Qui és l'intrús?

Una de les taques amb més èxit durant les trobades de formació de mestres són les QUELIs. Els mestres de seguida veuen el seu potencial per fer parlar als alumnes i intueixen com s'engrescaran els alumnes buscant arguments per defensar les seves respostes. O sigui, les QUELIs són tasques ideals per valorar les dimensions "comunicació i represantació" i "raonament i prova".

Què són les QUELIs?
Per explicar què significa QUELIs o WODB i quines característiques tenen aquestes tasques, per comentar com podem portar-les a l'aula i quines variants hi ha creiem que el millor es remitir-vos al resum de la presentació que van fer @davidobrador i @ccbcnmvd al C2EM 2016:

Exemples de QUELI's
Hi ha exemples per a totes les edats i relacionades amb tots els blocs temàtics. A més de la pàgina "oficial" que recull exemples d'aquestes tasques: http://wodb.ca, a Twitter, sota l'etiqueta #wodb els usuaris comparteixen les que dissenyen ells i les que proposen en les seves aules:

Comentarem la nostra experiència amb tres QUELIs de geometria que vam portar a l'aula

Anomenarem A a l'objecte que està a dalt a l'esquerra, B el que està a dalt a la dreta, C el que està a baix a l'esquerra i D a l'últim

Amb aquesta proposta surten arguments relacionats amb

• els eixos de simetria: B és l'intrús perquè és l'únic que les diagonals són eixos de simetria o C és l'intrús perquè és l'únic que té un únic eix de simetria o D és l'intrús perquè és l'únic que no té cap eix de simetria  
• les diagonals: A és l'intrús perquè és l'únic que té les diagonals iguals tallant-se al punt mig o  és l'intrús perquè és l'únic que té diagonals perpendiculars o C és l'intrús perquè és l'únic que les diagonals no es tallen al punt mig
• els costats: C és l'intrús perquè és l'únic que té tres costats de mides diferents o A és l'intrús perquè és l'únic que té costats perpendiculars o B és l'intrús perquè és l'únic que té tots els costats igual
• els angles: A és l'intrús perquè és l'únic que té tots els angles iguals o C és l'intrús perquè és l'únic que té un angle obtús oposat a un angle agut
• ... 

Aquí també els arguments han estat variats

• A és l'intrús perquè és l'únic acutangle, o l'únic que té com a eix de simetria la diagonal del geoplà
• B és l'intrús perquè és l'únic escalè, o l'únic que té un costat de longitud major que 4
• C és l'intrús perquè és l'únic rectangle o l'únic que la seva frontera només té contacte amb tres punts del geoplà
• D és l'intrús perquè és l'únic que no té punts del geoplà a l'nterior, o l'únic que té un costat de longitud 4

En aquest cas, a més de convidar als alumnes a exposar arguments sobre perquè cadascuna de les figures era "l'intrusa" vam plantejar que pensessin què tenien en comú les peces vermelles, les verdes i sobre tot les blaves. El fet de reconeixer que el mateix color indicava mateixa àrea els va donar nous arguments: C és l'intrús perquè és l'únic que té àrea 9 triangles verds o D és l'intrús perquè és l'únic que té àrea 8 triangles verds.

A la fase final del Fem Matemàtiques 2019 l'organització va proposar als participants com a activitat inicial per formar grups puzzles relacionats amb #QUELIs (a cada participant es lliurava amb la inscripció una imatge que corresponia a la cinquena part d'una imatge major que corresponia a una tasca del tipus "qui és l'intrús?" havien de juntar-se amb la resta de participants que tenien imatges de la mateixa QUELI i entre tots argumentar les quatre opcions)

Tasques riques i Fibonacci

La successió de Fibonacci (una successió en que cada terme és la suma dels dos anteriors) és una font inesgotable de tasques riques. En aquest post comentem tres exemples.

Tasca 1

Aquí tenim un exemple proposat en Cicle Inicial on l'objectiu és practicar de manera productiva sumes en el rang 0-100:

"Laboratori de nombres" (1r Primària, Innovamat)

A diferència del primer apartat de la tasca en que la solució en cada cas és única (encara que les estratègies que demanen no és la misma en els quatre casos)

• a l'apartat 2 es demanen dues de deu solucions possibles (en les primeres dues cel·les es poden col·locar els nombres 1-10. 2-9, ..., 10-1) Val a observar que els cucs generats en col·locar en les dues primeres cel·les 3 i 8 o 8 i 3 no són iguals: 

• a l'apartat 3, el fet de no demanar que l'última anella hagi de tenir al 50 sinó un nombre proper a ell, permet que els alumnes vagin provant i millorant les seves solucions sense sensació de fracàs mentre fan un munt de sumes que és en el fons el que volem practicar.

Aquesta proposta es pot complementar amb les #actrivitats "Cucs de Fibonacci" i "Cucs de Fibonacci acolorits" on es proposa aprofundir en patrons sobre els cucs com el comportament de la cinquena anella quan en les dues primeres hi ha nombres iguals o la distribució de les anelles que contenen nombres parells o senars.

https://innovamat.com/blog/ca/introduccio_actrivitats/

A alumnes més grans o com a tasca d'ampliació els podem preguntar quina relació troben entre l’anella central i la suma de les dels extrems (a la imatge següent es veu una justificació que pot complementar la conjectura que facin els alumnes al respecte)

Tasca 2

Però no cal restringir-nos a successions de 5 termes, aquí tenim un exemple proposat en Cicle Superior on l'objectiu és practicar de manera productiva el càlcul de mitjanes:

Quadern de Matemàtiques 6è (2015, Ed. Barcanova)

La justificació de que la mitjana entre la cel·les n i n+3 és la cel·la n+2 pot ser visual:

I també pot ser visual la justificació de que la mitjana entre la cel·les n, n+1 i n+6 és la cel·la n+4

Tasca 3

Comencem demanant que s'escriguin tots els termes de la successió de Fibonacci (en la seva versió estàndar, o sigui, començant amb 1 i 1) menors que 1000. Pot semblar una tasca molt llarga però ens adonem que no és així: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987

A continuació fem propostes com aquestes:

• verifica que entre aquests nombres només un de cada tres termes és parell, un de cada quatre és múltiple de 3, un de cada cinc és múltiple de 5. Com continuaries aquesta sèrie? 

• divideix cada terme de la successió entre 3 i pren nota dels residus que vas obtenint. Què observes? Què passa si canvies el divisor per un altre nombre (per exemple: 7)? 

Es pot veure que en dividir entre 3 els termes de la successió s'obtenen els residus: 1,1,2,0,2,2,1,0 en bucle. I aquests bucles es poden trobar qualsevol sigui el divisor. El @DavidKButlerUoA va piular imatges que il·lustren aquest fet amb reglets Cuisenaire. Per exemple, el cas del divisor 3:

@DavidKButlerUoA

La xifra final dels nombres que formen la successió de Fibonacci (o sigui, el residu de dividir aquests nombres entre 10) no s'escapen a aquest resultat i també es repeteixen seguint un bucle de longitud 60!! A més unint aquests nombres a mida que apareixen en el bucle es dibuixa un interessant patró geomètric, tal com es veu en aquesta imatge de @panlepan

@panlepan

• verifica la següent afirmació amb tots els nombres de dues xifres: "tot nombre natural es pot escriure de manera única com la suma de termes diferents de la successió de Fibonacci" 

Aquest resultat es coneix com a teorema de Zeckendorf i, a més afirma, que si exigim que no hagi nombres de Fibonacci consecutius la descomposció és única.

Els esquemes de Graham Fletcher

Fa uns dies, vam conèixer a través del sempre ben informat @druizaguilera aquesta sèrie de vídeos de @gfletchy que creiem que val la pena que recollim en un post ja que ens permeten reflexionar sobre la visió global que tenim sobre algunes temàtiques bàsiques de les matemàtiques en primària.

• inicis del comptatge 

Sobre aquest vídeo volem destacar l'ús que fa de les fitxes amb cares de dos colors per treballar les descomposicions dels dígits (minut 6:55)

• suma i resta

En aquest cas ens agraria destacar com utilitza la noció de "separar" per modelitzar la resta d'una manera que el portarà a fer transparent l'algoritme de la resta. (minut 4:50) 

• multiplicació 

Aquí destacarem l'ús que fa de la representació "pictòrica" com a pont entre el treball amb material manipulatiu i la representació simbòlica del treball fet amb el material (minut 3:40)

• divisió 

Deixant de banda que al final del vídeo dedica molt de temps a analitzar situacions que es fan més i més complexes a partir d'augmentar la quantitat de xifres del dividend i del divisor, que podria ser discutible, en aquest cas destaquem l'ús intensiu que fa del model rectangular de la multiplicació per recolzar els repartiments que involucren les divisions (minut 2:10)

• fraccions

A l'anàlisi que fa de l'estudi del significat, equivalència i comparació de fraccions destacarem la representació de fraccions sobre la línia numèrica des d'etapes molt més primerenques que les que acostumem a fer-ho per aquí.

Hi ha més informació sobre el treball de @gfletchy en el seu blog. Entre el seus posts destaquem especialment aquell en el que explica com es fan aquests vídeos.

Avaluar el comptatge 3

Ja vam dedicar dos posts d’aquest blog al comptatge

• En Avaluar el comptatge 1 i en Avaluar el comptatge 2 vam recordar les definicions de comptatge acústic i resultatiu i vam analitzar algunes activitats on es poden observar les destreses de comptatge de col·leccions petites sense interferència dels coneixement que els alumnes tinguin de la representació simbòlica dels nombres. 
• En Inicis del comptatge vam analitzar el desenvolupament de les primeres destreses de comptatge acústic: comptar cap endavant d'un en un, dir el següent d’un nombre, dir l'anterior d’un nombre i comptar d’un en un cap enrere. 

Però aquests dos post estan lluny d’esgotar el tema del comptatge a Cicle nicial de Primària.

• Respecte al comptatge acústic, no vam parlar, per exemple, que després de dominar el comptatge d’un en un, els alumnes també han d’aprendre a comptar cap endavant i cap enrere, de 10 en 10 o de 100 en 100. Destreses aquestes imprescindibles per càlculs mentals del tipus 27+30 recitant: 27, 37, 47, 57. 
• Respecte al comptatge resultatiu, no vam analitzar, per exemple, que els alumnes han d’aprendre a utilitzar la desena com a unitat de comptatge quan la quantitat d’objectes a comptar comença a ser gran.

Ja emprendrem la tasca de completar l’estudi del comptatge en futurs posts, però avui, ens dedicarem a presentar una proposta d’avaluació de destreses de comptatge presentada dins del marc del projecte “123 Count with me” desenvolupat pel “Department of Education and Training” (Australia) en associació amb el laboratori “emlab” de la Facultat d’Educació de la Universitat de Wollongong. Es tracta de dos proves que s’apliquen, cadascuna d’elles, en dos moments del curs i permeten al mestre, no només, determinar el grau de domini de las diferents habilitats de comptatge sinó també valorar els progressos realitzats pel alumne.

Les proves esmentades es titulen “Schedule for Early Number Assessment” i actualment són accessibles des d'aquest enllaç.

Descripció de les preguntes relacionades amb el comptatge a la prova SENA 1: 

• identificació de numerals (preguntes 1-18)
• Es presenten a l'alumne, una a una i en ordre predeterminat, 18 targetes que presenten nombres entre 1-100 (10 d'ells en el rang 1-20) i se li demana que digui de quin nombre es tracta 
• comptatge acústic cap endavant (preguntes 19-29)
• Es demana a l'alumne que comenci a comptar primer a partir de l'1 i després a partir de dos nombres del rang 20-100. És el mestre qui indica a l'alumne quan aturar-se (en el primer cas, després d'haver superat un nombre gran que 20, en els altres dos casos, després que hagin dit 10 o 20 nombres ).
• Es recomana al mestre que s'aturi quan l'alumne trobi dificultats i que prengui nota del nombre al qual va arribar.
• Es demana a l'alumne que digui el següent de 8 nombres seleccionats en el rang 1-100 (4 d'ells en el rang 1-20). 
• Es recomana al mestre que observi si dóna la impressió que l'alumne necessita recitar la sèrie de nombres des de l'1 o si és capaç de dir el següent de manera automàtica.
• comptatge acústic cap enrere (preguntes 30-40)
• Es demana a l'alumne que comenci a comptar cap enrere, primer a partir del 10 i després a partir de dos nombres grans que 10. És el mestre qui li diu quan aturar-se. 
• Es recomana al mestre que no proposi les següents sèries si l'alumne té dificultats amb la primera 
•  Es demana a l'alumne que digui l'anterior de 8 nombres seleccionats en el rang 1-100 (4 d'ells en el rang 1-20) 
• Es recomana al mestre que observi si dóna la impressió que l'alumne ha de recitar la sèrie de nombres o si és capaç de dir l'anterior de manera automàtica. 
•  comptatge resultatiu a "cop d’ull" (preguntes 41-46) 
•  Es presenten a l'alumne, una a una i durant un parell de segons, 6 targetes: en dos d'elles apareix la cara d'un dau, en altres dues, alguns punts (menys de 6) però distribuïts sense seguir un patró ó i en les altres dues, una fitxa de dòmino (amb menys de 10 punts en cadascuna). Es pregunta a l’alumne quants punts veu en cada targeta. 
•  Es recomana al mestre que pregunti, en el cas de les fitxes de dòmino com van trobar la resposta. 
•  comptatge resultatiu (preguntes 47-49) 
•  Es posen sobre la taula unes poques fitxes d'un mateix color i es demana a l'alumne que les compti. 
•  S'allunyen les primeres fitxes, es col·loquen sobre la taula altres fitxes d'un color diferent al de les primeres i es demana a l'alumne que lliuri al mestre un nombre concret d'aquestes noves fitxes. 
• S'ajunten les fitxes que ha lliurat l'alumne amb les primeres que teníem en un costat de la taula i se li pregunta quantes hi ha en total. 

En aquest vídeo podem veure un exemple d’aplicació de la prova SENA 1:

Descripció de les preguntes relacionades amb el comptatge a la prova SENA 2:

•  identificació de numerals (preguntes 3-12) 
• Es presenten a l'alumne, una a una i en ordre predeterminat, 10 targetes que presenten diferents nombres (dos menors que 100 i dos majors que 1000) i se li demana que digui de quina nombre es tracta 
• comptatge acústic (preguntes 13-16) 
• Es demana a l'alumne que comenci a comptar cap endavant de 10 en 10 partint, primer d'un nombre d'1 xifra i després d'un nombre de 3 xifres i cap a enrere, primer de 10 a 10 i després de 100 en 100 partint de dos nombres de tres xifres. És el mestre qui indica a l'alumne quan aturar-se.
• comptatge resultatiu (alguns apartats de la pregunta 19)
• Es col·loca sobre la taula una tira amb 4 punts i es demana a l'alumne que els compti.
• A sota d'aquesta tira es col·loca una altra que l'alumne sap que té 10 punts i es pregunta quants punts hi ha en total.
• A sota d'elles es col·loquen dues tires que l'alumne sap que tenen 10 punts cadascuna i es pregunta quants punts hi ha en total.
• A sota d'elles es col·loquen dues tires, una de les que l'alumne sap que tenen 10 punts i l'altra de 4 punts i es pregunta quants punts hi ha en total. 

En aquests vídeos podem veure exemples d’aplicació de la pregunta 19 de SENA 2:

  

Amb aquestes preguntes es pretén saber on està cada alumne respecte als diferents aspectes del comptatge:

• identificació de numerals
• Reconeix els numerals d'1 a 10? d’1 a 20? d’1 a 100? d'1 a 1000?
•  comptatge acústic cap endavant
• Pot comptar d'1 a 10? Fins on pot seguir?
• Sap dir el següent d'un nombre entre 1 i 10? I entre 1 i 20? I entre 1 i 100? Necessita comptar a partir de l'1 per poder donar la resposta? 
• Pot comptar cap endavant a partir d'un nombre qualsevol? 
• Pot comptar de 10 en 10 a partir d'un nombre qualsevol? I de 100 a 100?
• comptatge acústic cap enrere
• Sap dir l'anterior d'un nombre entre 1 i 10? I entre 1 i 20? I entre 1 i 100? Necessita comptar a partir de l'1 per poder donar la resposta? 
• Pot comptar cap enrere a partir de 10? I a partir d'un nombre qualsevol menor que 20? I d'un nombre qualsevol menor que 100? 
• Pot comptar cap enrere de 10 en 10 a partir d'un nombre qualsevol? I de 100 a 100?
• comptatge resultatiu a "cop d’ull"
• Pot reconèixer quantitats petites a cop de vista sense comptar els elements un a un?
• En el cas de les fitxes de dòmino: pot reconèixer simultàniament tant les dues quantitats que hi apareixen a la fitxa com la quantitat total?
• comptatge resultatiu
• Pot coordinar la seqüència del comptatge acústic amb cada un dels objectes que està comptant? Necessita tocar els objectes per poder comptar-los?
• En el cas de les tires de punts: reconeix a la desena com una unitat i utilitza el comptatge acústic de 10 en 10 per comptar el total de punts?

Les sumes fins a 20

Ja fa temps, en una trobada molt interessant amb la gent de l'Escola Miquel Martí i Pol de Barberà del Vallès,vàrem parlar del domini necessari de les habilitats bàsiques, en aquest cas concret les descomposicions del 10. Van sortir idees interessants a la conversa, que finalment hem decidit escriure en el present post, ampliant el tema a les sumes fins a 20.

Suma de dígits
Les sumes de dos nombres més petits que 10, són molt interessants des del punt de vista dels inicis del càlcul, ja que es treballen les primeres estratègies. Per comptar quants cubets hi ha en total, si ajuntem dues col·leccions: una de 3 i una de 6 cubets, tres de les estratègies utilitzades per nens petits són:

• comptar-los tots: l'alumne compta 1, 2, 3 i continua 4, 5, 6, 7, 8, 9
• començar pel primer: comença per "encapsular" el tres (el primer sumand) i continua comptant amunt: 4, 5, 6, 7, 8 i 9
• començar pel més gran: sap que 3+6 és el mateix que 6+3, "encapsula" el sis i continua comptant amunt: 7, 8 i 9

També pot passar que algun alumne pensi que 3+6 és el mateix que 5+4 que pot ser un resultat que sàpiga de memòria perquè sap que cinc dits d'una mà i quatre d'altre és el que fa servir per representar el nombre 9 amb els dits. Això ens indica que l'alumne entra en la fase de derivar fets, és a dir "cridar" a un fet conegut per solucionar un fet del que no s'està completament segur.

Organitzar les sumes de dígits:
Seria bo establir un dispositiu de cara al mestre que aprofiti aquestes primeres estratègies emergents i que destaqui el treball de derivar fets de manera organitzada:

• Partint de les estratègies naturals dels alumnes mitjançant el plantejament de situacions "riques" i contextualitzades que promoguin l'ús d'estratègies personals
• Passant de comptar-los tots a començar pel primer
• Introduint l'estratègia començar pel més gran
• Identificant els primers "fets coneguts"(sumes de les que l'alumne pot dir el resultat "de cap")
• Fomentant la deducció de nous fets a partir dels fets coneguts: "fets derivats", establint connexions entre els que ja pot dir "de cap" i el que encara no (fase d'automatització de les sumes de dígits)

Els tres primers punts són força coneguts per tothom, però la mentalitat dels dos últims, en el que recolza la memorització en la deducció és la clau de volta per a un aprenentatge intel·ligent. Cal dir que aquesta estratègia de deduir fets, hi ha força alumnes que l'apliquen de manera natural però aquí estem parlant de explicitar aquesta estratègia, discutir-la amb els alumnes i fomentar-la en l'aula. L'objectiu és que els alumnes passin de calcular comptant a calcular sense comptar.

Un dispositiu com el que ens interessa, que ens dona pistes per organitzar aquests aprenentatges, podria ser el següent:



Sumes +1 i +2
És important que l'alumne identifiqui "sumar 1" amb "dir el següent" i "sumar 2" amb "dir el següent del següent".

Sumes fàcils fins a 10
La part pintada de carbassa correspon a "sumes fàcils fins al 10 amb el gran al davant", un tipus de suma a les que hem de donar molta presència en la nostra aula.
Un cop apreses aquestes sumes, la part lila es pot aprendre deduint fets: 3+7 a partir de 7+3, per exemple.

Sumes dobles i quasi dobles
L'aprenentatge dels dobles (en verd) forma part dels aprenentatges bàsics. Amb aquesta base, els alumnes poden deduir els "quasi dobles" (en lila). En aquest sentit, val la pena veure de nou el vídeo que Carme Barba va gravar amb alumnes de 6 anys, alguns dels quals fan servir aquesta potent estratègia.

Sumes amb resultat 10 i més gran
La part taronja correspon a sumes de resultat 10, un conjunt de sumes per a les quals l'agrupació dels dits de les dues mans són el suport fonamental. La part pintada de lila pot ser resolta per "fets coneguts-fets derivats". 

Captura d'una graella interactiva que permet treballar
aquestes sumes (via @StudyMaths)

L'estratègia fonamental per a aquestes deduccions és l'anomenada "pas pel 10" que ja havíem esmentat als posts Un material que ensenya i Aritmètica al marge dels algorismes. Per exemple, per sumar 6+8, descomposem el segon sumand en 4+4 (triem aquesta descomposició del 8 perquè a 6 li falten 4 per arribar al 10) i fem 6+4=10 i 10+4=14.

En aquest vídeo de @innovamat_ es veuen alguns exemples d'aplicació d'aquesta estratègia contextualitzats amb oueres de 10

Una estratègia que es pot practicar així:

"Laboratori de nombres" (1r Primària, Innovamat)

Amb targetes que recreen les oueres i fitxes

Com haureu observat, per a moltes de les sumes hi ha més d'una estratègia per fer-la. És molt possible que en arribar a les sumes entre 10 i 20 certs alumnes les sàpiguen fer, sense ajuda, però n'hi haurà que no, i això els portarà a aplicar de nou estratègies conegudes (posar el gran al davant) però no assolides.

Referències:

• Torbeyns, J., Verschaffel, L., Ghesquière, P. (2002). Strategic competence: Applying Siegler’s theoretical and methodological framework to the domain of simple addition. European Journal of Psychology of Education, 17(3), 275.
• Van den Heuvel-Panhuizen, M., TAL Team. (2008). Children learn mathematics: A learning-teaching trajectory with intermediate attainment targets for calculation with whole numbers in primary school. Sense Publishers.

Estratègies alternatives

Aquest "camí d'assoliment d'estratègies de càlcul" ens pot ajudar molt a crear una bona base pel càlcul, però paral·lelament hi ha un altre punt important, i segurament el més matemàtic de tots: la utilització d'estratègies alternatives o personals. Un exemple seria que per sumar 7+9, un alumne sumés 10 i restés un..."perquè li és més fàcil" Aquests descobriments matemàtics s'han de celebrar! ... sempre que siguin eficaços.

Un altre exemple el tenim en l'estratègia que fa servir l'última nena del vídeo de la Carme Barba esmentat a dalt. Fixeu-vos que en aquest cas la nena ha utilitzat una "estratègia de compensació" buscant un fet conegut (4+3) traient una unitat del primer nombre per a afegir-li al segon.

La pràctica d'aquestes sumes

De vegades entendre la suma solament com a operació a resoldre i no anar més enllà ens tanca maneres de mirar. Podem pensar que la suma és una relació que aglutina els nombres de tres en tres. Així per exemple, el 10 el 3 i el 7 sempre van junts. Aquesta idea es pot representar en un triangle, en el que tapant un dels tres nombres cal trobar el que falta.

Informació al post:Triangles aritmètics 1 (descomposició de dígits)

Aquesta encapsulació de tres nombres en una terna també presenta idees interessants de cara al treball amb les restes ja que es dona el cas que alumnes que dominin perfectament i amb rapidesa el triangle (14,8,6), sabran que 14-8=6 i 14-6= 8.

Hem de tenir en compte que en practicar aquestes sumes i fomentar l'encapsulació, no es tracta d'anar proposant moltíssimes sumes fins que les aprenguin de memòria sinó de generar un treball on cada alumne es vagi plantejant preguntes com aquestes:

• Quines són les sumes que em sé?
• Quines les que tinc dubtes? Com puc fer per aprendre-les? Amb quina suma que ja sé puc relacionar-la?

No podem limitar l'adquisició d'aquests automatismes a sessions específiques de càlcul. Cal aprofitar altres activitats, que facin pràctica en un ambient de resolució de problemes. Per exemple, la que vam relatar en el post Construir cases

Tornem al començament
La conversa amb les mestres va ser interessant i desafiant, va plantejar preguntes importants.

• En una escola que es treballa per projectes, com es pot treballar l'adquisició d'aquestes habilitats?
• Hi caben tasques amb un objectiu específic com l'aprenetatge de calcular sense comptar, que es desenvolupin en paral·lel, fins i tot, anant més enllà en el temps que la finalització del projecte?
• Metodològicament, com s'haurien de plantejar aquestes tasques de manera que l'ambient de classe no sigui "diferent" quan fem treball específic matemàtiques? Com podem fer perquè la pràctica d'aquestes habilitats bàsiques no es visqui com a una proposta de tasques per memoritzar sumes? És possible? Des del Puntmat pensem que si, però necessitem discutir-ho amb vosaltres.

Onze pomes

Vam conèixer aquest joc a les jornades sobre materials manipulatius i jocs que està organitzant la UAB per celebrar els 25 anys de la Facultat de Ciències de l'Educació.

Gaire bé en simultani vam escoltar al Jordi Deulofeu parlant d'aquest joc en el programa sobre "Aprenentatge i Joc" de DEUWATTS (Btv)

Es tracta d'un joc dissenyat per Juan Carlos Pérez Pulido que s'ha comercialitzat amb noms com "22 pommes" o "11 Äpfel". Les seves regles de joc estan descrites aquí en francès:

Aquí les trobareu en català. I aquí en castellà. Com veieu es tracta d'una manera fantàstica de practicar les descomposicions de l'11, al mateix temps que es desenvolupen estratègies de joc.

El podem materialitzar amb un click i cubets encaixables: quatre torres de 5 cubets verds, quatre torres de 5 cubets vermells, tres torres de 3 cubets verds, tres torres de 3 cubets vermells, dos torres de 2 cubets verds, dos torres de 2 cubets vermells, tres cubets verd i tres cubets vermells.

Construir cases: descomposicions del 10

Les descomposicions del 10 com a suma de dos nombres és un contingut fonamental a finals d'infantil i a primer de primària atès que, conjuntament amb les sumes de dígits juguen un paper importantíssim en els primers càlculs. Però anant més enllà de la mera pràctica d'aquesta destressa i treballant en un ambient de resolució de problemes, podem fer activitats espectaculars, com, per exemple, aquesta: 

Volem fer una maqueta d'un barri, on cada cubet representa una casa (o pis). Tenim 10 cubets i la pregunta és la següent:

Poden començar per  un barri d'una sola torre de 10 cubets i preguntem si a algú se li acut un altre disseny d'aquest barri? Pot passar, amb certa facilitat,  que algun alumne en faci un de dos torres de cinc cubets cadascuna, però no podem admetre aquesta solució ja que no n'hi pot haver dos torres iguals. Ara ja queda clar l'enunciat del problema, a partir d'aqui, a treballar! Algunes respostes podrien ser una de 8 i una de 2, o una de 7, una de 2 i una de 1, etc.

Diem que és una activitat de pràctica productiva, ja que a més de treballar un objectiu de pràctica n'incorpora un de treball sistemàtic, o de pensament exhaustiu. Han de sorgir preguntes que els guiïn cap a aquests tipus de pensament: ens en falta algun? com ens organitzem per saber que no n'hi ha cap de repetit?

La idea original està treta de la pàgina MathPickle, concretament d'aquest vídeo fantàstic on ho treballen col·lectivament i "contrarellotge"

http://youtu.be/ImkJEi2aQ80

Pel que fa al pensament sistemàtic, i ara ens en aniríem a cicle mitjà, un cop entès el problema i fet manipulativament, per assegurar que no ens en deixarem cap, hem de reflexionar, identificar alguna estratègia, i potser "cridar al món del símbols".

Discutint  podem arribar a identificar dues estratègies diferents.

a) Començar per el cas d'una sola torre, després buscar totes les possibilitat que es poden fer amb dues torres, amb tres, etc.

b) Ordenar numèricament començant per la torre més alta: quantes solucions diferents puc fer amb una torre de 10? (una). I amb una torre de 9? (una). I amb una torre de 8? (una). I amb una torre de 7? (dues: 7+3 o 7+2+1), etc...

Les imatges anteriors són captures de pantalla del vídeo

Però encara no hem tancat: Com sabem que hem acabat? No podem fer cap "barri" que tingui cinc grups de cases? Per què?

Què passaria si tinguessim 12 cubets?

Pensem que és importantíssim que els mestres de cicle mitjà comencin a treballar aquests aspectes que entren de ple a anar estructurant el pensament matemàtic dels nostres alumnes.

Un problema anàleg a aquest, en el sentit que requereix suma de dígits i pensament exhaustiu,  apareix explicat al final del post "Triangles aritmètics (1). Descomposició de dígits" en dos formats: "caputxeta vermella" i "repartiendo pastelitos".

Inicis del comptatge

Comptatge acústic

S'anomena "comptatge acústic" a aquell en el que els nens aprenen a recitar la sèrie 1,2,3,4,5,6,... per distingir-lo del comptatge resultatiu al que, anteriorment, havíem dedicat dos posts, és a dir al tipus de comptatge que es fa (de fet és el que en diem "comptar")  quan els demanem que ens diguin quants cubets hi ha a sobre de la taula, o que agafin el número de clicks necessari per omplir un vehicle  que està en un altre lloc de la classe sense que en falti ni en sobri cap.Més informació aquí i aquí.

Aquest procés de comptar objectes implica posar en funcionament dues habilitats a la vegada : mentre es recita la sèrie numèrica cal anar assenyalant coordinadament amb dir el número de la sèrie (comptatge acústic) procés en el que moltes vegades cal enretirar l'objecte comptat per així no comptar-lo dos cops.

Reflexions sobre la introducció del comptatge acústic

Comptar cap endavant d'un en un i dir el següent
Comptar endavant és la primera habilitat necessària per a poder determinar quants objectes hi ha en una col·lecció determinada. El procès de recitar  la seqüència de nombres es comença a educació infantil, i continua a primer, fent jocs o activitats que ajudin a  interioritzar la sèrie 1, 2, 3, 4, 5,etc

Un exemple el tenim en la primera activitat del 3x6.mat de primer curs, on es planteja recitar la sèrie acompanyant-la de moviment corporal.

Captura de 3x6.Mat (Editorial Barcanova, 2005)

 Una activitat que mantenim vigent en noves propostes

Captura de Laboratori de Nombres (InnovaMat Education, 2017)

Un cop els alumnes tenen un cert domini, cal proposar-los que diguin quin és el següent d'un nombre, diferent del 1,  o que recitin una seqüència curta començant per altres nombres

Dir l'anterior i comptar enrere
La seqüència inversa, comptar endarrere, comporta força més dificultat. Una habilitat, en principi fàcil, com "dir l'anterior", és molt més complicada del que sembla.
Potser, si només demanem aquesta qüestió per escrit no ens en adonarem ja que la respondran bé, però si la pregunta és oral veurem que hi ha alumnes que tarden força a contestar, ja que, per exemple, si han de dir quin és l'anterior del 13 (o el que va abans del 13) i els demanem que diguin en veu alta el que pensen, és probable que la resposta sigui: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13... el 12! Tenim algun vídeo de nens que fan això però no el podem posar  per respectar els drets d'imatge. Si coneixeu algun vídeo penjat a la xarxa, i els el voleu enviar, el penjarem en aquest post.

Això ens porta a plantejar que a diferència del comptar endavant, la seqüència en aquest cas hauria de començar per primer dir l'anterior d'un nombre, i posteriorment comptar endarrere, just al revés que fèiem per comptar endavant: primer recitar la sèrie  i després preguntar el següent d'un nombre.

Per acabar: és possible que algunes de les dificultats (manca de velocitat) en l'algorisme de la resta com, per exemple, fer el càlcul 9-2 vingui donada per la falta d'aquesta habilitat,encara que en aquest cas, el millor és que canvii l'estratègia i compti cap endavant enlloc de cap enrere de 2 a 9 o, millor encara, el treball amb els triangles additius (+ informació)

En aquest vídeo de @innovamat_ trobareu algunes altres reflexions al respecte de l'inici del comptatge:

https://youtu.be/D13K0v5d_2s 

Un applet
Vam conèixer aquest applet a la molt interessant, encara que ja inactiva, pàgina "Count Me in Too" L'alumne triava una carta que es girava mostrant un nombre (en el cas de la imatge el 5) l'ordinador "pronunciava" el nom del nombre. Posteriorment, l'alumne havia de dir quin era el número posterior i comprovar-ho (l'ordinador deia el nom del següent en anglès, italià o mandarí). Immediatament després, se li preguntava per l'anterior.

Celebrem els 200 posts parlant dels origens del PuntMat

Estem de celebració: el post anterior va ser el número 200, però també celebrem un aniversari: aquest curs fa 10 anys que vàrem publicar una col·lecció de quaderns d'Aritmètica seguint les idees dels holandesos de l'Institut Freudenthal en el seu llibre "Children Learn Mathematics".

El seu nom va ser 3x6.mat (sis cursos, tres quaderns per curs i el ".mat" que va donar origen al nostre nom "PuntMat"). Volia ser una proposta de llibre alternatiu d'Aritmètica des de primer a sisè. Actualment tot i que estan pràcticament descatalogats, (no és fàcil trobar-los) ens fa il·lusió pensar que ja fa 10 anys que estem parlant d'algorismes basats en nombres i no en xifres, flexibilitat al càlcul, models estructuradors (collarets, graella del 100, diners...), càlcul en columnes etc. i que poden ser un instrument útil, encara per gent que s'inicii en aquesta mentalitat.

Us convidem a una visita guiada en 18 "postals" (3 per curs) perquè tingueu una idea del seu contingut. 

PRIMER DE PRIMÀRIA

Tipologia de problemes additius

Quadern 1 pàgina 23

Segons Carpenter, una de les classes de problemes additius són els de canvi (o transformació). L'activitat anterior és un exemple paradigmàtic d'aquest tipus de problemes, recrea un viatge d'autobús "Hi ha 9 persones en l'autobús, en baixen tres. Quantes queden a l'autobús? La proposta demana fer el problema manipulativament i l'objectiu és fer la transcripció simbòlica: identificar  9 - 3 = 6 amb "si n'hi van 9 i en baixen tres al final en queden 6". Més informació aquí. Fins i tot hi ha vídeos que plategen problemes amb autobusos: aqui

Comptatge acústic

Quadern 2 pàgina 11

Els tallerets són unes mini-activitats que encapsulen aproximadament la meitat de les pàgines dels quaderns de primer, curs en el que cal fer moltes activitats curtes d'adquisició d'habilitats

 Dir l'anterior d'un nombre no és gens fàcil. Entre les primeres habilitats de comptatge hi ha el comptar endavant i endarrere d'un en un, i també la de dir l'anterior i el següent, habilitat que no és tan immediata com pot semblar a primera vista. 

D'entrada algú que no hagi treballat amb nens i nenes d'aquestes edats veient que saben comptar endavant i endarrere, i que diuen el següent d'un nombre amb tota facilitat, pot pensar que si demana  l'anterior passarà igual. 

Si els fem fer l'activitat contestant sobre un paper no ens adonarem, però si els ho preguntem és molt possible que alguns nens tardin molt en donar la resposta. Si els demanem que diguin com ho compten per dir l'anterior de 13, veurem que el que fan és començar per l´ú anar fins el 13 i aleshores tirar endarrere i dir "12". Saber dir l'anterior és important sobretot quan els toqui solucionar problemes de resta.

La graella del 100

Quadern 3 pàgina4

La graella del 100, un dels recursos molt utilitzats en aquests quaderns ja que es aacompanya a identificar unitats i desenes de manera estructurada, a CI,  a estudiar els múltiples a CS, passant per les multiplicacions a CM.

En aquesta activitat, es treballen dos aspectes: escriure l'anterior i el següent d'un nombre i trobar quin nombre va a cada color.

Les estratègies per solucionar la segona part de la tasca poden ser diverses: per exemple, per fer el requadre vermell, poden partir del 49 i fer 49 i 59, 69 i després dir l'anterior: 68 o poden sortir del 75 i fe 65,66 etc del 30 etc. L'objectiu de càlcul és treballar el comptatge acústic d'un en un i de deu en 10 endavant i endarrere. Més informació aquí i aquí.

SEGÒN DE PRIMÀRIA

Pràctica individual d'habilitats 

Quadern 4 pàgina2

L'objectiu d'aquest tipus d'activitat és Informar als alumnes i als seus pares sobre el què es treballarà de pràctica. Això permet que els alumnes s'assabentin  que els va bé i en que van més fluixos.

Aquest tipus d'activitats surten dos cops a cada quadern, de primer a tercer curs,  a la pàgina 2 i 14. Això implica que funciona com a avaluació inicial o presentació de continguts, en començar i quan s'està a la meitat del quadern.

La línia numèrica buida

Quadern 5 pàgina 4

L'ús de models estructurats com la recta numèrica ens permet, treballar habilitats bàsiques: comptar de 10 en 10 i de 5 en 5, estratègies de càlcul per exemple per arribar a 59 poden fer cinc salts de 10, un de 5 i quatre d'1, però també sis salts de 10 i tirar enrere un. Aquesta és l'anomenada estratègia de salts que permet "fer sumes" amb altres instruments que no siguin els algorismes. Més informació aquí.

Estimació

Quadern 6 pàgina 5

Tenim aquí un exemple d'activitat en la que el càlcul mental ve acompanyat de certa capacitat de decisió. Per exemple, per decidir si 59+41 és més gran, igual o més petit que 100 cal afinar, però amb 34+30 no cal fer la suma. Amb quines parelles de nombres passaria això? per què? i en les restes?. Més informació aquí.

TERCER DE PRIMÀRIA

Les taules de multiplicar

Quadern 7 pàgina 10

Si durant el procès d'aprenentatge de les taules de multiplicar, ens fixem en les tècniques de memorització que utilitzen de manera natural els alumnes que avancen més, veurem que molts cops apliquen una estratègia que anomenem "fets coneguts - fets derivats". Si partim que els alumnes ja saben la taula del 10 i han de calcular 7x9, per exemple, poden pensar si 10 grups de 7 són 70, nou grups seran 70-7. Raonaments com aquests els obra la porta a seva memorització. Més informació sobre taules aquí, aquí, aquí i aquí.

Estratègies alternatives

Quadern 8 pàgina 6

A partir de dos personatges es discuteix  la confrontació entre les seves  (als que podríem anomenar l’algorísmic i el "gandul"), o sigui el que busca la manera més eficaç de fer-ho per promoure l'ús d'estratègies alternatives eficients. Per poder fer el gandul, cal dominar les Mates.

Propostes als pares i mares

Quadern 9 pàgina 2

Convidar als pares i mares a fer activitats que no representin "ensenyar-los res" sinó plantejar reptes, que molts cops tenen la particularitat que impliquen a tota la família, des del punt de vista que d'entrada ningú té la solució.

En aquest cas es tracta de triar, entre les cartes de l'1 al 9 quatre nombres i utilitzant-los tots quatre, sumant restant multiplicant o dividint aconseguir el nombre 24.. Per exemple amb 1,2, 3 i 4 una solució podria ser 3x4x2x1, i amb 2,3,5 i 7,  7x3+5-2. Ideal per a un viatge avorrit en cotxe: apuntar la matricula del cotxe del davant i mirar d'aconseguir el 24 amb els seus 4 nombres, a veure qui dels viatgers ho troba.

QUART DE PRIMÀRIA

Construcció dels algorismes

Quadern 10 pàgina 24

Ens els últims quatre anys s'ha parlat molt del fet de portar a les classes els algorismes basats en nombres, com a un contingut més a treballar, endarrerint la presentació dels algorismes estàndard. En relació a això, en el plantejament del 3x6.mat optem per el "càlcul en columnes". La proposta és  que tots els alumnes dominin aquest tipus d'algorisme i endarrerir la presentació dels estàndard. Aquest full és la introducció a la divisió en columnes.

La il·lustració que acompanya  a l'explicació no és gratuïta: la construcció grupal ajuda a la transparència, es a dir a entendre a fons cada pas que realitzen. Podeu trobar més informació sobre el tema de la construcció aquí

Pràctica productiva

Quadern 11 pàgina 25

A l'hora de exercitar algorismes, normalment s'acostumen a proporcionar fulls d'operacions, activitats que tenen una dinàmica passiva. En plantejar un treball en grup en el que cal resoldre un "problema" com l'anterior, fer divisions forma part del procès: Però no és l'objectiu. L'objectiu és resoldre el repte.

Si demanem al final si han fet servir alguna estratègia, poden sortir respostes com, en el cas del 723, per exemple, "provo primer amb el 7 al divisor  ja que amb el 2 solament pot ser l'1 o el 2.  

Més  informació sobre aquesta activitat en concret aquí

 Minilliçons

Quadern 12 pàgina 30

Minilliçons són  aquelles activitats que promouen l'ús de fets derivats: deduir el resultat d'una operació a partir d'una ja resolta.  Implica entrar a manejar  propietats de les operacions, sentit numèric, etc. i així aprofundir en el coneixement dels nombres, les seves propietats i les estratègies implicades.

S'avisa amb un llamp quan l'exercici és complicat. Activitats així potencíen "que parlin ells" quan han d'explicitar  el raonament que els ha portat a solucionar la tasca.

Més informació aquí i aquí.

CINQUÈ DE PRIMÀRIA

Acotar i estimar

Quadern 13 pàgina 30

En aquesta activitat, un altre cop, el "que parlin ells" es potencia. Per exemple: en el cas del 439x3: 

• "Arrodonint per baix 400x3= 1200 per tant serà més gran que 1200"   
• "arrodonint a per dalt 132 x 5 farem 200x5 = 1000. 
• Per tant 132x5 serà la més petita. Ho comprovem amb la calculadora
  

Calculadora trencada

Quadern 14 pàgina 12

Sota aquest nom hi entra un tipus d'activitats en la que l'argument principal és que disposem d'una calculadora que té algunes tecles que no funcionen. Això genera el problema que per calcular una operació, necessito trobar un camí alternatiu. Com resoldre el problema?
 Per exemple en el cas de 36 x 374 una sortida seria multiplicar per 18 i per 2, o per 72 i dividir per dos, o multiplicar per 35 y sumar 374.
Trobareu informació aquí. Val a dir que en aquest cas els applets ens fan un gran servei i hi ha un bon recull d'aquest tipus de calculadores al nostre blog d'applets.

Ús del context 

divisió amb decimals

Quadern 15 pàgina 31

 La presentació de continguts o procediments nous en cursos elevat, es continua plantejant sota la filosofia del "càlcul en context",  és a dir plantejar una activitat que els alumnes puguin resoldre, aplicant  els seus coneixement, dona una base sòlida per posteriorment passar al món del símbols.

En aquest cas el contingut a treballar és "treure decimals en una divisió" on enlloc de explicar quan i com posar la coma, es comença per resoldre una situació en context: repartir 10€ entre 4 moneders manipulativament veure que dóna 2€ i 50 cèntims: 10:4=2,50, i a partir d'aquí s'anirá  avançat  progressivament  cap el camp simbòlic, a psrtir de converses a classe.

 SISÈ DE PRIMÀRIA

Càlcul ràpid

Quadern 16 pàgina 30

Les sèries de càlcul ràpid, com per exemple les del Quinzet, presenten l'avantatge que es realitzen una quantitat important d'operacions en un període de temps curt: Es centren en càlculs bàsics i taules de multiplicar o "de dividir". 

En el 3x6.mat,  es presenten en dos fulls per quadern, a l'apartat d'avaluació, amb un canvi important:  augmenta la mida dels nombres, proposant operacions com, per exemple, 341+104 o divisions tipus 12:5, en les que cal donar quocient i residu. 

A sisè els dos fulls es diferencien. El primer, que segueix la idea de cinquè es titula "Rapidesa d'operacions: les de sempre"  i l'altre, "Rapidesa d'operacions: coses noves" on  s'amplia el camp i es fan: sèries de fraccions d'una quantitat, divisibilitat, tants per cent, sumes i restes de fraccions senzilles, trobar fraccions equivalents, divisibilitat, ordenar fraccions, ordenar decimals etc

Algorismes històrics

Quadern 17 pàgina 24

Hi ha una idea generalitzada sobre el caràcter únic de l'algorisme amb el que es resolen els càlculs aritmètics. Però es tracta d'una idea equivocada, els algorismes varien segons el lloc i l'època. Pel que fa al lloc, un exemple molt proper el tenim en la resta portant-ne, en el que molta gent afegeix les que es porten en el subtrahend, mentre que a la majoria de països la treuen del minuend. L'algorisme de la multiplicació  a Cuba o Alemanya és diferent al que utilitzem en el nostre país, un exemple el trobareu aquí.

Pel que fa a l'època, en els quaderns hem recollit algun exemple d'algorismes antics per posar de manifest aquest fet

Per més informació podeu consultar "Barba, D. Calvo,C: Algoritmos antiguos de càlculo. Cuadermos de pedagogia 421, març 2012

Explicitar processos

 

La figura del robot és utilitzada per a promoure activitats de comunicació: el robot és molt útil, però no pren decisions.  necessita que li escriguin  les instruccions precises perquè faci de manera correcta el que se li demana. Per tant cal "afinar molt" les instruccions. Creiem que és un bon aliat per que parlin ell@s, i va apareixent de volta en quan en algunes pàgines.

Comiat

Esperem que aquestes 18 postals us hagin acostat a aquest país nostre anomenat 3x6.mat. Qualsevol comentari o aportació ens ajudarà a tancar aquest desé l'aniversari