Pràctica productiva: sumes i restes de nombres enters

Fa uns quants anys ja vam comentar dues tasques que permeten practicar el treball amb operacions additives amb nombres enters 

• una tasca sobre quadrats màgics de constant zero analitzada al post Quadrats màgics i nombres enters
• la tasca "Full Integer Collatz" relatada al post "Conjectura de Collatz: una activitat de classe"

Però aquests són només dos exemples de les moltes tasques d'aquest tipus que podem proposar als nostres alumnes dels primers cursos de secundària. A continuació presentarem d'altres: 

1) Casetes de nombres enters

La tasca "Number Shacks" proposada pel recentment mort Don Steward en el seu blog Median dona oportunitat de practicar sumes i restes entre nombres naturals i convida a conjecturar la relació entre els valors que omplen una caseta en relació als que omplen la caseta que es troba dues posicions cap a l'esquerra.

Uns pocs conceixements de manipulació algebraica permeten justificar la conjectura formulada:

2) Nombres consecutius

Inspirats en la tasca que amb aquest mateix nom ens proposa NRICH, podem preguntar a l'alumnat: Quina regularitat trobes en els resultats d'aquests operacions quan a les targetes escrius de gran a petit diferents quaternes de nombres consecutius? Canvien les teves respostes si en lloc d'ordenar els nombres consecutius de petit a gran, ho fas de gran a petit?

A partir de diverses tries de quaternes de nombres consecutius l'alumnat podrà observar que:

• el resultat de la primera operació sempre és el doble del nombre que hi ha a la segona targeta
• el resultat de la segona operació sempre és zero
• el resultat de la tercera operació sempre és el doble de l'oposat del nombre que hi ha a l'última targeta

També podran concluoure que aquestes observacions són vàlides tant quan els quatre nombres consecutius s'ordenen de forma ascendent com a descendent (encara que no si no s'ordenen). 

A l'igual que en la primera tasca, quan els alumnes ja compten amb els primers coneixements sobre manipulació d'expressions algebraiques, aquestes observacions són fàcilment justificables.

Es poden complementar aquestes preguntes amb altres del tipus: què passaria si canviem nombres consecutius per senars consecutius? què passaría si en els cercles de color taronja hi ha altres disposicions de signes de suma i resta? o com descriuries el patró que compleixen els resultats de les següents seqüències:

• Seqüència 1 
• Etapa 1: 1 – 2 = ... 
• Etapa 2: 1 – 2 + 3 = ... 
• Etapa 3: 1 – 2 + 3 – 4 = ... 
• ...
• Seqüència 2 
• Etapa 1: 1 – 3 = ... 
• Etapa 2: 1 – 3 + 5 = ... 
• Etapa 3: 1 – 3 + 5 – 7 = ...
• ...

3) Targetes numèriques

Tria algunes d’aquestes 8 targetes i suma-les. Quins resultats pots obtenir?

Aquesta tasca proposada per Don Steward al post "Matter and antimatter" es pot complementar preguntant a l'alumnat si podrien trobar altres valors positius per a les targetes verdes i negatius per a les taronges de manera d'obtenir un rang de nombres consecutius més extens que l'aconseguit amb els valors proposats inicialment (tots els nombres del rang [-60,20] admetent que es poden obtenir el 0 quan no es tria cap targeta).

Pràctica productiva: restes (4)

A partir de que els alumnes sàpiguen fer restes en el rang 0-100 els podem presentar aquesta tasca, inspirada en "Monty the Python" una tasca publicada per l'ATM a "Rich Task Maths 1" (2011): "Hem dibuixat cinc serps sobre la graella del 100. La longitud d'una serp es calcula comptant quantes cel·les ocupa i el seu pes, fent la diferència entre els nombres que estan al cap i a la cua de cada serp. Les cinc serps dibuixades tenen longitud 7 però, quant pesa cadascuna?" 

Encara que no és imprescindible diferenciar els dos extrems, per simplificar la comunicació direm que el cap és, dels dos extrems, el que conté el menor nombre i el cap, l'altre.

No hi ha misteri en el càlcul del pes de les serps rosa, taronja, verda o groga. El problema es presenta al moment de calcular el pes de la serp blava: el cap és el 18, però quina és la cua? el 29? el 38? el 40?. Els tres nombres poden ser la cua!! i aquí tenim la primera oportunitat per plantejar un repte als alumnes: trobar totes les serps que s'amaguen en aquesta imatge blava i els seus pesos.

Tres serps de formes diferents però amb la mateixa "silueta"

Atenent a aquesta distinció entre forma i silueta podem demanar maneres de representar una serp perquè no quedi dubte de com és la seva forma ni on està ubicada. Per exemple, la primera de les tres serps de l'última imatge podria representar-se així: 18, 28, 38, 39, 40, 30, 29.

Però hi ha moltes més preguntes amb les que podem enriquir aquesta activitat: 

• Pensant en serps de longitud 7 podem preguntar-nos: quant pesen les serps més pesants? quina forma tenen? Però és molt més interessant pensar en les serps més lleugeres... Totes les serps de pes 60 tenen la mateixa forma (la de la serp rosa de la imatge inicial) però les serps de pes 2 poden tenir formes molt diferents. A continuació aprofitem un applet de math_bot per ensenyar serps de longitud 7 i pes 2 però amb diferents siluetes: 

• Com canvia el rang de pes de les serps en funció de la seva longitud? Aquesta taula fa intuir interessants patrons i provoca fer-se noves preguntes (què més podem demanar a una taula?)

Aquesta taula substitueix una altra que els companys del 

CEIP Sant Jordi de Palma van detectar que contenia errades:

el pes mínim d'una serp de longitud senar pot ser 1!

Aquí es veu una serp de longitud 11 i una 

altra de longitud 33, totes dues de pes 1.

• Si 26 és el cap d'una serp de longitud 5, on pot estar la seva cua?

Observar que el fet d'haver fixat que el cap és l'extrem amb
menor valor evita que les solucions d'aquesta pregunta
incloguin als nombres 24, 22, 19, 17, 15, 13, 8, 6 i 4  

• Quins són tots els pesos possibles per a les serps de longitud 6? Sabem que el pes mínim és 1 i el màxim és 50 però quins valors entre 1 i 50 són efectivament pesos de serps de longitud 6?

Podem començar pensant on pot estar la cua d'una serp de longitud 6, que tingui el cap, per exemple al 5 i a partir d'allí pesar les serps per ariibar a que els pesos possibles són 1, 3, 5, 6, 8, 10, 12, 14, 17, 19, 21, 23, 28, 30, 32, 39, 41 i 50!! 

Observar que aquí no perdem solucions per demanar que el cap tingui un valor
més petit de la cua (perdem serps, per exemple, 5-15-25-24-14-4, però no perdem
pesos possibles ja que ja tenim una serp de pes 1: la que té el cap al 5 i la cua al 6)

Però això només és l'inici. Se'ns obre un ventall enorme de preguntes que encara no ens hem fet: quina és la serp més llarga que no toqui a cap nombre parell? i a cap primer? i a cap quadrat?

Una serp de longitud 19 que no toca cap múltiple de 3

Pràctica productiva: equacions de primer grau

Encara que ja havíem fet posts amb tasques que promoguessin la resolució d'equacions de segon grau o la resolució de sistemes de dos equacions de primer grau amb dues incògnites en un ambient de resolució de problemes, encara no havíem proposat tasques semblants per un tipus d'equacions que proposemb amb anterioritat als alumnes: les equacions de primer grau.

Els dos primers exemples s'inspiren en la proposta de @colinfoster77 a "Expression Polygons" i el tercer exemple, en la proposta de @openmiddle "Solving Equations with Variables on Both Sides"

TASCA 1:

a) Escriu sobre cada segment negre la solució de l'equació que resulta d'igualar els dos quadres associats a aquest segment. Què observes?

Als alumnes que no troben dificultats en aquesta primera part de la tasca els podem plantejar preguntes com aquestes:

• què passa amb les solucions si multipliques per 10 els termes independents de les quatre expressions? 
• i si els valors multiplicats són els coeficients del terme de primer grau?
• i si a cadascuna de les expressions li sumes el coeficients del terme de primer grau?

Després d'haver treballat amb aquestes preguntes, o altres de semblants, poden fer front a un repte com el següent:

b) Què expressions escriuries en els quadres per obtenir els sis primers nombres parells? I per obtenir 6 números de dues xifres consecutius?

TASCA 2: 

Tria tres nombres enters diferents i col·loca cadascun al lloc d'una de les estrelles Escriu sobre cada segment negre la solució de l'equació que resulta d'igualar els dos quadres associats a aquest segment. Fes-ho per diferents ternes de nombres inicials. Què observes?

El primer que observen els alumnes és que en ocasions els tres nombres que han d'escriure són el mateix i en la resta d'ocasions els tres nombres són diferents. Aquí, podem guiar-los per concloure que és impossible que en dos segments el valor coincideixi i en el tercer no com a conseqüència de la propietat transitiva de les igualtats. Però no els resulta fàcil veure quina relació tenen els tres nombres entre sí quan són diferents: un d'ells és la mitjana dels altres dos. En aquests casos, creiem que és bona idea suggerir-los que representin els tres nombres sobre una línia numèrica i allí podran observar que un dels tres nombres equidista dels altres dos. 

Quan vam proposar aquesta tasca a alumnes de #eso3sdk van trobar la mateixa dificultat per concloure que una de les solucions és la mitjana de les altres dos però un dels grups a partir de tres casos van arribar a una formulació molt propera:

TASCA 3:

a) Si omplim les cel·les amb nombres naturals diferents entre 1 i 9, quines solucions enteres es poden obtenir? I si no exigim que siguin enteres, quantes solucions diferents es poden obtenir?

b) Omple les cel·les amb nombres naturals diferents entre 1 i 9 perquè la solució sigui el més propera possible a √2

En relació a la primera pregunta del primer apartat, els alumnes hauran de veure que es poden obtenir com a solució qualsevol nombre enter entre -8 i 8 exceptuant el 0. Però si volen comptar totes les solucions diferents que existeixen han d'organitzar molt bé la feina:

• Una de les solucions és 1 que es pot aconseguir a partir de moltes equacions diferents (per exemple: 5x+7=4x+8) 
• Hi ha vint solucions més grans que 1: 8, 4, 8/3, 8/5, 2, 4/3, 7, 7/2, 7/3, 7/4, 7/5. 7/6 6, 3, 3/2, 6/5 5, 5/2, 5/3, 5/4, 
• aquestes fraccions les hem obtingut combinant els nombres1 a 8 per fer de numerador o denominador, però en aquest sentit, val a observar que 8/7 no és una solución possible a pesar de que el numerador i el numerador són números entre 1 i 8 
• Hi ha vint solucions entre 0 i 1 que són les inverses de les solucions més grans que 1 llistades abans
• Hi ha 41 solucions negatives que són les oposades de les 41 solucions positives esmentades abans 
• En total tenim 82 solucions diferents

També es pot preguntar directament, quina és la menor solució positiva que es pot obtenir. Així ho va plantejar l'Ainhoa L. als seus alumnes:

Zona verda "hi ha una única manera d'aconseguir el nombre més gran"
Zona rosa: "hi ha moltes maneres d'aconseguir el nombre més petit"

En relació a l'últim apartat poden veure que encara que cap d'aquestes equacions té un valor irracional com a solució, n'hi ha algunes que tenen solucions properes a √2:

• 8x+1=2x+9 té solucó 1.333... 
• 7x+1=5x+4 té solució 1.5
• o l'òptima: 7x+1=2x+8 que té com a solució 1.4

TASCA 4

Amb els coeficients (1,3,5,8) s'obtenen 12 solucions: 2/7, 2/3, 4/5, 5/4, 3/2, 7/2 i els seus sis oposats. Clarament (1,3,5,8) no és l'única quaterna de coeficients que dona lloc a 12 solucions racionals però no enteres, per exemple (2,4,6,9) dóna lloc a les mateixes solucions racionals però (1,3,6,9) dona lloc a "altres" 12 solucions no enteres: 3/8, 2/3, 5/6, 6/5, 3/2, 8/3 i els seus sis oposats (3/2 i -3/2 es repeteixen en els dos casos). Però la gran majoria de quaternes de dígits diferents sí que donen lloc a solucions enteres. Per exemple,

• (1,2,3,6) dona lloc a 12 solucions: 2, 3, 5, els seus inversos i els seus oposats, per tant, 6 solucions enteres que representen un 50% del total. 
• (1,2,3,8) dona lloc a 12 solucions: 3, 5, 7, els seus inversos i els seus oposats, per tant, també 6 solucions enteres que representen un 50% del total
• (1,2,3,4) dona lloc a 6 solucions diferents: 1, 3, els seus inversos i els seus oposats, per tant 4 solucions enteres que representen un 66,7% del total. 
• ...

Font: tasca 25 del document The Proving Ground – an introduction to mathematical proof

Geoplans triangulars i teorema de Pick

Al post Geoplans i pensament exhaustiu ja vam parlar de geoplans de trama quadrada i de trama circular. Fins i tot en el post Joc del geoplà ja apareixia un geoplà de trama isomètrica. Ara reprendrem l'ús d'aquest material per fer alguns comentaris que poden donar lloc a interessants propostes de classe.

Anomenarem geoplà triangular de mida n a un tauler triangular amb n(n+1):2 claus distribuïts de manera que formen n² triangles equilàters iguals

1) Troba tots els triangles diferents que es poden construir en un geoplà triangular de mida 3 i calcula les seves àrees fent servir com a unitat l’àrea d’un triangle bàsic de la trama

2) Troba tots els quadrilàters diferents que es poden construir en un geoplà triangular de mida 3 i calcula les seves àrees

3) Troba tots els triangles diferents que es poden construir en un geoplà triangular de mida 4 i calcula les seves àrees

A partir de les dades anteriors podem buscar adaptar el teorema de Pick, molt conegut per calcular àrees en geoplans estàndard, per a trames isomètriques:

B és la quantitat de punts del geoplà que toquen en perímetre del polígon
I és la quantitat de punts del geoplà que estan a l'interior del polígon

Pot ser ens faria servei analitzar alguns polígons que deixéssin 2 punts del geoplà a l'interior, aquests polígons només es troben en geoplans de mida superior a 4. Aquí hi ha alguns exemples en un geoplà triangular de mida 5:

 

4) Troba tots els triangles equilàters diferents que es poden construir en un geoplà triangular de mida 6 i calcula les seves àrees

Si no considerem com a iguals dos triangles cuando estan col·locats de manera diferent al geoplà la quantitat de solucions seria 70 (veure A000332 i la imatge associada)

Afegides aquestes dades a la taula donen més pes a la conjectura de que l'àrea és 2 unitats més petita que la suma de B + 2 I, o sigui, A = B + 2I - 2 (tenint com a unitat d'àrea el triangle més petit que forma la trama)

• Hi ha una demostració d’aquest resultat aquí
• Observar que en geoplaans de trama quadrada  A = (B + 2I- 2) : 2 (tenint com a unitat d'àrea el quadrat més petit que forma la trama)

Tasques riques i Fibonacci

La successió de Fibonacci (una successió en que cada terme és la suma dels dos anteriors) és una font inesgotable de tasques riques. En aquest post comentem tres exemples.

Tasca 1

Aquí tenim un exemple proposat en Cicle Inicial on l'objectiu és practicar de manera productiva sumes en el rang 0-100:

"Laboratori de nombres" (1r Primària, Innovamat)

A diferència del primer apartat de la tasca en que la solució en cada cas és única (encara que les estratègies que demanen no és la misma en els quatre casos)

• a l'apartat 2 es demanen dues de deu solucions possibles (en les primeres dues cel·les es poden col·locar els nombres 1-10. 2-9, ..., 10-1) Val a observar que els cucs generats en col·locar en les dues primeres cel·les 3 i 8 o 8 i 3 no són iguals: 

• a l'apartat 3, el fet de no demanar que l'última anella hagi de tenir al 50 sinó un nombre proper a ell, permet que els alumnes vagin provant i millorant les seves solucions sense sensació de fracàs mentre fan un munt de sumes que és en el fons el que volem practicar.

Aquesta proposta es pot complementar amb les #actrivitats "Cucs de Fibonacci" i "Cucs de Fibonacci acolorits" on es proposa aprofundir en patrons sobre els cucs com el comportament de la cinquena anella quan en les dues primeres hi ha nombres iguals o la distribució de les anelles que contenen nombres parells o senars.

https://innovamat.com/blog/ca/introduccio_actrivitats/

A alumnes més grans o com a tasca d'ampliació els podem preguntar quina relació troben entre l’anella central i la suma de les dels extrems (a la imatge següent es veu una justificació que pot complementar la conjectura que facin els alumnes al respecte)

Tasca 2

Però no cal restringir-nos a successions de 5 termes, aquí tenim un exemple proposat en Cicle Superior on l'objectiu és practicar de manera productiva el càlcul de mitjanes:

Quadern de Matemàtiques 6è (2015, Ed. Barcanova)

La justificació de que la mitjana entre la cel·les n i n+3 és la cel·la n+2 pot ser visual:

I també pot ser visual la justificació de que la mitjana entre la cel·les n, n+1 i n+6 és la cel·la n+4

Tasca 3

Comencem demanant que s'escriguin tots els termes de la successió de Fibonacci (en la seva versió estàndar, o sigui, començant amb 1 i 1) menors que 1000. Pot semblar una tasca molt llarga però ens adonem que no és així: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987

A continuació fem propostes com aquestes:

• verifica que entre aquests nombres només un de cada tres termes és parell, un de cada quatre és múltiple de 3, un de cada cinc és múltiple de 5. Com continuaries aquesta sèrie? 

• divideix cada terme de la successió entre 3 i pren nota dels residus que vas obtenint. Què observes? Què passa si canvies el divisor per un altre nombre (per exemple: 7)? 

Es pot veure que en dividir entre 3 els termes de la successió s'obtenen els residus: 1,1,2,0,2,2,1,0 en bucle. I aquests bucles es poden trobar qualsevol sigui el divisor. El @DavidKButlerUoA va piular imatges que il·lustren aquest fet amb reglets Cuisenaire. Per exemple, el cas del divisor 3:

@DavidKButlerUoA

La xifra final dels nombres que formen la successió de Fibonacci (o sigui, el residu de dividir aquests nombres entre 10) no s'escapen a aquest resultat i també es repeteixen seguint un bucle de longitud 60!! A més unint aquests nombres a mida que apareixen en el bucle es dibuixa un interessant patró geomètric, tal com es veu en aquesta imatge de @panlepan

@panlepan

• verifica la següent afirmació amb tots els nombres de dues xifres: "tot nombre natural es pot escriure de manera única com la suma de termes diferents de la successió de Fibonacci" 

Aquest resultat es coneix com a teorema de Zeckendorf i, a més afirma, que si exigim que no hagi nombres de Fibonacci consecutius la descomposció és única.

Pràctica de divisions decimals

Després d'haver introduït la divisió decimal fent repartiments de diners i d'anar, poc a poc, independizant-se del context arriba el moment de practicar el procediment. Aquesta pràctica es pot en un fer en un ambient de resolució de problemes a partir de la proposta de petites investigacions. A continuació relatem un exemple portat a l'aula.

Primer de tot es van proposar unes quantes divisions de nombres enters de dues xifres entre 9 (23:9, 32:9, 45:9, 56:9, 65:9, 71:9 i 17:9) i a partir dels resultats obtinguts es va veure que és molt habitual que el resultat sigui un decimal periòdic i que el període no canvia quan s’invertien les xifres del dividend. Com a ampliació a aquesta primera tasca es va suggerir una pregunta: passarà el mateix amb nombres de tres xifres?

En la discusió de tancament de la tasca es va concluoure que en dividir un nombre natural entre 9 havia dos possibilitats: el resultat era un nombre enter o el resultat era un nombre decimal periòdic i que aquest periode coincidia amb el residu de la divisió entera

Després del treball fet amb el divisor 9 es va proposar investigar que passava amb altres divisors Què passa en dividir un nombre enter entre 3? Quines possibilitats hi ha? 
 

Què passa en dividir un nombre enter entre 2? Quines possibilitats hi ha?

Què passa en dividir un nombre enter entre 4? Quines possibilitats hi ha?

Què passa en dividir un nombre enter entre 5? Quines possibilitats hi ha?

Què passa en dividir un nombre enter entre 6? Quines possibilitats hi ha?

Què passa en dividir un nombre enter entre 8? Quines possibilitats hi ha?

Què passa en dividir un nombre enter entre 7? Quines possibilitats hi ha?

Com sempre que fem investigacions hem de tenir clar que les conclusions a les que arribem són conjectures que poden ser molt febles si els experiments que fem són pocs o poc representatius.

Cometre errades en aquest tipus de context no ha desanimar a cap alumne per dos motius: l’objectiu de practicar divisions decimals ha estat plenament assolit i cometent aquest tipus d’errades ens apropem a entendre com es validen les afirmacions matemàtiques.

Una altra qüestió que ens vam plantejar era analitzar com es feien aquestes divisions amb calculadora. Vam començar plantejant quatre divisions:

I vam preguntar què tenien en comú els resultats obtinguts:

A continuació vam proposar que fessin les mateixes divisions amb calculadora i van trobar un resultat que els va sorprendre molt:


Inspirats en la tasca Noodle Whack, per acabar la classe vam proposar que els alumnes, amb l’ajuda de la calculadora i el que havien après sobre com s’han de llegir els resultats que dóna aquesta eina, trobessin noves divisions entre nombres enters que tinguessin un quocient decimal format per una mateixa xifra repetida:

Vam proposar als mateixos alumnes uns anys després una tasca inspirada pel blog Matemàtiques Marines. Es tracta de classificar fraccions segons el tipus d'expressió decimal que generin, o el que és el mateix, classificar divisions entre dos nombres enters segon el tipus de decimal que sigui el quocient:

Aquí podem veure treballs d'alumnes amb aquesta taula

• què passa en estendre aquesta taula cap a la dreta? 
• la idea és que vegin que els patrons de colors es repeteixen i el patró mínim és el que va des de la cel·la que està més a l’esquerra fins a la primera cel·la groga 
• què passa en estendre aquesta taula cap a baix? en quines files hi ha només cel·les grogues i taronges? en quines files hi ha només cel·les grogues i verdes? en quines files hi ha cel·les de tots els colors? 
• la idea és que vegin la relació entre les respostes a aquestes preguntes i els nombres primers que apareixen en la descomposició factorial del denominador

Expressió decimal de a/b amb a i b entre 1 i 100
(verd: enter, marró: decimal finit, groc: periòdic mixt, lila: periòdic pur)
(Font: document drive enlaçat al blog Matemàtiques Marines)