Pràctica productiva: sumes i restes de nombres enters

Fa uns quants anys ja vam comentar dues tasques que permeten practicar el treball amb operacions additives amb nombres enters 

• una tasca sobre quadrats màgics de constant zero analitzada al post Quadrats màgics i nombres enters
• la tasca "Full Integer Collatz" relatada al post "Conjectura de Collatz: una activitat de classe"

Però aquests són només dos exemples de les moltes tasques d'aquest tipus que podem proposar als nostres alumnes dels primers cursos de secundària. A continuació presentarem d'altres: 

1) Casetes de nombres enters

La tasca "Number Shacks" proposada pel recentment mort Don Steward en el seu blog Median dona oportunitat de practicar sumes i restes entre nombres naturals i convida a conjecturar la relació entre els valors que omplen una caseta en relació als que omplen la caseta que es troba dues posicions cap a l'esquerra.

Uns pocs conceixements de manipulació algebraica permeten justificar la conjectura formulada:

2) Nombres consecutius

Inspirats en la tasca que amb aquest mateix nom ens proposa NRICH, podem preguntar a l'alumnat: Quina regularitat trobes en els resultats d'aquests operacions quan a les targetes escrius de gran a petit diferents quaternes de nombres consecutius? Canvien les teves respostes si en lloc d'ordenar els nombres consecutius de petit a gran, ho fas de gran a petit?

A partir de diverses tries de quaternes de nombres consecutius l'alumnat podrà observar que:

• el resultat de la primera operació sempre és el doble del nombre que hi ha a la segona targeta
• el resultat de la segona operació sempre és zero
• el resultat de la tercera operació sempre és el doble de l'oposat del nombre que hi ha a l'última targeta

També podran concluoure que aquestes observacions són vàlides tant quan els quatre nombres consecutius s'ordenen de forma ascendent com a descendent (encara que no si no s'ordenen). 

A l'igual que en la primera tasca, quan els alumnes ja compten amb els primers coneixements sobre manipulació d'expressions algebraiques, aquestes observacions són fàcilment justificables.

Es poden complementar aquestes preguntes amb altres del tipus: què passaria si canviem nombres consecutius per senars consecutius? què passaría si en els cercles de color taronja hi ha altres disposicions de signes de suma i resta? o com descriuries el patró que compleixen els resultats de les següents seqüències:

• Seqüència 1 
• Etapa 1: 1 – 2 = ... 
• Etapa 2: 1 – 2 + 3 = ... 
• Etapa 3: 1 – 2 + 3 – 4 = ... 
• ...
• Seqüència 2 
• Etapa 1: 1 – 3 = ... 
• Etapa 2: 1 – 3 + 5 = ... 
• Etapa 3: 1 – 3 + 5 – 7 = ...
• ...

3) Targetes numèriques

Tria algunes d’aquestes 8 targetes i suma-les. Quins resultats pots obtenir?

Aquesta tasca proposada per Don Steward al post "Matter and antimatter" es pot complementar preguntant a l'alumnat si podrien trobar altres valors positius per a les targetes verdes i negatius per a les taronges de manera d'obtenir un rang de nombres consecutius més extens que l'aconseguit amb els valors proposats inicialment (tots els nombres del rang [-60,20] admetent que es poden obtenir el 0 quan no es tria cap targeta).

Nombres irracionals i materials manipulatius

Òbviament els materials manipulatius tenen un lloc a les aules de l'ESO, també a les de 3r i 4t. les tasques que presentem en aquest post tenen com a finalitat il·lustrar aquesta possibilitat.

Tangrams

Si considerem que el costat del quadrat mesura 1, podem classificar els costats de les set peces segons tinguin longituds enteres o racionals

I a partir d'aquí podem fer-nos preguntes del tipus: 

• quin són els polígons formats per peces del Tangram que tenen tots els seus constats enters?
• hi ha uns quants quadrilàters 

Rectangles de perímetre 4, 6, 8, 10 i 12

• però també altres polígons amb una quantitat parell de costats (a la imatge següent veiem una mostra d'hexàgons, octàgons i decàgons) 

• i tots els seus costats irracionals?

Hi són tots?

Font: capítol 4 del llibre Time Travel and Other Mathematical Bewilderments del Martin Gardner.

Val a observar que si considerem que la mida dels costats del quadrat gran és 1, val la classificació feta simplement variant el fet que ara el vermell indica "irracional" i el blau "racional".

Pattern Blocks 
Tal com ja vam comentar en el post Pattern Blocks del blog d'Applets del Puntmat, les sis peces diferents que hi ha en aquest material es poden classificar en dos grups:

• D'una banda el triangle, el trapezi vermell (que equival a tres triangles), el rombe blau (que equival a dos triangles) i l'hexàgon (que equival a sis triangles) i 
• D'altra banda, el quadrat i el rombe de color molt clar, que no podem posar en correspondència amb el triangle com les peces de l'altre grup però sí que podem relacionar entre elles (tal com es veu en la imatge, un quadrat equival a 2 rombes clars)

https://apps.mathlearningcenter.org/pattern-shapes/

Aquesta classificació no és arbitrària. Si considerem que els costats de les sis peces sempre mesuren 1 unitat, les àrees del quadrat i el rombe de color clar són nombres racionals (respectivament 1 i 1:2) però les àrees del triangle, trapezi vermell, rombe blau i hexàgon són nombres irracionals (respectivament: √3:4, 3√3:4, √3:2 i 3√3:2).

Aquestes relacions ens permeten deduir que l’àrea del dodecàgon de costat 1 és 6+3√3 (12 triangles verds i 12 rombes de color clar) i la imatge següent ens permet observar que aquest valor coincideix amb l'àrea de 3 quadrats que tenen per costat el radi del dodecàgon. Aquest radi coincideix amb la mida de la diagonal major de la peça clara: √(2+√3)

Teniu molta més informació sobre aquest material manipulatiu a la presentació de M. Àngels Portilla i Dani Ruiz al C2EM 2016: Pattern Blocks: tot un ventall de possibilitats a l'aula

Puig Blocs

El Pere Puig Adam al capítol “Iniciación al cálculo con irracionales cuadráticos” del seu llibre “Didáctica Matemática Eurística” (1956) parla de les peces d'un joc anomenat ROMBO que els amics del Grup Cúbic ens han donat a conèixer com a #puigblocs (peces amb forma de triangle rectangle isòsceles i rombe, angles interiors 45º, 45º i 90º i 45º, 135º, 45º i 135º, perímetres 2+√2 i 4, àrees 1/2 i √2/2 respectivament)

Font: www.todocoleccion.net

La gent del Creamat les va construir amb la seva impressora 3D i així van formar un mosaic amb el qual el Puig Adam va mostrar que (4+2√2)² = 24+16√2 (48 peces triangulars i 32 rombes, la totalitat de peces que conté cada capsa)

Aquesta idea permet visualitzar diferents productes de nombres irracionals. O com diu l'Anton Aubanell en Materials per a construir mosaics... i matemàtiques! (NouBiaix, 36): "la geometria i els nombres tenen aquí una esplèndida trobada!"

Per exemple: (1+√2)(2+√2) = 4+3√2

O (4+√2)² = 18+8√2 com es veu en aquesta imatge promocional d'un altre joc: 

Font: http://aliexpress.com

Amb aquestes també peces es poden construir octàgons regulars i deduir que l'àrea de l'octàgon de costat 1 és 2+2√2.

Teniu molta més informació sobre aquest material manipulatiu i la seva relació amb els Pattern Blocks a la presentació del Grup Cúbic a la seva primera jornada anual: Mostra de l’activitat del mosaic de Puig Adam i generalització a Pattern Blocks

Geoplans 

Les tasques relacionades amb irracionals i els geoplans de trama quadrada són moltes

• podem donar sentit visual a igualtats del tipus √2 + √2 = √8

Aprender a enseñar matemáticas en la educación secundaria obligatoria
(Calvo, Deulofeu, Jareño & Morera, 2016)

• podem preguntar-nos quines longituds es poden representar sobre un geoplà
• la resposta depèn de la mida del geoplà (per exemple en un geoplà de 3x3 com el que apareix en la tasca anterior, les longituds representables són 1, 2, √2, √5 i √8)
• en un geoplà "infinit" les longituds representables són els múltiples d'1, √2, √5, √8, √10, √13, √17, √18 ... √x quan x és la suma de dos nombres quadrats

• sabem pel Teorema de Pick que l'àrea de tot polígon que es pugui representar en aquests geoplans és un nombre racional (més precisament, un enter o un enter més 1/2) i aquest fet ens permet deduir que en aquests geoplans no es poden construir 
• triangles equilàters 
• imaginem per un moment que fos possible fer un d'aquests triangles de costat r. L'àrea d'un triangle equilàter de costat r és √3/4·r². Sabem que r només pot ser múltiple de √x sent x la suma de dos nombres quadrats. Per tant, r² seria un nombre enter i √3/4·r² seria un nombre irracional. Ja hem dit que totes les àrees de triangles representats en aquests geoplans són racionals, per tant, era impossible la suposició feta
• octàgons regulars
• ja hem vist que l'àrea de l'octàgon de costat 1 és 2(1+√2), o sigui, que l'àrea de l'octàgon de costat r és 2r²(1+√2), sempre irracional i per tant impossible en un geoplà de trama quadrada
• dodecàgons regulars
• també impossible atenent al fet que, com hem vist més a dalt, l’àrea del dodecàgon de costat r és 3r²(2+√3).

Triangles no equilàters (un d'ells ni tan sols és isòsceles)

• altres propostes que podem plantejar sobre geoplans:

https://twitter.com/raulf/status/619990253806469120

https://twitter.com/CcBcnMvd/status/723916677935730689

Pràctica productiva: restes (4)

A partir de que els alumnes sàpiguen fer restes en el rang 0-100 els podem presentar aquesta tasca, inspirada en "Monty the Python" una tasca publicada per l'ATM a "Rich Task Maths 1" (2011): "Hem dibuixat cinc serps sobre la graella del 100. La longitud d'una serp es calcula comptant quantes cel·les ocupa i el seu pes, fent la diferència entre els nombres que estan al cap i a la cua de cada serp. Les cinc serps dibuixades tenen longitud 7 però, quant pesa cadascuna?" 

Encara que no és imprescindible diferenciar els dos extrems, per simplificar la comunicació direm que el cap és, dels dos extrems, el que conté el menor nombre i el cap, l'altre.

No hi ha misteri en el càlcul del pes de les serps rosa, taronja, verda o groga. El problema es presenta al moment de calcular el pes de la serp blava: el cap és el 18, però quina és la cua? el 29? el 38? el 40?. Els tres nombres poden ser la cua!! i aquí tenim la primera oportunitat per plantejar un repte als alumnes: trobar totes les serps que s'amaguen en aquesta imatge blava i els seus pesos.

Tres serps de formes diferents però amb la mateixa "silueta"

Atenent a aquesta distinció entre forma i silueta podem demanar maneres de representar una serp perquè no quedi dubte de com és la seva forma ni on està ubicada. Per exemple, la primera de les tres serps de l'última imatge podria representar-se així: 18, 28, 38, 39, 40, 30, 29.

Però hi ha moltes més preguntes amb les que podem enriquir aquesta activitat: 

• Pensant en serps de longitud 7 podem preguntar-nos: quant pesen les serps més pesants? quina forma tenen? Però és molt més interessant pensar en les serps més lleugeres... Totes les serps de pes 60 tenen la mateixa forma (la de la serp rosa de la imatge inicial) però les serps de pes 2 poden tenir formes molt diferents. A continuació aprofitem un applet de math_bot per ensenyar serps de longitud 7 i pes 2 però amb diferents siluetes: 

• Com canvia el rang de pes de les serps en funció de la seva longitud? Aquesta taula fa intuir interessants patrons i provoca fer-se noves preguntes (què més podem demanar a una taula?)

Aquesta taula substitueix una altra que els companys del 

CEIP Sant Jordi de Palma van detectar que contenia errades:

el pes mínim d'una serp de longitud senar pot ser 1!

Aquí es veu una serp de longitud 11 i una 

altra de longitud 33, totes dues de pes 1.

• Si 26 és el cap d'una serp de longitud 5, on pot estar la seva cua?

Observar que el fet d'haver fixat que el cap és l'extrem amb
menor valor evita que les solucions d'aquesta pregunta
incloguin als nombres 24, 22, 19, 17, 15, 13, 8, 6 i 4  

• Quins són tots els pesos possibles per a les serps de longitud 6? Sabem que el pes mínim és 1 i el màxim és 50 però quins valors entre 1 i 50 són efectivament pesos de serps de longitud 6?

Podem començar pensant on pot estar la cua d'una serp de longitud 6, que tingui el cap, per exemple al 5 i a partir d'allí pesar les serps per ariibar a que els pesos possibles són 1, 3, 5, 6, 8, 10, 12, 14, 17, 19, 21, 23, 28, 30, 32, 39, 41 i 50!! 

Observar que aquí no perdem solucions per demanar que el cap tingui un valor
més petit de la cua (perdem serps, per exemple, 5-15-25-24-14-4, però no perdem
pesos possibles ja que ja tenim una serp de pes 1: la que té el cap al 5 i la cua al 6)

Però això només és l'inici. Se'ns obre un ventall enorme de preguntes que encara no ens hem fet: quina és la serp més llarga que no toqui a cap nombre parell? i a cap primer? i a cap quadrat?

Una serp de longitud 19 que no toca cap múltiple de 3

Qui és l'intrús?

Una de les taques amb més èxit durant les trobades de formació de mestres són les QUELIs. Els mestres de seguida veuen el seu potencial per fer parlar als alumnes i intueixen com s'engrescaran els alumnes buscant arguments per defensar les seves respostes. O sigui, les QUELIs són tasques ideals per valorar les dimensions "comunicació i represantació" i "raonament i prova".

Què són les QUELIs?
Per explicar què significa QUELIs o WODB i quines característiques tenen aquestes tasques, per comentar com podem portar-les a l'aula i quines variants hi ha creiem que el millor es remitir-vos al resum de la presentació que van fer @davidobrador i @ccbcnmvd al C2EM 2016:

Exemples de QUELI's
Hi ha exemples per a totes les edats i relacionades amb tots els blocs temàtics. A més de la pàgina "oficial" que recull exemples d'aquestes tasques: http://wodb.ca, a Twitter, sota l'etiqueta #wodb els usuaris comparteixen les que dissenyen ells i les que proposen en les seves aules:

Comentarem la nostra experiència amb tres QUELIs de geometria que vam portar a l'aula

Anomenarem A a l'objecte que està a dalt a l'esquerra, B el que està a dalt a la dreta, C el que està a baix a l'esquerra i D a l'últim

Amb aquesta proposta surten arguments relacionats amb

• els eixos de simetria: B és l'intrús perquè és l'únic que les diagonals són eixos de simetria o C és l'intrús perquè és l'únic que té un únic eix de simetria o D és l'intrús perquè és l'únic que no té cap eix de simetria  
• les diagonals: A és l'intrús perquè és l'únic que té les diagonals iguals tallant-se al punt mig o  és l'intrús perquè és l'únic que té diagonals perpendiculars o C és l'intrús perquè és l'únic que les diagonals no es tallen al punt mig
• els costats: C és l'intrús perquè és l'únic que té tres costats de mides diferents o A és l'intrús perquè és l'únic que té costats perpendiculars o B és l'intrús perquè és l'únic que té tots els costats igual
• els angles: A és l'intrús perquè és l'únic que té tots els angles iguals o C és l'intrús perquè és l'únic que té un angle obtús oposat a un angle agut
• ... 

Aquí també els arguments han estat variats

• A és l'intrús perquè és l'únic acutangle, o l'únic que té com a eix de simetria la diagonal del geoplà
• B és l'intrús perquè és l'únic escalè, o l'únic que té un costat de longitud major que 4
• C és l'intrús perquè és l'únic rectangle o l'únic que la seva frontera només té contacte amb tres punts del geoplà
• D és l'intrús perquè és l'únic que no té punts del geoplà a l'nterior, o l'únic que té un costat de longitud 4

En aquest cas, a més de convidar als alumnes a exposar arguments sobre perquè cadascuna de les figures era "l'intrusa" vam plantejar que pensessin què tenien en comú les peces vermelles, les verdes i sobre tot les blaves. El fet de reconeixer que el mateix color indicava mateixa àrea els va donar nous arguments: C és l'intrús perquè és l'únic que té àrea 9 triangles verds o D és l'intrús perquè és l'únic que té àrea 8 triangles verds.

A la fase final del Fem Matemàtiques 2019 l'organització va proposar als participants com a activitat inicial per formar grups puzzles relacionats amb #QUELIs (a cada participant es lliurava amb la inscripció una imatge que corresponia a la cinquena part d'una imatge major que corresponia a una tasca del tipus "qui és l'intrús?" havien de juntar-se amb la resta de participants que tenien imatges de la mateixa QUELI i entre tots argumentar les quatre opcions)

Mondrian i la dissecció d'un quadrat en rectangles

Composició en vermell, groc, blau i negre
Oli sobre tela, 59.5x59.5, Piet Mondrian, 1921

Inspirant-se en l'obra de Mondrian MathPickle ens proposa aquest problema que ha estat un èxit cada vegada que l'hem portat a l'aula:

• Fes una graella de 10x10 
• Divideix la graella en rectangles diferents. ACLARIMENT: no es poden fer servir dos rectangles iguals, però sí que es poden fer servir dos rectangles diferents que tenen la mateixa àrea (per exemple, si hem utilitzat un rectangle de 2x3 no podem utilitzar un altre de 3x2 però sí un de 1x6).
• Acoloreix els rectangles seguint l’estètica del pintor Piet Mondrian. 
• Calcula la diferència entre el nombre de quadrets del rectangle més gran i el del més petit.

REPTE INICIAL: Quina és la diferència més petita que podeu aconseguir?

Els alumnes de 6è de @escolasadako van gaudir molt amb el problema, encara que cap d'ells va aconseguir la menor diferència possible (8).

La solució òptima de diferència 8 es pot obtenir així:

Però els alumnes de l'escola Tecnos de Terrassa, que es van entusiasmar moltíssim amb aquest problema, en conèixer aquesta solució es van proposar el repte de buscar-ne una altra que cap dels rectangles fos un quadrat. I no només ho van aconseguir sinó que ho van fer amb una solució més "elegant", utilitzant només sis rectangles!

Alguns mestres del seminari "Gràcia Barri Matemàtic" ho van proposar als seus alumnes de Cicle Mitjà i van explicar la seva experiència amb aquest problema al C2EM.

Els mestres del departament Col·laboratiu de Matemàtiques de la @FTrams també van proposar el problema als seus alumnes de Cicle Superior en el context del projecte Problemàtiques

Simon Gregg també va proposar aquest problema als seus alumnes:

ANEM MÉS ENLLÀ

• I si la graella inicial no és de 10x10 sinó de 4x4, 5x5, 6x6…?

El @druizaguilera ha representat així les solucions òptimes en aquests tres casos:

Així ho vam proposar als alumnes de 1r d'ESO de @escolasadako

MÉS REPTES

• És cert que a mesura que creix la mida de la graella inicial creix la solució òptima?
• És cert que si la graella inicial és de nxn, la solució òptima és menor o igual que n?

Podeu trobar un recull de solucions més informació sobre el problema aquí, aquí i aquí. En aquest últim enllaç trobareu aquest vídeo de Numberphile:




Al nostre blog tenim altres dos posts en els quals relacionem matemàtiques i art:

• en un d'ells analitzem els quadrats màgics que apareixen en les obres de Durer i Subirachs.
• en l'altre aprofitem les escultures d'Oldemberg per treballar la proporcionalitat geomètrica.

Pràctica productiva: restes (3)

A l'igual que Pràctica produtiva: restes (2) i a diferència de Pràctica produtiva: restes (1), la tasca sobre la que parlarem en aquest post forma part de l'article de @suma_fespm "Tareas ricas para practicar las restas"

Aquesta tasca està inspirada en el problema anomenat Diffy que ja vam comentar al post Pràctica productiva i pràctica reproductiva però amb una formulació diferent, més propera a l’estudi realitzat pel matemàtic E. Ducci en 1930 que va trobar que sense importar els nombres d’inici sempre s’arriba a quatre zeros (Font: Cut the knot)

Al "Cuaderno de Cultura Científica" la @MartaMachoS ha fet un article sobre "El teorema de Ducci" que ens ha permès conèixer una sèrie molt interessant de referències sobre aquest problema. Entre elles destaquem Carlos D’Andrea y Adrián Paenza, Un cuadrado, cuatro números, Pensamiento matemático vol VIII, no. 1, 71-82.

Farem diagrames amb les normes següents:

• en totes les files hi ha 4 cel·les en cada cel·la, 
• a partir de la segona fila, has d’escriure la diferència entre les dues cel·les que té immediatament a sobre 
• en el cas de l’última cel·la de cada fila la diferència l’has de fer entre el últim i el primer nombre de la fila anterior
• el diagrama acaba quan en tota la fila s’obtenen zeros

Exemple: començant amb els nombres 4, 1, 6 i 2 el diagrama té 5 files

En el context del projecte Problemàtiques alguns mestres del departament col·laboratiu de Matemàtiques de la @FTrams vam proposar a alumnes del cicle superior de Primària que triessin nombres de la primera fila perquè el diagrama tingués la major quantitat de files que puguessin aconseguir. L'activitat va ser un èxit, ja que va engrescar molt als alumnes.

A la següent imatge podeu veure l'anàlisi d'una alumna sobre com afecta l'ordre dels nombres de la primera fila a la quantitat de files del diagrama

En aquesta línia, alguns alumnes van voler analitzar totes les 24 possibles distribucions dels 4 nombres en la fila inicial, sense adonar-se que, per simetries i girs, en realitat només cal estudiar tres distribucions diferents i no més.

Els alumnes als que vam proposar el repte no van aconseguir diagrames de més de 8 files (val a dir que van trobar moltes quaternes diferents que generaven diagrames d’aquesta mida) possiblement perquè a partir de l'exemple, van creure que els nombres inicials havien de ser menors que 10.

El @rbalague11 ens va regalar aquest petit applet per experimentar amb diferents quaternes de dígits!!

Introdueix els quatre nombres inicials (entre 1 i 9)

Nombre de la posició 1:

Nombre de la posició 2:

Nombre de la posició 3:

Nombre de la posició 4:

Però el cert és que, si permetem que a les cel·les vagin nombres majors que 9, hi ha diagrames de tantes files com es vulgui. Per exemple:

• començant amb els nombres 1, 15, 30 i 60 el diagrama té 10 files
• començant amb els nombres 0, 653, 1854 i 4063 el diagrama té 24 files

Altres comentaris:

• Es pot preguntar quin és el diagrama en el que aconsegueixin que hi hagi nombres senars en major quantitat de files. El cert és que a partir de la cinquena fila mai queden nombres senars però es poden triar quaternes en que quedi algun senar fins a la 4a fila (per exemple: 2 4 6 7 → 2 2 1 5 → 0 1 4 5 → 1 3 1 3 → ...) Font: D. Shapiro
• Es pot proposar als alumnes que analitzin el joc quan en lloc de diagrames que tenen 4 nombres per fila en tenen altres quantitats. La conclusió de que sempre s’arriba a tots zeros pot deixar de ser certa Per exemple, per diagrames de 3 nombres per fila es pot entrar en un bucle 1 2 2 → 1 0 1 → 1 1 0 → 0 1 1 → 1 0 1 → 1 1 0 → 0 1 1... Acabem sempre amb el cicle aa0 → a0a → 0aa on a és el mcd dels nombres diferents de zero de la primera fila.
• Es pot demanar als alumnes que comparin un diagrama i el que resulta de sumar, restar o multiplicar a tots els nombres de la quaterna inicial per un mateix nombre.
• Don Steward proposa comprovar que si els 4 nombres inicials estan en progresió aritmètica la quantitat de files és sempre la mateixa (6), investigar què passa quan els 4 nombres inicials són quadrats consecutius, són nombres triangulars consecutius, són termes de Fibonacci, etc o estudiar què passa si a tots els nombres de la quaterna els multipliquem o els sumem un mateix nombre
• Es pot demanar als alumnes que per a la quaterna inicial triïn nombres que no siguin enters. En aquest sentit, a 4t d'ESO de @escolasadako, aquest any vam proposar als alumnos experimentar amb nombres irracionals

Val la pena analitzar que la petita quantitat de files també es dóna quan totes les entrades són irracionals. Aquí veiem l'anàlisi de la situació amb tres irracionals:

A la dreta apareixen les aproximacions decimals dels valors de cada cel·la per guiar la decisió de quin nombre és més gran i així decidir si es resta a-b o b-a.

El Josep, alumne del Màster de Secundària (grup 3, curs 18-19) ho va comprovar utilitzant els quatre irracionals més famosos

El Sergio B. (@magiaymates) es va preguntar: I per què no aplicar això per practicar restes de polinomis? Només haurem de decidir que vol dir fer la diferència entre dos polinomis...

A continuació apareix un exemple entenent que fer la diferència entre dos polinomis és fer la resta entre ells en l'ordre que permeti que el coeficient principal (el del terme de major grau) del resultat sigui positiu.

Els alumnes de #ESO4SDK (curs 18-19) van practicar la resta de polinomis amb aquesta tasca:

Una altra direcció d'ampliació d'aquesta tasca és l'estudi del mateix problema quan es canvia la quaterna inicial per una quíntupla: