluïsa Puigardeu i Tana Serra. Una de les seves característiques en els nivells inicials era la incorporació d'una carpeta de jocs per exercitar els continguts. Anirem presentant en aquest bloc els que ens semblin més interessants.

El joc de l'autobús

Publicat en el llibre de primer de primària al 1992, el joc està inspirat en una proposta de Constance Kamii (el joc de les torres) i éstà enfocat a treballar les descomposicions del número 4. Pot fer-se competitiu (dos o més jugadors) o com a tasca de grup.

El tauler
Cada jugador disposa d'un autobús com aquest. L'objectiu del joc és omplir l'autobús. Per fer-ho disposen de diferents "fitxes" que representen els passatgers i que han d'anar posant-se sobre les finestres començant per la de l'esquerra. O traient-les, sempre de dreta a esquerra, segons els nombres que indiquin les ruletes inferiors.

A la part de sota del tauler del autobús apareixen dues ruletes: la que indica quants passatgers entren o surten cada cop i la segona que indica si pugen o baixen. Aquestes ruletes impreses poden ser utilitzades directament utilitzat un llapis i un clip. Els colors de cada nombre de la ruleta corresponen amb les fitxes que presentem més endavant.

Es poden substituir per dos daus, l'un en que en les cares hi farem sortir 1,2,2,3,3,4 (per exemple) i l'altre E,E,E,E,S,S.

Les fitxes
Que cal tenir-les retalles, per anar omplint l'autobús. Representen un passatger, dos, tres o quatre.

Un moment de la partida
L'autobús d'en Mateo, en cert moment de la partida, té aquest aspecte:

Fa girar les dues ruletes i li surt "baixen 2". Com que el passatgers han de baixar ordenadament, el que fa en Mateo és treure la fitxa de tres passatgers (la rosa) i canviar-la per una de verda (un passatger) quedant ara l'autobús d'aquesta manera:

Si ara sortís "baixen 4", el canvi a fer és treure les tres: verda, carbassa i lila, i posar-ne una de 3 (rosa). Evidentment a l'hora de fer-ho les estratègies dels alumnes poden ser sorprenents i donaran joc a discutir-ne: "que parlin ells". Segons el transcurs de la partida, de vegades hi ha canvis realment complexos.

Es pot ampliar el camp dels nombres per així poder anar treballant les descomposicions dels diferents dígits.

Podeu baixar-vos el tauler i les fitxes si cliqueu aquí hi trobareu l'autobús i les fitxes originals del "3 de 7". A més hem incorporat un joc de fitxes, en les que estan dibuixades les finestres, destinats a alumnes que puguin tenir dificultats o a nivells més baixos.

Avaluar el compatge 2

En aquesta entrada presentem tres exemples que complementen el post  "Avaluar el comptatge, competències?":  un applet, un text de la Constance Kamii  i una app d'iPad

Un applet

enllaç

En aquest applet es presenta un seguit d'imatges en cadascuna de les quals els alumnes han de triar quina de les tres "safates" és la indicada per posar a cada pallasso el seu complement corresponent, en aquest cas el llaç. Altres pantalles porten boques, parelles d'ulls, barrets, etc.

Aquest és un applet fàcil de materialitzar, és a dir, de convertir-lo en un joc de taula per tenir-lo en un racó i fer-se manipulativament. Podeu trobar altres exemples de materialitzacions en el bloc.

Una pàgina del llibre de Constance Kamii

Un dels casos que recull en el seu llibre  "El número en la educación preescolar" (1984) ens dóna un exemple molt il·lustratiu, de la dificultat que representa el "saber comptar". De fet és semblant a  l'activitat dels cotxes o la dels pinzells del post citat anteriorment, però fruit d'una observació sistemàtica.

 "Una madre pedia a su hijo de cinco años que todos los días a la a la hora de la comida pusiera una servilleta en el plato de cada uno. Normalmente se sentaban cuatro personas a la mesa. Jean-Pierre sabia contar hasta 30 o más. Sin embargo iba al armario a coger la primera servilleta y la colocaba en un plato, volvía al armario a coger una segunda servilleta que colocaba en el segundo plato y así sucesivamente realizando un total de cuatro viajes. A los 5 años y 3 meses y 16 días, pensó espontáneamente en contar los platos, contó cuatro servilletas que habia de sacar del armario y las distribuyó en la mesa. Actuó de esta forma durante 6 días. El séptimo dia llegó un invitado y por lo tanto hubo un plato más de lo habitual. Jean-Pierre cogió cuatro servilletas como de costumbre, las distribuyó, y se dió cuenta que un plato seguía vacío. En vez de coger una servilleta más recogió las cuatro que estaban ya en los platos y las volvió a llevar al armario. Luego comenzó otra vez y realizó cinco viajes para llevar a cabo la tarea. Al dia siguiente el invitado no estaba, pero Jean-Pierre continuó haciendo cuatro viajes durante cinco dias más hasta que volvió a descubrir el contar..."  

Dos comentaris: el procés del comptar és molt més complex del que sembla en principi i, benvolguts pares i mares, per ajudar als fills a que aprenguin a comptar: feu-los parar taula més que intentar ensenyar-los com es fa. Caurà  pel seu propi pes quan toqui.

Finger Numbers: comptatge sobre un ipad

Continuant amb la idea d'associar dos conjunts del mateix nombre d'elements comencen a  sortir propostes molt interessants. Un exemple desevolupat per a treballar amb ipad és el següent:



A la part superior surten diferents representacions dels nombres i l'alumne ha de deixar tantes empremtes digitals com indica el nombre. Ens agrada!

Avaluar el comptatge-1

El fet de comptar

Quan parlem de comptar en els primers nivells d'escola (Infantil i començament de primer) podem identificar dos aspectes diferents: el comptatge acústic, o sigui, la "cantarella" (un, dos, tres, quatre, cinc, etc.) i el comptatge resultatiu, és a dir l'aplicació d'aquesta cantarella al comptatge d'objectes. Implica una coordinació entre recitar la sèrie numèrica i, a la vegada, assenyalar, o desplaçar l'objecte comptat. De fet saber comptar és això. Aquest fantàstic invent d'associar un nom ("sis", "vuit") a una col·lecció, és un dels aprenentatges principals a l'hora d'organitzar el món a les primeres edats. 

Una activitat d'en Guy Brousseau

Farà cosa d'uns 20 anys, en una agradable sopar amb en Guy Brousseau, ens va explicar una activitat que feia amb els alumnes i que ell classificava, si no recordem malament, com a "situació fonamental":

+ informació clicar imatge

Entorn d'una taula hi ha un grup d'alumnes i a sobre de la taula hi ha 7 gots amb pintura però necessiten un pinzell per cada recipient. Els pinzells estan en una altra classe, per tant, proposa als alumnes que vagin a buscar-los intentant que no en falti ni en sobri cap. També els explica que si són capaços de fer el que els demana correctament un cop pot ser que sigui casualitat, però si ho fan bé molts cops, encara que ell canviï el nombre de recipients, aleshores, voldrà dir que ja saben comptar!. 
Un exemple que va explicar-nos va ser el següent: "Un alumne s'aixeca, mira els gots, marxa, va a l'altra classe, n'agafa uns quants a ull, torna, els posa i no coincideixen! Mentre pensa en què ha fallat, els seus companys li diuen: "compta, compta, compta". L'alumne compta 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, va a l'altra classe, agafa una pila de pinzells sense comptar-los, torna i tampoc ho aconsegueix".


Una de les coses que ens va sorprendre més de la situació va ser la inclusió de l'objectiu "acadèmic" en l'activitat: promoure que els alumnes s'apropiïn de l'objectiu, fer-ho en un sol viatge.

Si ens parem a pensar això dels nombres és un invent genial: es disposa d'una col·lecció de gots, cal anar a buscar pinzells i no en pot sobrar ni faltar cap. Es compten els gots. S'identifica l'últim nombre dit (el 7) com el cardinal (el nombre d'elements) de la col·lecció. T'emportes el nombre al cap. Es va a un altre escenari. Es "baixa" el 7 de la memòria i es converteix en el nombre de pinzells necessaris. Es porten els pinzells al primer escenari on hi ha els gots i coincideixen! Això és saber comptar: utilitzar el comptatge per resoldre situacions en que la comparació directa no és possible. Per això és molt important que els escenaris estiguin separats.

Una aplicació posterior
Van passar els anys i a l'any 2004, la Carme Barba va realitzar una llicència d'estudis on una de les activitats que va dissenyar per a alumnes de P4, inspirada totalment en aquesta idea, va ser la que podeu veure en aquesta presentació que portem al bloc.

Material utilitzat "clicks" © PLAYMOBIL/ geobra Brandstätter GmbH & Co. KG

Si obriu la presentació amb Slideshare, clicant a la part inferior esquerra, podeu descarregar la presentació

Analitzem solament el primer el cas: cotxe amb quatre viatgers:

1. Els alumnes tenen clar l'objectiu: coneixen perfectament les lleis de joc i saben on han d'arribar
2. Fora de casos extrems els alumnes saben resoldre el problema a partir de les seves estratègies emergents, des dels que fan quatre viatges fins els que en fan un.
3. Dóna informació a la mestra sobre el nivell dels alumnes en fer l'activitat, però aquesta informació no és del tipus "ben fet - mal fet", sinó del nivell d'eficàcia.
4. La discussió en grup a la meitat de l'activitat ens acosta a un treball que fa avançar als nostres alumnes.
5. Cal tenir en compte que l'objectiu de la mestra no és "resoldre correctament la situació", de fet ho saben fer tots, sinó "resoldre-la en un sol viatge" és a dir treballant l'eficàcia de les estratègies. Però tot i així, aquest requeriment (un sol viatge) no apareix en les condicions inicials de la proposta, element que portaria a una activitat completament diferent tipus "ho saps fer, no ho saps fer"
6. L'ordre de la tria dels alumnes és important (i això no cal explicar-ho a cap mestre amb experiència ja que tots ho sabeu) fent sortir primer als alumnes més "artesanals" a solucionar el problema, per anar donant la paraula a alumnes amb estratègies més eficients, a mesura que avança l'activitat.

Diferència amb el problema dels pinzells

L'activitat dels pinzells era feta amb 7 elements. Aquesta ha estat plantejada amb 4. Aquesta diferència de nombre és important. Per resoldre situacions reals, manipulatives o gràfiques amb nombres baixos, molts els cops els alumnes utilitzen l'anomenat "cop d'ull" (o subitising) és a dir, veient la col·lecció reconeixen el nombre sense necessitat de comptar. Fer-ho amb 7 elements ja convida molt més a utilitzar el comptatge resultatiu i per alumnes més grans, segurament és més indicat.

L'activitat amb nombres més grans: del cotxe a l'autobús
La segona part de l'activitat ja entra més a la resolució de problemes ja que el que fa és ampliar el nombre de seients, des d'el cotxe de quatre places fins a l'autobús. Aquest augment del nombre de seients genera, com es veu en la presentació, dividir el problema en parts i omplir el vehicle per etapes, més o menys en funció del domini de la grandària del nombre que tingui l'alumne que el fa.

Veient això sembla que no és el mateix saber comptar fins a 20, per exemple, que tenir-ne un domini competencial a l'hora de resoldre situacions. Si fos així els alumnes aplicarien la mateixa estratègia d'emportar-se'n el nombre al cap tal com hem vist a l'exemple del cotxe. Què n'opineu?

Patrons i cubets encaixables

Podríem assegurar que els cubets encaixables (cubs de colors diferents de 2 cm d'aresta que es poden unir per un encaix) són el material polivalent per excel·lència. Aquest post vol ser una mostra de com una activitat que parteix de la mateixa situació creada amb cubets. pot servir des d'Infantil o Cicle Inicial fins a l'ESO,  senzillament canviant la pregunta.

Educació Infantil: crear patrons i reflexionar sobre regularitats

A l'Espai Jordi Esteve podem trobar una lliçó per a Educació Infantil escrita per la Montserrat Torra, on els alumnes analitzen les regularitats de diferents tires de 10 cubets. Podeu veure l'explicació completa de l'activitat a la pàgina de l'EJE, anant a la carpeta cubets encaixables, o directament clicant aquí.

Relacions i Canvi: des de 5è i 6è fins a l'ESO

L'activitat anterior s'inclouria en l'apartat "relacions i canvi", nou camp de continguts que s'afegeix a la llista dels "clàssics" (Numeració i Operacions, Geometria, etc)  i que dóna importància a activitats com: reconeixement de patrons, sèries, regularitats etc.

Aquesta mateixa activitat pot ser treballada a qualsevol nivell superior, senzillament canviant les preguntes: per exemple si ens movem en un nivell de cicle superior de Primària o primer d'ESO, podríem plantejar preguntes com les següents 

1. Si allarguem la tira de cubets vermella i blanca (veure foto) de quin color seria el cub 56? un cop tinguis una conjecura, comprova-ho.
2. De quin color seria la 352?
3. Quines instruccions donaries a un robot perquè "entrant-li un nombre" contestés correctament la pregunta (és a dir li demanem un mapa, diagrama, algorisme o llistat d'instruccions)

Les tres preguntes corresponen a tres nivells deferents de dificultat ja que la primera es pot imaginar comptant, mentre que la segona ja implica trobar algun recurs de càlcul que ens permeti fer-ho.

La tercera pregunta ja implica abstraure el procés i comunicar-lo en forma correcta (per això la figura del robot): un exemple podria ser:

1. Divideix el número que donat per quatre
2. Fixa't en el residu
3. Si dóna ....

O també:

• Si el número donat és múltiple de quatre o múltiple de quatre + 1 aleshores...

Fixeu-vos que la qualitat de la resposta ens indica el nivell de l'alumne més enlla que les dues siguin correctes.

Facilitar la feina de comprovar: un applet de l'Institut Freudenthal

per accedir a l'applet, aquí

He de posar les cinc boles a la part superior esquerra del fil (es pugen clicant sobre la bola) es formarà un patrò que s'acaba en la marca. En clicar "maak vol" el patró es reproduirà fins que arribi al final de la línia. Quin és l'ordre en que les he de pujar perquè en passar per el 102 la bola corresponent sigui blava?.
I seguint amb la idea "que parlin ells" no en tindrem prou amb que ho aconsegueixin, sinó que haurien d'explicar com ho han pensat 

L'activitat de l'applet continua amb altres reptes, hi accedireu clicant les fletxes, passareu per unes fitxes incomprensibles per a la majoria ja que estan en holandès, però tranquils fan les preguntes que faríem nosaltres, passeu-les de llarg i mireu altres situacions que surten més endavant.