El residu si importa (2na part)

Ja en dos posts haviem parlat de la importància que té per a nosaltres que els alumnes mirin i analitzin el residu de les divisions: Jocs i pràctica de càlcul i El residu si importa (1a part). En la mateixa línia podem proposar algunes minilliçons en que a partir del resultat d'una divisió els alumnes han de trobar el resultat d'una altra:

El proper exemple apareix en el quadern 12 de Barba i Calvo (2005) 3x6.mat Ed. Barcanova 

I aquest en el quadern 15:

A més d'aquestes minilliçons, en aquest post, pretenem complementar la idea bàsica de donar importància als residus proposant una sèrie d'activitats en que mentre els alumnes practiquen divisions, els convidem a posar la seva atenció al residu de les divisions fetes

Divisions entre 9

• Amb tots els nombres del 1 al 9 i fent servir un cop cada dígit forma tres nombres, suma'ls i divideix el resultat entre 9. Torna a fer-ho amb altres nombres. Què tenen totes aquestes divisions en comú? 

Exemple: 45+612+9378=10035; 10035:9=1115r0
Resposta: Totes les divisions tenen en comú el residu que sempre dóna 0
Comentaris: es pot demanar als alumnes que trobin el menor i el major quocient possible (147+258+369):9=86 i (9876543+2+1):9=1097394
Font: http://nrich.maths.org/92

Divisions entre 4

• Tria diferents nombres acabats en 73 divideix-los entre 4, què tenen totes aquestes divisions en comú? Es manté la conclusió si tries diferents nombres acabats en 82? 

Exemple:

Resposta: tots els nombres acabats en les mateixes dues xifres en dividir-los entre 4 donen el mateix residu.
Comentaris: es pot demanar als alumnes que canviïn el divisor 4 per 3 o 5 i observin que el fet de ser divisions entre 4 i no entre un nombre qualsevol és bàsic.

Divisions entre 3

• Escriu tots els nombres de tres xifres possibles amb els dígits 2, 3 i 5. Divideix-los entre 3, què tenen en comú les sis divisions? Es manté la conclusió si tries altres 3 dígits? 

Exemple:

En aquesta conclusió s'aprecia la importància de que ho facin amb altres ternes de nombres abans
d'escriure la conclsuió final que passarà a ser "Tenen en comú que el residu a totes és el mateix"

Resposta: canviar l'ordre de les xifres del dividend no afecta el residu quan la divisió es fa entre 3
Comentaris: es pot preguntar als alumnes si es manté la conclusió si les divisions són entre 4 o ente 5.

• Tria un nombre i posa’l a la cel·la blava, multiplica’l per 4 i posa’l a la cel·la vermella. Fes les dues divisions Repeteix el procediment començant per altres nombres. Què hi observes? 

Exemple: triant 356, 356:3=118r2 i 1424:3=474r2
Resposta: el residu de les dues divisions sempre és el mateix
Justificació: la diferència entre els valors de les dues sèries és un múltiple de 3 i per tant, la distància dels dos nombres col·locats a les cel·les vermella i blava al múltiple de 3 més proper és la mateixa.
Comentaris: es pot demanar que a la cel·la vermella es col·loqui el valor de la cel·la blava per 7, 10, 13... i els residus sempre seran els mateixos

Divisions entre 7

• Tria un nombre de tres xifres. Escriu un nombre de sis xifres repetint dues vegades l’anterior. Divideix el nombre resultant entre 7. Repeteix els passos anteriors per altres nombres diferents. Què observes? 

Exemple: triant 356, 356356:7=50908
Resposta: totes les divisions tenen residu 0
Justificació: el nombre de sis xifres coincideix amb el nombre triat de tres xifres multiplicat per 1001 i per tant és divisible entre 7
Comentaris: es pot fer la mateixa tasca canviant el 7 per 13 si el que es vol és practicar divisions entre nombres de dues xifres.

Divisions entre 11

• Tria tres nombres capicues de 4 xifres i divideix-los entre 11. Tria tres nombres capicues de 3 xifres i divideix-los entre 11. Què hi observes? 

Exemple:

Resposta: Els nombres de 4 xifres capicues sempre tenen residu 0 quan es divideixen  entre 11 però els nombres capicues de 3 xifres poden tener qualsevol residu entre 0 i 10.

Divisions entre nombres de dues xifres

• Tria un nombre de tres xifres, divideix-lo entre 3 i el resultat divideix-lo entre 4. Divideix el nombre inicial entre 12 Torna a fer els dos passos anteriors partint d’altres nombres de tres xifres Què hi observes?

Exemples: trant 110, 110:3=36r2, 36:4=9 i 110:12=9r2, triant 140, 140:3=46r2, 46:4=11r2 i 140:12=11r8
Resposta: el quocient de la divisió entre 4 i entre 12 és el mateix però el residu no necessàriament.
Comentaris: les divisions entre 3 i entre 4 es poden intercanviar d'ordre que el quocient final no variarà, encara que si pot variar el residu. El quocient de dividir entre 15 coincideix amb el de dividir primer entre 5 i després entre 3, el quocient de dividir entre 16 coincideix amb el de dividir dos cops entre 4, etc.

Divisions decimals

• Omple la taula i fes una conjectura sobre la relació entre les dos últimes columnes

Resposta: Quan el residu és r la part decimal del quocient és .rrrrrrrr...
Comentaris: es pot canviar el divisor de 9 a 3 quan (la resposta passa a ser que quan el residu és 1 la part decimal del quocient és .333333... i quan el residu és 2 la part decimal del quocient és .66666...) o a 4 (la resposata passa a serque quan el residu és 1 la part decimal del quocient és .25, quan el residu és 2 la part decimal del quocient és .5 i quan el residu és 3 la part decimal del quocient és .75).

Més sobre minilliçons

Fa més de dos anys vam publicar una entrada sobre Minilliçons i estratègies. En aquest temps hem continuat pensant en aquesta manera de practicar destresses bàsiques que posa el focus en la relació entre fets coneguts i fets derivats com estratègia per millorar el càlcul mental (o simplement: eficient).

Hem portat a l'aula activitats presentades en aquest format i hem ampliat les temàtiques abordades. Avui us volem ensenyar algunes noves minilliçons:

Una sobre operacions amb decimals

Vam fer l'activitat oralment amb tota la classe (5è de Primària @escolasadako amb la col·laboració de les mestres Marta i la Cristina), però de tant en tant, alguna de les explicacions les demanàvem per escrit

També podem presentar activitats d'aquesta mena relacionades amb el càlcul de percentatges:

O amb la relació entre fraccions i decimals tal com es veu en les següents fotografies del treball d'una alumna de 3r d'ESO

La Marta P. de l'escola La Sínia de Vic va portar a l'aula activitats amb aquest format. En les següents fotografies es pot veure un exemple:

La mateixa idea la podem trobar a l'applet "Calcula porcentajes pensando" del Juan Garcia Moreno

https://dl.dropboxusercontent.com/u/44162055/manipulables/numeracion/fporcentajes1.swf

Minilliçons i estadística

Les minilliçons no estan restringides al treball al bloc de Numeració i càlcul. A continuació proposem un exemple de minilliçó que podem proposar en treballar el concepte de mitjana:

Creiem que és una bona oportunitat per discutir sobre: Què passa amb el valor de la mitjana quan a tots els valors els sumem o restem un mateix valor? I si els multipliquem per un mateix valor? Què passa amb la mijtana si un valor augmenta i un altre disminueix en la mateixa mida? Què passa si afegim al conjunt de dades el valor de la seva mitjana? Una bona oportunitat per apropar-nos a la noció de mitjana més enllà del procediment que coneixem per calcular-la. 

Minilliçons i estratègies

Minilliçons a classe

La idea de minilliçons ens ve d'un excel·lent article de Catherin Towney Fosnot i Maarten Dolk on, entre altres reflexions sobre estratègies i models, presenta "tires" d'operacions que anomena minilliçons, on per calcular el resultat d'una operació els alumnes es recolzen en el resultat d'una d'anterior ja coneguda. Seria una mostra més de la dinàmica de "fets coneguts-fets derivats" ja esmentada en altres posts: Applets que fan pensar... si els treballes i Rapidesa d'operacions i paper de les estratègies.

A l'esquerra de la pissarra es veu una d'aquestes minilliçons: un seguit d'operacions en columna on algunes serveixen de fet coneguts i les següents cal deduir-les treballant així estratègies bàsiques. D'aquesta manera es donen eines als alumnes per deixar de calcular comptant per passar a calcular sense comptar.

Gestió de l'activitat i fites amagades

La figura mostra la llista operacions esmentades anteriorment, triades i ordenades per generar la discussió sobre les habilitats o estratègies que volem treballar amb els alumnes

8+2= 10  És un fet conegut.

8+5= 13 A partir de saber que 8+2 fan 10, només cal afegir- els tres que falten del 5: 8+2+3= 13. és el que es coneix com "pas del 10".

18+2= 20 Resolta mentalment amb facilitat

18+5= 23 A partir de 18+2  fent el salt del 10 (en aquest cas el 20)

28 + 5= 33 A partir de 8+5 (resolt anteriorment)  afegint 20 o de 18 + 5 afegint 10. Implica relacionar el canvi en un dels sumands amb el canvi en el resultat.

Treball amb models: la línia numèrica buida (LNB)

Si bé aquestes operacions, a la llarga gairebé s'automatitzen, cal construir-les treballant amb context o amb models com és el cas de la línia numèrica. Intentar-ho treballant solament a nivell simbòlic pot deixar una part de la classe a mig camí. Així, per exemple, en el cas de la suma 15+8 al principi els  alumnes necessitaran utilitzar la LNB

Us recomanem la lectura de l'article (en anglès) o si més no una ullada als diferents exemples que posa i que abasta el treball de forces estratègies com per exemple: quasi dobles (26+26 per exemple partint de 25+25), intercanvi de dígits, estratègia de descomposició, etc.

Gestió a classe: la nostra proposta

Hi ha tres moments diferents en el treball amb aquestes minilliçons: la presentació i discussió col·lectiva, el treball entre iguals i l'avaluació. Les primeres propostes caldria treballar-les a nivell col·lectiu. Cal que  entenguin el que els demanem, que no és simplement que calculin la operació de sota, sinó que dedueixin el resultat de la segona operació a partir de l'anàlisi  relació amb la primera. És per aquesta raó que apareix la pregunta: "per què?" a sota. Donar solament el resultat no dóna cap informació sobre el que ha pensat per arribar a la resposta.

En aquest cas la resposta esperada seria: 28 i un argument del tipus "ja que la distància augmenta una unitat, el resultat augmentarà una unitat". Cal dir que aquest text dibuixat en una línia numèrica és una resposta tan vàlida com una explicació oral o escrita.

Pràctica en grups o treball individual

En aquest moment de l'activitat es presenten quatre situacions que impliquen estratègies diferents i operacions diferents allunyant-nos així del treball repetitiu.

Per deixar clar el que volem, redactem la resposta esperada per a la primera proposta: 48+26 =74 acompanyat d'algun argument com els següents

a) Com que intercanviem les xifres de les unitats dels dos sumands, el resultat no canvia.
b) Si afegeixes dos unitats al primer sumand i treus 2 del segon, la suma no canvia.

Avaluació

Les activitats anteriors eren "de classe" on les respostes obtingudes es matisen a partir de la discussió. Si volem avaluar i recollir informació individual, no solament ens hem de fixar en la correcció del resultat sinó en l'estratègia emprada i el nivell d'explicació dels alumnes. És per aquesta raó que incloem a la tasca una part per explicació, donat-li tanta o més importància que al càlcul fet.

 

Per acabar: és fàcil incorporar aquest tipus d'activitats a classe, ja que és un treball interessant en un currículum competencial. L'única dificultat que té, és tenir clares quines estratègies de càlcul volem que els alumnes utilitzin, despertar una actitud de descobriment en l'alumna, i treballar a fons la part de la comunicació o el·laboració de textos explicatius coherents i correctes.

Podeu complementar la informació sobre Minilliçons amb aquest vídeo gravat durant una de les sessions del curs ARAMAT dedicada a operacions additives: