Una vegada més advoquem per no confondre una operació amb el seu algorisme. No és el mateix saber dividir que saber executar l'algorisme tradicional de la divisió i podem treballar la noció d'arrel quadrada a l'aula de primària sense ni esmentar l'algorisme estandard de l'arrel quadrada que va traumatitzar a alguns alumnes del segle passat, i que la majoria vam aprendre sense entendre per què funcionava.
A l'igual que per altres operacions que ja vam comentar en posts d'aquest blog, l'algorisme estandard no és l'únic i, encara que eficient (en temps en que no existien calculadores era un procediment eficient per fer el càlcul) probablement, és un dels algorisme menys transparents que podríem haver estudiat. Recomanem efusivament la sèrie de posts sobre algorismes de l'arrel quadrada escrits pel Joan Jareño en el seu blog
En el nostre blog també vam tocar aquest tema en un post anomenat Jocs i pràctica del càlcul: golf on defensavem la possibilitat d'apropar-nos al concepte d'arrel quadrada d'un nombre a partir de l'estimació.
Avui volem afegir a aquestes reflexions un vídeo gravat en el context del mòdul 2 del curs ARAMAT durant la sessió dedicada a nombres decimals
D'aquesta sessió volem destacar més enllà del que es veu al vídeo
l'ús de l'applet que apareix a la imatge per introduir la noció de lupa que ens permet la densitat dels nombres decimals
la relació entre el valor obtingut per aproximacions successives en un procés que pot ser tan llarg com vulgem i el nombre que veiem en la pantalla d'una calculadora quan li demanem l'arrel quadrada d'un nombre.
Ja fa temps, en una trobada molt interessant amb la gent de l'Escola Miquel Martí i Pol de Barberà del Vallès,vàrem parlar del domini necessari de les habilitats bàsiques, en aquest cas concret les descomposicions del 10. Van sortir idees interessants a la conversa, que finalment hem decidit escriure en el present post, ampliant el tema a les sumes fins a 20.
Suma de dígits
Les sumes de dos nombres més petits que 10, són molt interessants des del punt de vista dels inicis del càlcul, ja que es treballen les primeres estratègies. Per comptar quants cubets hi ha en total, si ajuntem dues col·leccions: una de 3 i una de 6 cubets, tres de les estratègies utilitzades per nens petits són:
començar pel primer: comença per "encapsular" el tres (el primer sumand) i continua comptant amunt: 4, 5, 6, 7, 8 i 9
començar pel més gran: sap que 3+6 és el mateix que 6+3, "encapsula" el sis i continua comptant amunt: 7, 8 i 9
També pot passar que algun alumne pensi que 3+6 és el mateix que 5+4 que pot ser un resultat que sàpiga de memòria perquè sap que cinc dits d'una mà i quatre d'altre és el que fa servir per representar el nombre 9 amb els dits. Això ens indica que l'alumne entra en la fase de derivar fets, és a dir "cridar" a un fet conegut per solucionar un fet del que no s'està completament segur.
Organitzar les sumes de dígits:
Seria bo establir un dispositiu de cara al mestre que aprofiti aquestes primeres estratègies emergents i que destaqui el treball de derivar fets de manera organitzada:
Partint de les estratègies naturals dels alumnes mitjançant el plantejament de situacions "riques" i contextualitzades que promoguin l'ús d'estratègies personals
Passant de comptar-los tots a començar pel primer
Introduint l'estratègia començar pel més gran
Identificant els primers "fets coneguts"(sumes de les que l'alumne pot dir el resultat "de cap")
Fomentant la deducció de nous fets a partir dels fets coneguts: "fets derivats", establint connexions entre els que ja pot dir "de cap" i el que encara no (fase d'automatització de les sumes de dígits)
Els tres primers punts són força coneguts per tothom, però la mentalitat dels dos últims, en el que recolza la memorització en la deducció és la clau de volta per a un aprenentatge intel·ligent. Cal dir que aquesta estratègia de deduir fets, hi ha força alumnes que l'apliquen de manera natural però aquí estem parlant de explicitar aquesta estratègia, discutir-la amb els alumnes i fomentar-la en l'aula.
L'objectiu és que els alumnes passin de calcular comptant a calcular sense comptar.
Un dispositiu com el que ens interessa, que ens dona pistes per organitzar aquests aprenentatges, podria ser el següent:
Sumes +1 i +2
És important que l'alumne identifiqui "sumar 1" amb "dir el següent" i "sumar 2" amb "dir el següent del següent".
Sumes fàcils fins a 10
La part pintada de carbassa correspon a "sumes fàcils fins al 10 amb el gran al davant", un tipus de suma a les que hem de donar molta presència en la nostra aula.
Un cop apreses aquestes sumes, la part lila es pot aprendre deduint fets: 3+7 a partir de 7+3, per exemple.
Sumes dobles i quasi dobles
L'aprenentatge dels dobles (en verd) forma part dels aprenentatges bàsics. Amb aquesta base, els alumnes poden deduir els "quasi dobles" (en lila). En aquest sentit, val la pena veure de nou el vídeo que Carme Barba va gravar amb alumnes de 6 anys, alguns dels quals fan servir aquesta potent estratègia.
Sumes amb resultat 10 i més gran
La part taronja correspon a sumes de resultat 10, un conjunt de sumes per a les quals l'agrupació dels dits de les dues mans són el suport fonamental.
La part pintada de lila pot ser resolta per "fets coneguts-fets derivats".
L'estratègia fonamental per a aquestes deduccions és l'anomenada "pas pel 10" que ja havíem esmentat als posts Un material que ensenya i Aritmètica al marge dels algorismes. Per exemple, per sumar 6+8, descomposem el segon sumand en 4+4 (triem aquesta descomposició del 8 perquè a 6 li falten 4 per arribar al 10) i fem 6+4=10 i 10+4=14.
En aquest vídeo de @innovamat_ es veuen alguns exemples d'aplicació d'aquesta estratègia contextualitzats amb oueres de 10
Una estratègia que es pot practicar així:
"Laboratori de nombres" (1r Primària, Innovamat)
Amb targetes que recreen les oueres i fitxes
Com haureu observat, per a moltes de les sumes hi ha més d'una estratègia per fer-la. És molt possible que en arribar a les sumes entre 10 i 20 certs alumnes les sàpiguen fer, sense ajuda, però n'hi haurà que no, i això els portarà a aplicar de nou estratègies conegudes (posar el gran al davant) però no assolides.
Referències:
Torbeyns, J., Verschaffel, L., Ghesquière, P. (2002). Strategic competence: Applying Siegler’s theoretical and methodological framework to the domain of simple addition. European Journal of Psychology of Education, 17(3), 275.
Van den Heuvel-Panhuizen, M., TAL Team. (2008). Children learn mathematics: A learning-teaching trajectory with intermediate attainment targets for calculation with whole numbers in primary school. Sense Publishers.
Estratègies alternatives
Aquest "camí d'assoliment d'estratègies de càlcul" ens pot ajudar molt a crear una bona base pel càlcul, però paral·lelament hi ha un altre punt important, i segurament el més matemàtic de tots: la utilització d'estratègies alternatives o personals. Un exemple seria que per sumar 7+9, un alumne sumés 10 i restés un..."perquè li és més fàcil" Aquests descobriments matemàtics s'han de celebrar! ... sempre que siguin eficaços.
Un altre exemple el tenim en l'estratègia que fa servir l'última nena del vídeo de la Carme Barba esmentat a dalt. Fixeu-vos que en aquest cas la nena ha utilitzat una "estratègia de compensació" buscant un fet conegut (4+3) traient una unitat del primer nombre per a afegir-li al segon.
La pràctica d'aquestes sumes
De vegades entendre la suma solament com a operació a resoldre i no anar més enllà ens tanca maneres de mirar. Podem pensar que la suma és una relació que aglutina els nombres de tres en tres. Així per exemple, el 10 el 3 i el 7 sempre van junts. Aquesta idea es pot representar en un triangle, en el que tapant un dels tres nombres cal trobar el que falta.
Aquesta encapsulació de tres nombres en una terna també presenta idees interessants de cara al treball amb les restes ja que es dona el cas que alumnes que dominin perfectament i amb rapidesa el triangle (14,8,6), sabran que 14-8=6 i 14-6= 8.
Hem de tenir en compte que en practicar aquestes sumes i fomentar l'encapsulació, no es tracta d'anar proposant moltíssimes sumes fins que les aprenguin de memòria sinó de generar un treball on cada alumne es vagi plantejant preguntes com aquestes:
Quines són les sumes que em sé?
Quines les que tinc dubtes? Com puc fer per aprendre-les? Amb quina suma que ja sé puc relacionar-la?
No podem limitar l'adquisició d'aquests automatismes a sessions específiques de càlcul. Cal aprofitar altres activitats, que facin pràctica en un ambient de resolució de problemes. Per exemple, la que vam relatar en el post Construir cases
Tornem al començament
La conversa amb les mestres va ser interessant i desafiant, va plantejar preguntes importants.
En una escola que es treballa per projectes, com es pot treballar l'adquisició d'aquestes habilitats?
Hi caben tasques amb un objectiu específic com l'aprenetatge de calcular sense comptar, que es desenvolupin en paral·lel, fins i tot, anant més enllà en el temps que la finalització del projecte?
Metodològicament, com s'haurien de plantejar aquestes tasques de manera que l'ambient de classe no sigui "diferent" quan fem treball específic matemàtiques? Com podem fer perquè la pràctica d'aquestes habilitats bàsiques no es visqui com a una proposta de tasques per memoritzar sumes? És possible? Des del Puntmat pensem que si, però necessitem discutir-ho amb vosaltres.
A l'entrevista que del Moral, Richter et al. van fer al Dan Meyer, ell descriu els tres moments que caracteritzen aquestes activitats
El primer acte té alguna mena d’estímul visual que genera una pregunta als alumnes de la que es pot donar una resposta estimativa.
Durant el segon acte es dóna als estudiants certa informació que els permeti ajustar la resposta estimativa donada anteriorment.
Finalment, al tercer acte, l’estudiant ha arribat a una resposta i vol saber si és correcta i això no és fa donant un valor sinó envoltat d’una gran recompensa visual.
Convençuts del potencial d'aquest tipus d'activitats en aquesta entrada volem fer una llista d'algunes propostes, tant del mateix Meyer, com de seguidors de la idea com l'Andrew Stadel o el Graham Flechter, que ens han semblat especialment interessants per a les nostres classes.
Wiris és una calculadora, que es pot fer servir online, d'enorme potencial per treballar a l'aula. En aquesta entrada analitzarem únicament la possibilitat de treballar amb nombres de moltes xifres (cosa que no permeten altres calculadores que per nombres de més de unes 10 xifres ja fan sevir notació científica).
Per comentar la potencialitat d'una calculadora que permeti expressar nombres de tantes xifres exposarem un exemple d'una activitat inspirada per un vídeo de Numberphile (Fermat's Last Theorem & Homer Simpson) i una entrada del blog Gaussianos (El último teorema de Fermat y los Simpson) i proposada a alumnes de 3r d'ESO.
L'activitat comença presentant als alumnes l'enunciat del teorema de Fermat amb una imatge que apareix al vídeo abans esmentat i s'els demana que expressin aquest enunciat amb paraules.
Còpia de pantalla durant el visionat del vídeo de Numberphile esmentat abans
Després s'els ensenya una segona imatge corresponent a una escena del capítol 6 de la setena temporada de The Simpsons i s'els demana que expliquin per què aquesta igualtat, si fos certa, contradiria el teorema de Fermat.
Imatge del post del blog Gaussianos esmentat abans
Havent arribat a la conclusió de que no pot ser certa, es proposa als alumnes esbrinar per què hi apareix aquesta igualtat. Es suggereix començar fent els càlculs que allí apareixen amb calculadora:
Resultats obtinguts amb la calculadora del Google però anàlegs
als que s'obtindrien amb qualsevol calcualdora científica de butxaca
Semblaria que els resultats són iguals. Com a mínim, ja veiem que els dos resultats tenen la mateixa quantitat de xifres i que les 8 primeres coincideixen (sobre la novena no sabem si efectivament és un 3 o podria ser un 2 "arrodonit") però com que hi ha moltes xifres que no es veuen es proposa repetir els càlculs amb la Wiris:
O sigui que per sort, per la consistència del coneixement matemàtic, la igualtat que apareix a la sèrie és falsa. A continuació es proposa als alumnes cercar algun argument per justificar aquesta falsetat sense necessitar una calculadora tan específica. Per arribar a aquest argument els proposem classificar els tres nombres involucrats (1782^12, 1841^12 i 1922^12) segons siguin senars o parells i deduir d'aquesta classificació que la igualtat és falsa (no pot ser que un nombre senar i un de parell donin un resultat parell).
Per acabar s'els ensenya una segona imatge corresponent a una escena del capítol 2 de la desena temporada de The Simpsons on torna a aparèixer una d'aquestes igualtats que sembla refutar el teorema de Fermat i es torna a demanar als alumnes que verifiquin que és una igualtat falsa.
La falsetat d'aquesta segona igualtat és una mica més difícil de justificar perquè no només coincideixen la quantitat de xifres dels dos resultats i els 10 primers dígits de les seves expressions decimals sinó que també tenen el mateix últim dígits. Per tant, aquí la classificació de les potències en senars i parells no serveix però es pot verificar fàcilment que els sumands són múltiples de 3 i el resultat no!!
Còpia de pantalla durant el visionat del vídeo de Numberphile esmentat abans
Entrada redactada amb la col·laboració de la Gemma Garcia
El mes passat vaig participar del VII CIBEM (Congreso Iberoamericano de Educación Matemática) a Montevideo. De les moltes activitats interessants en les que hi vaig poder participar (aquí n'hi ha un resum), vull aquí relatar un taller sobre poliòminos presentat per la Patricia Peralta i el José Salvador Carrasco de Bahia Blanca com a part de la sèrie sobre pensament exhaustiu que hem començat aquest curs
Van començar explicant que el terme poliòmino van ser inventat per Salomon Golomb i popularitzat per Martin Gardner
Després van definir els poliòminos com la unió de quadrats de la mateixa mida de manera que cada quadrat de la figura resultant ha de tenir un costat en comú amb un altre quadrat i a continuació van proposar als assistents que dibuixessin tots els tetròminos (poliòminos formats per 4 quadrats) possibles.
En aquest cas l'exhaustivitat requereix prendre decisions. Quina de les dues llistes és completa: la blava o la vermella?
Anomenaré a les peces blaves I, L, T, O i Z i a les peces vermelles I, L, L', T, O, Z i Z'
És interessant aquí fer notar el paper que hi juguen les experiències prèvies i l'ús de materials manipulatius: per persones que hagin jugat al Tetris com a videojoc (per exemple: aquí) la resposta és clarament la llista vermella, però per persones que hagin jugat a la versió de taula d'aquest joc, com que les peces materials permeten manipular-les, veuen innecessari duplicar les peces L, L', Z i Z'.
A continuació van proposar el problema de formar un rectangle amb totes les peces de la llista (ja sigui la vermella o la blava) i encara que va ser força ràpid que els assistents van decidir que era un problema impossible quedava per trobar una demostració d'aquesta impossibilitat. Van suggerir la demostració amb una imatge:
Si vull construir un rectangle amb les 5 peces, tindrà 20 quadrets d'àrea i si pinto aquest 20 quadrets com si fos un tauler d'escacs, 10 serien foscos i 10 serien clars. Tal com es veu a la imatge anterior les peces que he anomenat I, L, O i Z cobririen la mateixa quantitat de quadrets foscos i clars però la peça T no pot fer-ho i per tant amb les 5 peces és impossible construir un rectangle. L'argumentació per concloure que tampoc és possible fer-ho si afegim les peces L' i Z' és anàloga.
També vam treballar amb els llistats de tots els pentòminos i hexòminos. En els dos casos vam acordar treballar amb les listes curtes, o sigui, considerant iguals peces simètriques.
En el cas dels 12 pentòminos vam veure que no només es podia construir un rectangle amb elles sinó que aquest rectangle no era únic.
En el cas del 35 hexòminos van esmentar un altre problema que requereix exhaustivitat: trobar entre ells tots aquells que corresponen al desenvolupament del cub. Allí van esmentar les dificultats que troben els alumnes en aquesta tasca degut a la presència gaire bé exclusiva de desenvolupaments prototípicos en els llibres de text, en especial, el que apareix en el primer lloc de la segona fila en la següent imatge.
Aquesta pàgina presenta un seguit de tests
interactius en els que el els alumnes poden
comprovar en qualsevol moment si la seva resposta és o no correcta. El
test que apareix a la figura és d'opció múltiple amb la particularitat que les
opcions correctes poden anar des d'una fins a totes.
Exemple d'una de les preguntes contestades amb la correcció corresponent
A més d'aquest format n'hi ha d'altres de diferents tipus: de resposta única, d'identificació d'equacions (en la que cal que l'alumne faci l'exercici apart), puzles on cal col·locar una resposta correcta, etc. El llistat de preguntes que planteja el trobem interessant. Aplusclick
És una fantàstica pàgina de "preguntes test" per a tots els cursos i per a tots els camps de continguts. Té l'inconvenient que està en anglès i això amb petits pot ser un problema, però no la desestimeu per això, creiem que és un gran aparador de preguntes que ens pot aportar moltes idees d'activitats.
Presenta preguntes de múltiple opció:
Té l'inconvenient respecte de l'anterior que no queda constància "escrita" de les errades, de manera instantània. De totes maneres ho recull en una "pantalla resum" que es pot guardar fent una còpia de pantalla i que permet localitzar les preguntes mal resoltes de manera ràpida.
Fabrica el teu propi autocorrectiu
El programa blubbr permet, de manera molt fàcil, crear tests a partir de seqüències de vídeo filmades personalment o baixades de la xarxa. Vam preparar aquest per als alumnes de 2n d'ESO i s'ho van passar d'allò més bé. El vídeo triat "Poliedres regulars d'aperitiu" està penjat a Youtube i el seu autor és Francesc Forcada. El programa permet posar el llistat de preguntes cada 20 segons com a màxim.
Primer passa un fragment de vídeo
Al cap de 20 segons cal inserir una pantalla de preguntes. El nombre encerclat amb fons vermell indica el temps que queda per a respondre. Es van guanyant punts a mesura que es van encertant preguntes.
ATENENT QUE BUBBLR JA NO ESTÀ ACTIU, HEM REFET LA PROPOSTA AMB @EDUPUZZLE I LA PODEU TROBAR AQUÍ:
Partim de la idea que desprès de treballar junts, discutir col·lectivament, i entendre les coses des del context, els alumnes assoleixen de diferent manera el tema tractat. Per tancar el procés cal realitzar un treball que indiqui als alumnes i els seus mestres el grau d'assoliment individual del tema tractat. Vist des del punt de mira actual això ha de servir per reflexionar i ser conscients de la millora personal de cadascú. Com diu Neus Sanmartí "no hi ha res més engrescador que tenir la sensació que aprens". L'autocorrecció pot ajudar als alumnes a controlar aquest procés de millora.
Posats en aquest context plantegem la pregunta eterna: els alumnes han de disposar dels resultats dels exercicis? Per què als llibres de text no hi apareixen? A aquesta última pregunta s'hauria d'afegir "al nostre país" ja que, per exemple, el llibre (de text) "La Geometria" de Emma Castelnuovo, a la seva edició de 1970, presenta molts dels exercicis proposats, amb el resultat incorporat.
Con es veu a la imatge tots els problemes menys el 22 i el 23 donen el resultat
Autocorrectius manipulatius
Hi ha una llarga tradició de propostes de materials autocorrectius, des de fa molts anys. I també de nova creació. En presentem un quants: Capses Heinevetter
Podríem dir que la idea d'autocorrecció ha estat present des de fa molt, en poden ser exemples: el treball de Freinet o materials específics que van sortir al mercat a la dècada del 70. "Heinevetter" és un d'aquests materials: unes capses amb taules en que en cada cel·la es proposa una "pregunta", sobre cada cel·la s'ha de posar una peça de puzle que contingui la resposta numèrica corresponent. L'autocorrecció està basada en que les peces encaixen quan les respostes són correctes.
L'exemple de la imatge és de comptatge i identificació de numerals però hi ha una extensa varietat de capses que treballen diferents nivells i aspectes. Més informació: EJE
Capses ARCO
Material força conegut al nostre país, també treballa amb peces que cal col·locar en una base. La diferència està en la dinàmica: els alumnes posen les "peces resposta" sobre la pregunta. Es tanca la capça, se li dona la volta i en obrir per l'altre costat, si les respostes són correctes ha de sortir una sanefa. Si no surt queda clar on estan les equivocacions. Més informació: EJE.
Les dues peces de color mostren la part del darrera que crea la sanefa
Aquesta idea va ser recollida pel @HenkReuling en una sèrie d'applets als que anomena "Mini-loco"
Claus d'aprenentatge ARCO
Enfocades bàsicament a aprenentatges d'habilitats, com per exemple sumes de dígits o taules de multiplicar tal i com s'ensenya en aquest vídeo. En acabar de passar el fil per les solucions correctes, en donar la volta el fil ha de seguir un camí marcat a la part del darrere. Més informació: EJE
Materialització de "Claus d'aprenentatge" realitzada pels
mestres de la Skogsbackeskolan (Karlstad, Suècia)
Autocorrectius actuals
Tot i que fins ara això de l'autocorrecció sembla més aviat un relat històric, no és així. Actualment hi ha propostes noves que continuen sortint al mercat, com per exemple les propostes de "K2 publishers" malauradament, per nosaltres, escrites en holandès. Els tipus d'activitats proposades, són molt interessants en general i responen a la manera de fer actual. Podria ser un bon material per a un racó d'aprenentatge. Us presentem una activitat de "vistes".
Tal com es veu al primer exemple els nombres de les graelles indiquen l'altura de cadascuna de les torres.
L'autocorrecció funciona posant un plàstic transparent vermell als requadres de la dreta i així es visualitza el resultat. Per facilitar la visió d'aquests resultats el material disposa d'un artefacte com el següent. Mireu-ne el funcionament a la imatge.
Autocorrecció com a ambient de classe
Independentment dels materials involucrats l'autocorrecció, el tema està en la decisió de si la integrem o no al funcionament normal de les nostres classes. Imaginem un full d'operacions on l'exercici final fos:
comprova els resultats (amb la calculadora o amb un llistat de solucions adjunt);
marca les errades que has fet;
en un parell d'aquests casos, explica en què t'has equivocat.
Un dels aspectes positius que pot aportar l'autocorrecció és el canvi de dinàmiques: ja no es tractaria de que la mestra reculli la feina i marqui si cada apartat està ben fet o malament, sinó que és el propi alumne qui ho fa i no es queda simplement en trobar els apartats on el resultat no és el correcte sino que ha d'identificar el tipus d'errades que ha comès i decidir si farà de nou aquests apartats o si necessita plantejar algun dubte a la seva mestra. Una feina d'aquest estil podria portar a la substitució de les sessions de classe dedicades a corregir col·lectivament la feina dels alumnes per sessions dedicades a discutir el tipus d'errades més comuns i estratègies per evitar-les.
El post "autocorrectius" no s'acaba aquí us convidem a seguir llegint el paper de les noves tecnologies en l'autocorrecció en el post "Autocorrectius 2" que penjarem en un parell de dies.
