Pràctica productiva: sumes i restes de nombres enters

Fa uns quants anys ja vam comentar dues tasques que permeten practicar el treball amb operacions additives amb nombres enters 

• una tasca sobre quadrats màgics de constant zero analitzada al post Quadrats màgics i nombres enters
• la tasca "Full Integer Collatz" relatada al post "Conjectura de Collatz: una activitat de classe"

Però aquests són només dos exemples de les moltes tasques d'aquest tipus que podem proposar als nostres alumnes dels primers cursos de secundària. A continuació presentarem d'altres: 

1) Casetes de nombres enters

La tasca "Number Shacks" proposada pel recentment mort Don Steward en el seu blog Median dona oportunitat de practicar sumes i restes entre nombres naturals i convida a conjecturar la relació entre els valors que omplen una caseta en relació als que omplen la caseta que es troba dues posicions cap a l'esquerra.

Uns pocs conceixements de manipulació algebraica permeten justificar la conjectura formulada:

2) Nombres consecutius

Inspirats en la tasca que amb aquest mateix nom ens proposa NRICH, podem preguntar a l'alumnat: Quina regularitat trobes en els resultats d'aquests operacions quan a les targetes escrius de gran a petit diferents quaternes de nombres consecutius? Canvien les teves respostes si en lloc d'ordenar els nombres consecutius de petit a gran, ho fas de gran a petit?

A partir de diverses tries de quaternes de nombres consecutius l'alumnat podrà observar que:

• el resultat de la primera operació sempre és el doble del nombre que hi ha a la segona targeta
• el resultat de la segona operació sempre és zero
• el resultat de la tercera operació sempre és el doble de l'oposat del nombre que hi ha a l'última targeta

També podran concluoure que aquestes observacions són vàlides tant quan els quatre nombres consecutius s'ordenen de forma ascendent com a descendent (encara que no si no s'ordenen). 

A l'igual que en la primera tasca, quan els alumnes ja compten amb els primers coneixements sobre manipulació d'expressions algebraiques, aquestes observacions són fàcilment justificables.

Es poden complementar aquestes preguntes amb altres del tipus: què passaria si canviem nombres consecutius per senars consecutius? què passaría si en els cercles de color taronja hi ha altres disposicions de signes de suma i resta? o com descriuries el patró que compleixen els resultats de les següents seqüències:

• Seqüència 1 
• Etapa 1: 1 – 2 = ... 
• Etapa 2: 1 – 2 + 3 = ... 
• Etapa 3: 1 – 2 + 3 – 4 = ... 
• ...
• Seqüència 2 
• Etapa 1: 1 – 3 = ... 
• Etapa 2: 1 – 3 + 5 = ... 
• Etapa 3: 1 – 3 + 5 – 7 = ...
• ...

3) Targetes numèriques

Tria algunes d’aquestes 8 targetes i suma-les. Quins resultats pots obtenir?

Aquesta tasca proposada per Don Steward al post "Matter and antimatter" es pot complementar preguntant a l'alumnat si podrien trobar altres valors positius per a les targetes verdes i negatius per a les taronges de manera d'obtenir un rang de nombres consecutius més extens que l'aconseguit amb els valors proposats inicialment (tots els nombres del rang [-60,20] admetent que es poden obtenir el 0 quan no es tria cap targeta).

Projecte Nrich

Dilluns passat vam participar d'una trobada amb altres mestres de primària, secundària i universitat que tenia per objectiu compartir les nostres experiències fent servir propostes d'activitats del projecte Nrich

Aquestes són alguns dels aspectes sobre els que vam discutir:

L'edat del alumnes als que es destinen les activitats:

• encara que el punt fort d'aquest projecte és la proposta d'activitats per a alumnes a partir de 10 anys, hi ha algunes propostes molt interessant per als més petits: Largest even
• hi ha activitats que es poden plantejar a alumnes de diverses edats sabent que hi aprofundiran fins a diferents punts: Keep your distance

Les nostres estratègies per cercar activitats entre l'enorme oferta que hi trobem:

• alguns dels presents troben activitats per continguts o per procesos fent servir la finestreta de cerca que hi ha en la part superior dreta de la pàgina
• altres prefereixen cercar activitats a travès de la pàgina de pòsters que els classifica segons siguiun adients per als alumnes més petits o per als més grans

Les diferents maneres de portar les activitats a classe:

• encara que la gran majoria de les activitats que hi trobem no necessiten més que llapis i paper, algunes presenten la possibilitat de fer servir un applet: Factors and Multiples Game
• hem parlat d'activitats que s'avenen molt a combinar l'ús de applets amb l'ús de materials manipulatius de recolzament: A puzzling cube
• també hem comentat l'existència d'activitats que es poden teatralitzar: Chocolate o Chocolate Bars

Mejant supergaletes def from puntmat

Figures:© PLAYMOBIL/ geobra Brandstätter GmbH & Co. KG.

Aritmètica al marge dels algorismes.

Podem fer moltes Matemàtiques abans dels algorismes

Un dels temes recurrents en l'ensenyament de les Matemàtiques és el paper estructurador que juguen els algorismes. Força gent està posant en entredit el seu paper protagonista, i molta està d'acord en que, segons com es miri, representen una gran pèrdua de temps.

També és certa  l'opinió que restar importància als algorismes col·loca als mestres davant un paisatge que els produeix molta inseguretat, i als pares també.

Però volem donar-li la volta al mitjó: enlloc de pensar com ho enfontrarien els mestres pensem en que passaria amb els nens.  Ens plantegem què pot passar (o millor dit, que passa) si s'endarrereix la presentació dels algorismes i es continuen fent les mateixes situacions, activitats o problemes, deixant que els alumnes les solucionin amb les seves estratègies emergents. Per poder fer això els alumnes han de dominar un seguit d'habilitats bàsiques i estratègies que els permetin les eines necessàries per poder resoldre les situacions.

No es pot dir que l'aportació de l'algorisme de la suma pel que fa les habilitats sigui fantàstic: solament han de saber sumar dígits, i "posar un 1 a dalt a  l'esquerra" si és que en porten una.

Imaginem per un moment que proposem una suma a un grup d'alumnes als que s'ha endarrerit la presentació de l'algorisme de la suma,  amb els que s'ha treballat l'actitud de "buscar-se la vida".

Potser millor que imaginar-s´ho veiem dues respostes d'un alumne de un grup de primer als que no se'ls va presentar l'algorisme estàndard de la suma.

Si fem una lectura de la seva resolució el primer que destaca és la comunicació o si voleu el registre, que fa de la seva feina.
Analitzant el procés una possible descripció del que ha fet seria la següent:

1. suma 30 + 30 i li dona 60 (anota) ,  
2. per sumar el 8+3 , primer, suma 8+2, li dóna 10, que sumats als 60 anterior fan 70, xifra que apunta, i li suma l'1 que quedava encara de la suma 8+3. El resultat 71, el posa al començament.

Estem molt contents de mostrar aquest exemple ja que la promoció de l'alumne que el va realitzar, estan fent actualment 4t d'ESO, i han anat creixent en Matemàtiques sota aquesta idea, el que implica que fa 10 anys que estem treballant amb aquest enfocament i les actituds que crea ens agraden. Us convidem a provar-ho.

 Volem destacar que aquest alumne està aplicant l'estratègia de descomposició, és a dir per sumar dues quantitats suma per una banda les desenes, per l'altre les unitats i finalment agrupa. Aquesta precisament és l'estratègia que utilitza l'algorisme estàndard, però d'una manera "comprimida" el que el fa poc transparent a ulls dels alumnes. Així dons quan aquest alumne més endavant, potser fins i tot en un altre curs conegui l'algorisme estàndard, l'entendrà com una simplificació en el món dels símbols, del que ja sap fer.

No es pot negar que el "text matemàtic" escrit per l'alumne és fantàstic, ordenat i a més correcte. No ha posat tots els símbols (no hi fa res, ja vindran estem construint llenguatge). A més es posa de manifest una de les estratègies bàsiques de càlcul que s'inicia en l'interval 0-20: el "salt del 10" en una suma, que comentem més endavant.

La segona suma 26+66 deixem que sigueu vosaltres els que esbrineu que ha fet, però no volem que passi alt l'estil d'aprenentatge de molts alumnes a aquestes edats: solucionar fets que no saben, o dels que no estan segurs del tot, partint de fets que coneixen: per fer 6+6 fa 5+5 (que s'ho sap) i "recupera" els 2 que ha deixat. És el que en diem "fets coneguts/fets derivats, i representa una l'alternativa a les memoritzacions sistemàtiques i per repetició, com per exemple en les taules de multiplicar. Diríem que els alumnes més competents aprenen de memòria utilitzant aquesta manera de pensar.

Treball paral·lel
Per poder "jugar amb el càlcul" d'aquesta manera cal treballar unes habilitats i estratègies determinades, poques de fet, que llistem a continuació. De totes maneres el procés no és separat: aquestes habilitats, un cop iniciades, es treballen paral·lelament resolent problemes. És un primer exemple del que estem treballant actualment que anomenem "pràctica productiva". Aviat en farem un post.

Les habilitats i estratègies

Per poder fer una Aritmètica al marge dels algorismes i en el camp de les operacions additives una proposta (de fet la que apliquem) sobre les  habilitats bàsiques necessàries per a construir la bastida podria ser:

1. Comptar endavant d'un en
2. Comptar endarrere d'un en un
3. Dir el posterior de un nombre (oralment i de manera ràpida, no com exercici escrit)
4. Dir l'anterior (un nen que no sàpiga dir de manera ràpid l'anterior no serà eficaç restant)
5. Sumes de dígits (implica el seu pas invers descomposicions) 
6. Dobles (molt utilitzats per fer sumes de "quasi dobles" com per exemple per calcular 4+3, "cridar" al 4+4 ja sabut utilitzant "fets coneguts/fets derivats")
7. Descomposicions del 10 (i sumes que donin 10)
8. Comptar endavant i endarrere de 10 en 10 a partir del zero o de  qualsevol nombre

Amb aquestes 8 habilitats i les estratègies de descomposició i la de salts en tenim prou per resoldre tots els problemes de cicle inicial. Perquè no provar-ho?  

El pas de 10 i la suma

El pas de la desena (per sumar 8+7 la majoria de gent adulta utilitza aquesta estratègia: fa 8+2+5 o alguna variant que "passi per la desena") és una estratègia que dóna un camí per deixar de comptar amb els dits.

És molt interessant, ja que mobilitza constantment la descomposició de dígits i la del 10, englobant aixi l'ús de rutines, que d'altra manera faríem per separat: descomposicions.  Per exemple: per sumar  8+7

1. Es busca el complement a 8 respecte del 10.
2. Es descompon el 7 es dos nombres: el 2 que ja s'ha utilitzat, i el complement a 7 (5)
3. Es realitza la suma 8+7 = (8+2+5 = 10+5=15)

Estratègies personals i pas del 10

Aquest procés, quan es domina és instantani en gent adulta, i fins i tot molta gent diu que s'ho sap "de memòria", cosa que en alguns casos és certa, però que en la majoria no.

Us posem un exemple: feu la suma de la fila de sota mentalment el més ràpid possible: preparats, llestos, ja!

14 + 8

 Després penseu com ho heu fet. Ha estat memòria? Si no ho ha estat segurament molts de  vosaltres haureu anat a buscar alguna desena.

Alguns exemples de respostes de gent adulta

1. 14+6+2
2. 8+4=12 ...22
3. 8 i 4 12 en porto una i una 2...22 (fotografia mental de l'algorisme, no és estratègia de càlcul en sentit estricte)

Si n'heu fet algun de diferent ens ho envieu en els comentaris, ho anirem publicant.

Alguns exemples curiosos

1. Un cop en una xerrada per mestres feta en una casal d'avis, un d'ells va venir a la xerrada. Va aixecar la ma i va dir "jo faig 18+4 que és més fàcil"
2. A magisteri una alumna "multiplicativa". He fet 3x7+1

Cloenda

• Endarrerir els algorismes obre la possibilitat de discutir a classe sobre matemàtiques, buscar camins, arribar a conclusions i anar avançant en el món del càlcul. Això és bonic, però també cal tenir en compte una cosa: no es tracta de parar-nos tot "admirant" la creativitat del alumne en trobar estratègies "ocurrents" sinó de conduir-los a avançar en la eficàcia del seu procés. En aquest sentit recordem una frase, segurament provocativa de  Eddy Gray, un "didàctic" notable (citem de memòria) "el mestre que davant una estratègia ineficaç d'un alumne el felicita, no solament no l'està ajudant sinó que està cometent un acte vandàlic"

• Es pot fer tota l'aritmètica de Primària al marge dels algorismes. Val la pena ja que obre el camí a treballar a fons: estructura del sistema de numeració, propietats, treball de procediments, treball de conceptes, pensar matemàticament etc.

• Diem endarrerir els algorismesi no eliminar-los, ja que no estem per la seva desaparició, formen part de la nostra història i representen l'instrument de càlcul més potent i eficaç fins l'arribada de les calculadores. Per aquest component cultural es mereixen  que se'ls dediqui un tema o un projecte matemàtic per conèixer, comparar i discutir com resolien els càlculs els nostres avantpassats. Cal que els nostres alumnes sàpiguen, per exemple, que l'algorisme actual de la multiplicació al nostre país, ve  dels àrabs, i comparin les dues maneres buscant semblances. Cal que coneguin que actualment no tothom utilitza  mateixos algorismes, per exemple el de la multiplicació, és diferent al que utilitzen a Cuba, que curiosament ho fan igual que els alemanys.
• Finalment els algorismes han de deixar de ser els continguts estructuradors a l'ombra del currículum de cadascú. Hem d'anar més enllà d'organitzar aquest camp del saber amb títols com "resta portant-ne", "divisió per dues xifres" etc. I aquests són termes que se senten contínuament a les converses, enlloc de aspectes més lligats amb els conceptes que és el que ens acosta a poder entendre el món. S'haurien de començar a sentis frases com: els nostres alumnes saben resoldre situacions que impliquen operacions additives, buscar la solució més eficaç, saber-la comunicar de manera entenedora i comprovar la seva validesa, per exemple.

Pensament exhaustiu

Després de dues entrades en que vam estar parlant del pensament exhaustiu en relació directa amb un contingut temàtic (divisibilitat) i amb un material manipulatiu (geoplans) ens ha arribat el moment de fer una reflexió sobre què entenem per exhaustivitat i per què pensem que és important treballar-la com a un contingut matemàtic.

http://dlc.iec.cat/

Quan demanem als nostres alumnes que trobin totes les solucions d'un problema, estem demanant que enumerin tots el casos però de vegades això requereix algun aclariment. Per exemple, què esperem quan demanem analitzar els cubs que es poden haver utilitzat per fer una construcció que doni aquestes vistes?

Fa uns anys vam proposar el problema als alumnes del Màster de Secundària de la UPF i vam obtenir solucions molt variades: alguns alumnes vam recrear les solucions amb "cubets" i les van fotografiar mentre que altres van preferir representar-les en dues dimensions: dibuixant-les en perspectiva isomètrica o cavallera, representant-les planta a planta o amb vista zenital i alçada, a mà o fent servir programaris.

Pau enumera i exemplifica (amb perspectiva isomètrica i també planta a planta)
totes les possibilitats en relació al nombre de cubs

Segons el nostre parer és molt important per parlar d'exhaustivitat completar aquesta enumeració amb la resposta a dues preguntes: per què no poden haver solucions amb més de 10 cubs? i amb menys de 5?

Aquí veiem un extracte de l'enumeració completa de totes les possibilitats (representades per la seva vista zenital amb alçades) en relació a la disposició de cubs

En casos com l'anterior el que trobem molt important és l'explicació de l'alumne de com va variant la posició dels cubets per no oblidar cap cas. Per exemple, per la construcció de totes les possibilitats amb 9 cubets, en la imatge s'intueix com a partir de la solució amb 10 cubets va movent el cubet que hi treu, serà capaç d'explicar el seu procediment verbalment?

Les solucions encara es multiplicarien si fem servir l'applet Building with blocks per representar les solucions ja que aquí es permeten cubs "voladors". En la imatge veiem totes les possibilitats de generar les vistes frontal i lateral inicials amb 5 cubs.

Podríem pensar que això del pensament exhaustiu és per grans però val la pena esmentar les propostes per fer treball exhaustiu d'una de les fantàstiques pàgines web de Juan Garcia Moreno: PROBLEMATICAS

Els problemes dels repartiments de pastes, de les cares diferents, dels camins possibles són exemples que donen pistes de com es pot fer aquest tipus de tasques amb alumnes de cicle inicial i mitjà.

Un altre exemple per a alumnes de Cicle Mitjà podria ser el que ja vam incloure en l'entrada Àbac de tres punxes. Allí en la proposta 4 donaven la resposta que havia donat una nena a un problema del tipus "trobar tots els nombres que..." i el que es preguntava als alumnes era "veient l'ordre dels nombres s'intueix quina estratègia ha fet servir per a comptar-los tots: redacteu-la".

Per últim cal incidir en el fet que no tots els problemes que demanen trobar tots els casos exigeixen el mateix grau de pensament exhaustiu. Per exemple, no és el mateix demanar tots els quadrilàters que es poden formar en un geoplà de 3x3 que fer-ho de manera guiada com es proposa a l'article "Sobre el geoplà Gattegno de nou puntes" on es guia pas a pas la cerca: primer demana els 4 casos no convexos, després els tres casos que tenen tots els costats iguals, després altres tres paral·lelograms, després tres trapezis que encara no havien aparegut, després un estel que no havia aparegut fins al moment, un quadrilàter que només té un parell de costats contigus igual i per acabar un quadrilàter que té tots els costats desiguals. Fer aquesta consideració no treu mèrit a la proposta d'una activitat guapíssima, que creiem imprescindible al treballar amb quadrilàters i que augmenta enormement la seva dificultat si no donem les pistes esmentades. Només volem indicar que no seria un exemple emblemàtic del treball exhaustiu tal com l'entenem: un treball guiat per la pregunta "com puc assegurar-me que he trobat totes les solucions possibles?".

Autocorrecció (I). Manipulatius

Partim de la idea que desprès de treballar junts, discutir col·lectivament, i entendre les coses des del context, els alumnes assoleixen de diferent manera el tema tractat. Per tancar el procés cal realitzar un treball que indiqui als alumnes i els seus mestres el grau d'assoliment individual del tema tractat. Vist des del punt de mira actual això ha de servir per reflexionar i ser conscients de la millora personal de cadascú. Com diu Neus Sanmartí "no hi ha res més engrescador que tenir la sensació que aprens". L'autocorrecció pot ajudar als alumnes a controlar aquest procés de millora.

Posats en aquest context plantegem la pregunta eterna: els alumnes han de disposar dels resultats dels exercicis? Per què als llibres de text no hi apareixen? A aquesta última pregunta s'hauria d'afegir  "al nostre país" ja que, per exemple, el llibre (de text) "La Geometria" de Emma Castelnuovo, a la seva edició de 1970, presenta molts dels exercicis proposats, amb el resultat incorporat.

Con es veu a la imatge tots els problemes menys el 22 i el 23 donen el resultat

Autocorrectius manipulatius
Hi ha una llarga tradició de propostes de materials autocorrectius, des de fa molts anys. I també de nova creació. En presentem un quants:

Capses Heinevetter

Podríem dir que la idea d'autocorrecció ha estat present des de fa molt, en poden ser exemples: el treball de Freinet o materials específics que van sortir al mercat a la dècada del 70. "Heinevetter" és un d'aquests materials: unes capses amb taules en que en cada cel·la es proposa una "pregunta", sobre cada cel·la s'ha de posar una peça de puzle que contingui la resposta numèrica corresponent. L'autocorrecció està basada en que les peces encaixen quan les respostes són correctes.

L'exemple de la imatge és de comptatge i identificació de numerals però hi ha una extensa varietat de capses que treballen diferents nivells i aspectes. Més informació: EJE

Capses ARCO
Material força conegut al nostre país, també treballa amb peces que cal col·locar en una base. La diferència està en la dinàmica: els alumnes posen les "peces resposta" sobre la pregunta. Es tanca la capça, se li dona la volta i en obrir per l'altre costat, si les respostes són correctes ha de sortir una sanefa. Si no surt queda clar on estan les equivocacions. Més informació: EJE.

Les dues peces de color mostren la part del darrera que crea la sanefa

Aquesta idea va ser recollida pel @HenkReuling en una sèrie d'applets als que anomena "Mini-loco"

Claus d'aprenentatge ARCO

Enfocades bàsicament  a aprenentatges d'habilitats, com per exemple sumes de dígits o taules de multiplicar tal i com s'ensenya en aquest vídeo. En acabar de passar el fil per les solucions correctes, en donar la volta el fil ha de seguir un camí marcat a la part del darrere. Més informació: EJE

 

Materialització de "Claus d'aprenentatge" realitzada pels
mestres de la Skogsbackeskolan (Karlstad, Suècia)

Autocorrectius actuals

Tot i que fins ara això de l'autocorrecció sembla més aviat un relat històric, no és així. Actualment hi ha propostes noves que continuen sortint al mercat, com per exemple les propostes de "K2 publishers" malauradament, per nosaltres, escrites en holandès. Els tipus d'activitats proposades, són molt interessants en general i responen a la manera de fer actual. Podria ser un bon material per a un racó d'aprenentatge. Us presentem una activitat de "vistes". 

Tal com es veu al primer exemple els nombres de les
graelles indiquen l'altura de cadascuna de les torres. 

L'autocorrecció funciona posant un plàstic transparent vermell als requadres de la dreta i així es visualitza el resultat. Per facilitar la visió d'aquests resultats el material disposa d'un artefacte com el següent. Mireu-ne el funcionament a la imatge.

Autocorrecció com a ambient de classe
Independentment dels materials involucrats l'autocorrecció, el tema està en la decisió de si la integrem o no al funcionament normal de les nostres classes. Imaginem un full d'operacions on l'exercici final fos:

1. comprova els resultats (amb la calculadora o amb un llistat de solucions adjunt);
2. marca les errades que has fet;
3. en un parell d'aquests casos, explica en què t'has equivocat.

Un dels aspectes positius que pot aportar l'autocorrecció és el canvi de dinàmiques: ja no es tractaria de que la mestra reculli la feina i marqui si cada apartat està ben fet o malament, sinó que és el propi alumne qui ho fa i no es queda simplement en trobar els apartats on el resultat no és el correcte sino que ha d'identificar el tipus d'errades que ha comès i decidir si farà de nou aquests apartats o si necessita plantejar algun dubte a la seva mestra. Una feina d'aquest estil podria portar a la substitució de les sessions de classe dedicades a corregir col·lectivament la feina dels alumnes per sessions dedicades a discutir el tipus d'errades més comuns i estratègies per evitar-les.

El post "autocorrectius" no s'acaba aquí us convidem a seguir llegint el paper de les noves tecnologies en l'autocorrecció en el post "Autocorrectius 2" que penjarem en un parell de dies.

Què passaria si? algorismes a CI

Gianni Rodari va ser l'autor d'un llibre mític. "Gramàtica de la fantasia", per treballar la creativitat amb els nens i les nenes a l'hora d'escriure històries. Un dels capítols del llibre porta per títol "Què passaria si..." i aquí explica com a partir d'una situació hipotética es pot proposar als alumnes escriure una història que respongui a la situació plantejada. Un exemple: "Què passaria si un cocodril truqués a la porta de casa vostre a demanar romaní"? Al recordar-lo hem decidit jugar al mateix joc per escriure aquest post.

Existeix un país en la que les autoritats han decidit endarrerir la presentació dels algorismes de sumar i restar fins a tercer (o quart) de primària. Què passaria amb les Matemàtiques de Cicle Inicial?

http://www.flickr.com/photos/ouyea/365161974/

Si els algorismes deixessin de ser  els organitzadors del currículum, les discussions no es centrarien en intentar entendre què vol dir "en porto una". El terme "resta portant-ne" desapareixeria del mapa. Els alumnes afrontarien el repte de resoldre els problemes utilitzant estratègies que impliquen un coneixement conceptual molt més a fons. El coneixement del sistema de numeració posicional  (unitats, desenes, centenes) deixaria de ser solament saber el valor  d'una xifra, per passar a ser l'eina principal del càlcul.

http://www.flickr.com/photos/nadiatwitch/6136128220/

En aquest país la feina dels mestres seria la d'encoratjar i acompanyar als alumnes. Crear un espai de confiança, que els permeti atrevir-se a resoldre situacions de les quals no n'estan completant segurs a partir de coses que coneixen.








Una reflexió
Si d'una vegada per totes ens convencem que "donar instruments" abans que els alumnes no hagin intentat resoldre el problema amb les seves eines, ho mata tot, obrirem un engrescador món matemàtic, no solament a cicle inicial sinó a tot l'ensenyament obligatori.

En aquesta mentalitat la fórmula de l'àrea del trapezi o del polígon regular, la cançoneta de "els factors primers comuns elevats a l'exponent més...", etc deixaran de tenir sentit. O apareixerien com a punt i final d'un procés en el que els problemes associats ja se saben resoldre des d'abans, i el que es millora és l'eficàcia en els procediments.

Somni o realitat?
El que ens il·lusiona és que s'està  marcant un nord cap el que anar caminant. Sortosament aquest país ja existeix, més ben dit, deu haver molta gent que ja hi viu. No parlem solament de mestres que ho portin a terme, sinó de pàgines web institucionals que van per aquest camí. No es queden solament en el discurs general, sinó que a més inclouen treballs d'alumnes amb exemples d'estratègies classificades, que conviden a la discussió sobre la eficàcia i al reconeixement dels conceptes implicats en el si de les classes en que es realitzen.

Un exemple

clicar sobre la pàgina per ampliar

D'entrada aquesta pàgina de problemes és com qualsevol pàgina de les que s'utilitzen a les nostres classes. El que canvia és el requeriment pel que fa a la resolució per part dels alumnes:

Cadascuna de les pàgines que presenten va acompanyada de comentaris com el següent. Cal destacar que el focus d'atenció són les diferents estratègies de resolució recollides de diferents alumnes. A més no solament reprodueix la resposta sinó que la classifica.

Aquest fragment és solament el primer comentari del primer problema.  Si voleu veure tot el document, cliceu aquí. Veureu la riquesa de diferents resolucions on l'algorisme és una més, on cada alumne utilitza la que li és més propera. El més important és treballar l'actitud amb els alumnes: voler resoldre el problema. I els mestres els han d'ajudar en el camí d'utilitzar cada cop una estratègia més eficaç.

Aquest exemple està tret de la part de Matemàtiques de la pàgina Assesment Resource Banks de Nova Zelanda. Quan la mirem ens morim d'enveja, i pensem que amb un material com aquest, el professorat disposa d'una eina important de formació i potser d'un substitut del llibre de text. La pàgina recomanada té un problema: cal registrar-se. Si llegiu l'article de la Carme Burgès a la revista SUMA 70 de juliol del 2012, tindreu molta més informació, una visita guiada a la pàgina, indicacions i claus d'accés per entrar a llocs triats per l'autora que us aportaran la informació necessària.

Un desafiament: tornant a Gianni Rodari
Fins aquí el conte, la descripció del que podria passar i la convidada a anar endavant. Si voleu col·laborar escrivint algun comentari curt sobre que passaria en aquest cas a altres col·lectius com podrien ser els pares, les editorials de materials escolars, aquell mestre que té uns fulls fotocopiats d'operacions des de fa "n" anys i els passa cada curs, etc. estarem encantats de llegir-los. Demanem un comentari curt, un paràgraf, gairebé una piulada. I en podeu escriure més d'un si us enganxa el tema.

La regla de tres

Aquestes precioses il·lustracions pertanyen a un quadern de problemes escrit l'any 1932 per l'Anicet Villar, mestre del grup escolar Pere Vila de Barcelona. La raó per dedicar-li un post és que a la introducció al quadern ens ha semblat veure, en certs aspectes, una proposta propera al que pensem actualment sobre el que haurien d'aprendre els alumnes.

 La introducció: una declaració d'intencions

Volem destacar tres idees interessants que ens suggereix la seva lectura. La primera la trobem quan diu que l'alumne "descobreixi el fil de les relacions que hi ha entre els diferents problemes del mateix tipus", desplaçant així el punt de mira d'una proposta d'un llistat de problemes per entrenar de manera irreflexiva a un llistat de problemes per descobrir-hi relacions.

El segon aspecte ens acosta a la comunicació. No sabem si la pretensió de l'autor era únicament explicar a l'alumne com es resolia aquell tipus de problema en concret. Però, vist amb ulls d'ara i pensant en termes de comunicació, la seva pretensió podia ser donar pautes perquè els alumnes expliquin en forma de text la seva resolució d'aquell tipus de problemes, entrant de ple en la competència comunicativa.

El tercer aspecte i la regla de tres

Fins ara se'ns podria acusar de "lectura parcial o interessada" de les intencions de l'autor, veient coses que potser no són així. Però en l'últim paràgraf de la introducció en la que fa referència explícita a la "regla de tres" o a determinades fórmules d'economia domèstica, no hi ha dubte: les seves indicacions i el que pensem ara estan molt properes: defuig la presentació de fórmules per defensar un treball molt més conceptual. 

Reproduïm aquí sota el paràgraf esmentat:

"Els problemes de regla de tres, d'interès, etc., es resolen per reducció a la unitat, o potser millor dit, per raonament lògic prescindint de tota regla més o menys artificiosa. El mestre que vulgui ensenyar aquestes regles com a mitjà ràpid i mecànic de trobar la solució farà bé sempre que el nen estigui preparat de tal manera que, encara que oblidés les regles fos capaç de resoldre els problemes per discerniment propi"

Si el pobre Anicet veiés l'èxit que té actualment explicar la regla des tres a moltes de les nostres aules, no descansaria en pau. 

Aquest exemple ens dóna entrada a una pràctica, malauradament massa estesa encara en la nostra realitat educativa: l'administració sistemàtica i contínua de "formules màgiques" específiques que solucionen problemes específics: la regla de tres, el càlcul de tants per cent, l'àrea del trapezi, del rombe, dels polígons regulars a partir de l'apotema, córrer la coma en les multiplicacions per decimals, l'escaleta per fer conversions en el sistema mètric decimal, etc. I el més greu és que pensant que guanyem eficàcia, el que fem és donar una imatge als nostres alumnes completament distorsionada del que vol dir "fer Matemàtiques".

Ensenyar la regla de tres a Primària segurament roba a molts d'alumnes, la possibilitat de "descobrir el fil" de les relacions multiplicatives entre nombres o de trobar regularitats més enllà de les additives. Explicar-la a Secundària fa que no entrin a fons a una idea important: la de raó i proporció. A més els deixa orfes d'estratègies, de manera que davant un problema nou una mica diferent als fets anteriorment, no saben com encarar-lo i es bloquegen. Per culpa de l'aprenentatge basat en fórmules molts professors de matemàtiques ens trobem que quan s'acosta la declaració a hisenda, els amics "autònoms" ens truquen per preguntar-nos com es fa per calcular l'IVA corresponent a un producte del que sap el preu final (amb IVA carregat) i cal desglosar-ho.

La regla de tres i en Claudi Alsina

Tenim dues referències sobre la regla de tres, fetes per Claudi Alsina famós i divertit matemàtic de professió i divulgador de vocació. La primera és un innocent acudit publicat al número 3 de la revista l'Escaire (1979).

La segona referència és una frase dita, si més no contundent, en una xerrada als anys 80 on intentava explicitar l'estat de la didàctica de les Matemàtiques al nostre país:

"La regla de tres es diu així perquè solament s'explica a tres països: Espanya, Grècia i Portugal"

Llegida actualment, un pensa si "rescat" i "regla de tres" tenen alguna relació.

Molts anys després d'escriure aquest post, al 2018, durant una sessió del mòdul 2 del curs ARAMAT, analitzant els càlculs basats en la proporcionalitat involucrats en una activitat sobre estadística "Nombres en persepectiva", va surgir la reflexió sobre la falta d'estratègies alternatives a la regla de tres i vam acabar analitzant les taules de proporcionalitat com a estratègia eficient per a aquests càlculs. Aquest vídeo resumeix aquesta discussió:

MAMA POR!

Estem contents: els posts publicats sota el títol "Matemàtiques al carrer" han tingut una bona acollida. Sobretot ens han reafirmat la idea que mirar la realitat des d'un punt de vista de "plantejador de problemes" ens obre les portes a un treball molt interessant, creatiu i proper als alumnes.

Però sobretot estem contens per veure la interacció que poden produir posts com aquests: no feia ni un dia que estava penjat el post del pàrquing, que ja rebíem propostes de nous reptes, reflexions sobre els problemes plantejats i qüestions per a pensar-hi de nou.

Prova d'això és la resposta enviada pel bon professor i enemic íntim "JJ". Després d'enviar-nos dos comentaris curts, que ja amenaçaven, va enviar-ne un de llarg. En aquest darrer ens diu que els dos primers eren precipitats, que aquest és "el de veritat" i que publiquem, si ho trobem oportú, solament aquest darrer. Finalment hem decidit dedicar-li un post.

Creiem que la millor manera de transmetre la impressió que vàrem tenir després de llegir el seu comentari és la que més o mes o menys  reflecteix la criatura de la fotografia

photo credit: maestropastelero via photo pin cc

El Comentari d'en JJ
Ara va un comentari que potser és massa llarg per fer-ho com a comentari.
Aquest matí estava fent una feina de molta concentració i estava cansat. Per desconnectar m'he posat a mirar-me lo del puntmat i he fet el primer comentari. He seguit fent feina i m'he pres uns segons de descans fent un excel per mirar-m'ho. He fet el segon comentari. Però m'ha quedat un run-run. Primer he vist que m'havia equivocat hi havia fet els càlculs per 2 minuts en comptes de dues hores. Però el run-run seguia i al cotxe s'ha fet la llum: tants decimals no serveixen per res.
Ara a casa he fet un altre excel
Suposant que un cotxe s'està dues hores al pàrquing i que passen un milió de cotxes de tres decimals a sis la diferència és 2760 €. Si imaginem que cada dues hores canvien tots els cotxes d'un pàrquing de 600 places al milió s'arriba en menys de mig any. Però l'error està aquí. És com si comptéssim que és un sol cotxe que s'està dos milions d'hores i això és fals. El que és cert és que cada vegada, a cada cotxe quan paga se li fa el càlcul i el seu arrodoniment a dos decimals.L'efecte acumulatiu es perd. L'arrodoniment pot ser a l'alça o a la baixa.
He mirat quina importància té el tercer decimal en l'arrodoniment. Curiosament és inferior al 50% per l'excés. Hi ha més arrodoniments a la baixa que a l'alça. El 8, com a tercer decimal, fa 4 excessos i 6 defectes. El 5 fa un 50% de cada.
Jo crec que als pàrquings on es foten és en l'arrodoniment a l'alça del temps: 3 min i 20 seg seran 4 minuts.
Per tant el reguitzell de decimals crec que només fa una funció psicològica: fer creure que el preu és molt ajustat i que al ser 0,0.... amb molts decimals és un nombre molt petit.
M'hauré de pensar el cas de la benzina. Si jo fos benziner sempre posaria el tercer decimal amb 6 o 9. Són els més alts amb 50% d'excessos. Feu amb aquest macrocomentari el que vulgueu. O discutiu-me'l que potser alguna cosa se m'ha escapat.

El nostre comentari
Després del "canguelo" inicial ens ha tornar la alegria: pensar que les situacions obertes obren un espai molt interessant. Pot passar que molts cops la intervenció dels alumnes  ens desmunti la nostra idea inicial. És possible que entrem a una discussió que fins i tot, d'entrada, ens depassi a nosaltres. Ens trobarem que l'haurem d'atacar colze a colze amb els alumnes. Hi ha alguna cosa millor que aquesta?.

 Finalment: esteu d'acord amb el que diu en jj en el seu comentari?

clicar a  la imatge per accedir al post

No ens allarguem més. Estem "perdent" la tarda del dissabte intentant resoldre el maleït  problema dels pingüins que ens ha proposat en JJ en el seu últim post (clicar imatge per accedir-hi) li maleïm, de nou, els ossos.

Explica com ho has fet

Parlem aquí de la importància que té, des del punt de vista de l'aprenentatge de les matemàtiques, l'explicació raonada del procés realitzat per obtenir la resposta a una activitat, sigui oberta sigui rutinària, i que per definir-ho en una frase l'associaríem a: explica com ho has fet. Diríem que aquest requeriment final hauria de convertir-se en un hàbit per part del mestre.

Importància de les tasques proposades
Pot semblar que això que diem és propi de nivells alts, però de fet depen mès del tipus de tasca que no de l'edat. Si treballem el càlcul des del punt de vista de les estratégies i no únicament dels algorismes, viem que els alumnes "pensen"... i molt

Davant l'operació 25+15 en un curs de primer d'Educació Primària, normalment el que trobem escrit en els fulls dels alumnes és un algorisme en vertical amb el resultat a sota. Però si abans de presentar els algorismes treballem el càlcul de sumes com a objecte d'investigació, ens podem trobar amb treballs matemàtics profunds. Un exemple el tenim en les dues respostes següents d'un alumne d'una mestra excel·lent (Maria Roca).

• En la primera l'explicació veiem com l'alumne necessita modelitzar la situació fent ralletes i puntets per representar els dos nombres sumant després desenes amb desenes i unitats amb unitats.

• Uns mesos després, la manera en que l'alumne s'explica canvia de la representació a la simbologia, bastant informal, però d'una gran qualitat i exhibint un ordre en l'organització espacial dels càlculs on es reflecteix el proces seguit  

Aquestes "descripcions" que fa l'alumne ens permeten saber quin procés ha seguit, veure les seves dificultats i com les soluciona. La nostra interpretació sobre què fa el nen en el cas de la primera suma és la següent (lliure interpretació dels autors del bloc)

• 30+30 fan 60
• per calcular 8+3, fa 8+2 que li dóna 10 (que no escriu)
• aquest 10 amb els 60 d'abans fan 70 i com que l'ha d'afegir l'1 que li havia quedat pendent, li dóna 71
• posa el resultat on toca (és a dir al començament a l'esquerra)

Recolzar-se en fets coneguts per calcular fets desconeguts
En l'anàlisi de la segona resposta volem fer referència sobre les habilitats utilitzades. Aquest alumne de 6 anys, sap alguns resultats de memòria: descomposicions del 10, dobles etc. i desenvolupa la seva estratègia fent servir aquests fets coneguts per deduir-ne els altres. Per exemple: encara que no escriu tots el passos, per fer 6+6, fa el doble de 5 (que sembla que sap de memòria) per posteriorment sumar-li els 2 descomptats al principi

Aquesta manera de calcular per deducció és la mateixa que apareix en el vídeo inclòs en el post dedicat a rapidesa d'operacions on uns quants alumnes, acabats d'arribar a primer, mostren les seves estratègies emergents per a calcular 4+3.

Aquesta manera de construir el càlcul és pròpia d'alguns alumnes que la desenvolupen de manera natural, és a dir no s'esforcen en memoritzar tots el resultats deslligats sinó que n'aprenen uns quants i els altres els dedueixen de manera fàcil. Aprofitem això, a partir de treballs cooperatius i discusions grupals, perquè aquesta manera de fer arribi a tots els alumnes possibles.

D'alguna manera aquesta explicitació dels raonaments que fan els alumnes que obtenen millors resultats en Aritmètica és la base on recolzar-se per aconseguir que tots els nostres alumnes de Cicle Inicial passin del càlcul comptant al càlcul sense comptar (un càlcul construït entretexint fets coneguts i fets derivats).

En aquest sentit voliem acabar amb una frase de E.Gray "Les matemàtiques que fan els alumnes més exitosos és, per a ells, relativament simple, mentre que els alumnes menys capaços estan fent un tipus diferent de matemàtiques que sovint és intolerablement difícil.". Podeu trobar l'article d'on prové aquesta frase aquí.

"Tunning" d'algorismes

Un dels últims números de la revista "Perspectiva Escolar", editada per la institució Rosa Sensat, porta per títol "Enterrar els algorismes", títol potser una mica exagerat ja que els algorismes, o millor dit, el procés d'algoritmització és un aspecte molt important del pensament matemàtic.

Pensem que el que està en discussió i cal acabar-la d'una vegada és amb el paper organitzador del currículum que juguen els algorismes en el nostre país. 

Mentre això no passi, mentre no sigui acceptat socialment i potenciat des del Departament d'Ensenyament/Educació, continuaran sent treballats pel mestres, com aquells cotxes vells amb els que hem fet molts viatges ja que ens donen seguretat i confiança.

Arribats aquí  i mentre que no canviem el cotxe, el mínim que podem proposar és "tunejar-lo", i actualitzar objectius, connexions i metodologies.

Aquest és un exemple de full dels que normalment s'utilitzen a moltes escoles. Anem a  "rentar-li la cara" intentant convertir-lo en una tasca més actual. El full agafat a l'atzar, està dirigit als alumnes de sisè de Primària. No hem canviat cap exercici.

Primer comentari: estimar resultats abans de calcular
Fer una primera aproximació a la tasca per valorar el resultat que ha de donar és una bona oportunitat per poder fer estimacions. Els alumnes haurien d'anotar  l'operació que fan mentalment. Les respostes podrien ser com les següents: Cal destacar que apart de treballar estimació es poden posar de manifest estratègies interessants (multiplicar per 0,25 és el mateix que fer 1/4 o dividir per 4)

• 4,123+625+37,29+492,1         600+500+40+5 =1150
• 892-9,68=                                900-10= 890
• 3,048x 4,53                              3x5 =15. O per acotació: "entre 12 i 20  (3x4) i (4x5)
• 23,57x0,25                               24:4= 6
• 678,45:82                                 800:80 =10. Afinant més:  720:8= 9
• 4536,94:957                             5000:1000= 5.

En el cas de fases inicials, multiplicacions o divisions per, o entre, nombres entre 0 i 1 com per exemple 23,57:0,25  podem demanar-los solament que diguin si serà més gran de 23,57 o més petit... i justificar-ne el motiu.

Segon comentari: perquè fer la multiplicació si l'objecte d'avaluació és posar la coma?

Mirant un full realitzat pels alumnes veiem que per fer les multiplicacions els alumnes realitzen l'algorisme de la multiplicació amb naturals i un cop acabada, posen la coma al final. Que us semblaria canviar la tasca i plantejar-la directament més o menys amb aquests termes  "Si 24,526x3,23 =  , quan dóna 23,57x0,25? i així realment treballaríem el contingut establert.

Però podem anar molt més enllà.Tenint en compte que les Matemàtiques a l'escola han de deixar de ser un compendi de formules i truquets, caldria deixar de banda aquestes pràctiques de "córrer la coma" per a anar a buscar la solució per un camí més conceptual, aplicat l'acotació.

Si sabem que 24526x323 = 7921828 quan donarà 24,526x3,23? 

Podem pensar que està entre 60 i 120 (20x3  i 30x4) per tant el resultat serà 79,7288, convertint així l'estimació no ja en un recurs de control (com jugava en el comentari 1) sinó en una eina intel·ligent de presa de decisions.

Ningú nega que a la llarga s'acabi "corrent la coma" ja que és més ràpid, però fer-ho d'entrada "mata" la reflexió i el coneixement de les operacions amb decimals.

Tercer comentari: la correcció

En el cas de l'escola de la que hem tret aquest full, el sistema emprat era l'autocorrecció, però pel que coneixem, continua subsistint la correcció a la pissarra sobretot a 4t, el paradís dels algorismes. La dinàmica típica és la següent: deures ja fets (o no) pels alumnes . Nen o nena a la pissarra, sense el seu quadern surt a resoldre l'operació. 

Com vàrem sentir explicar al bon amic Lluís Segarra: "Corregir a la pissarra no serveix per res: la mestra s'avorreix. L'alumne de la pissarra pateix. Els que en saben ho troben inútil, i els que no en saben esborren el que han fet, copien la de la pissarra i molt cops no poden perquè a mig fer  esborrem la pissarra per passar a corregir la nova operació. No serveix per a ningú!!!"

Aquí si que necessitem un tunning fort de xapa i pintura.

Quart comentari: implicació, formació i aprenentatge dels mestres

"Tunnejant" el producte ens podem trobar que també els mestres, fem una actualització matemàtica (no solament metodològica). En el cas de estimacions i estratègies fer els exercicis del full abans de posar-lo, veure quina és l'estratègia d'estimació que utilitzem, si n'hi ha més d'una i quina és la més eficient, obrirà portes que enriquiran les discussions de classe ja que tindrem noves  "bones preguntes" a fer.

Pels valents que vulguin posar-se a aquest joc hem deixat sense comentar la divisió amb decimals. Us la deixem per a vosaltres i els vostres alumnes. Ens encantaria que ens enviéssiu un treball d'alumnes amb la resposta i la justificació. la publicarem.

"Quan donarà 375,28÷2,6, si 37528:26=1443,3846"

 O si no la seva alternativa, (que ens agrada més): "divideix 375,28:2,6 utilitzant la calculadora. No pots utilitzar la tecla de la coma. Explica com ho has fet"

Resta portant-ne (I)

Gairebé podríem afirmar, sense risc d'equivocar-nos, que aquest és el tema més debatut en didàctica al nostre país: en generacions i generacions de claustres ha estat objecte de discussió i, fins i tot, ha creat tibantors entre els mestres. Això no és normal. Alguna cosa passa.

Perquè no tenim el tema tancat com molts d'altres?
Aquesta preocupació generalitzada té alguna cosa misteriosa que no acabem d'entendre, el que ens fa  pensar que això de la resta portant-ne no és només un algorisme, sinó l'última icona d'alguna religió desapareguda. Una de les raons per les que pensem que és un fet de caire religiós, és que per anys que passin i canvis que apareguin es continuen fent les mateixes preguntes transcendentals, que gairebé podríem anomenar "misteris" i que són les següents

1. Els alumnes no entenen la resta portant-ne. Com podem fer per arreglar-ho?
2. Quin dels dos algorismes (en general, la gent els anomena "mètodes" o "maneres") de restar és el més aconsellable: el de tota la vida, on "les que es porten" s'afegeixen al subtrahend, o el més "comprensiu" que ho treu del minuend? (veure nota)
3. Si triem l'algorisme "comprensiu", quan arribin a cursos superiors, l'hem de canviar per l'altre o continuar amb el mateix?

Nota: en alguns països d'Amèrica del Sud, per exemple, el segon misteri no existeix, ja que el seu algorisme estàndard, de "tota la vida" és el que aquí hem anomenat comprensiu, el que fa desaparèixer també el tercer misteri.

Constatacions recollides al dia a dia

 1. A l'escola d'Estiu de Rosa Sensat d'aquest passat mes de juliol, vàrem escoltar la següent conversa:
A: "Hem canviat de llibre de text perquè els nous llibres de l'editorial que fèiem servir des de fa anys no inclouen la resta portant-ne a segon"

B: Però heu llegit el nou currículum del Departament? Diu explícitament que no s'ha de fer fins a cicle mitjà!

A: Si que ho sabem, però hi ha una part important de professorat que no hi està d'acord.

2. En molts dels cursos de formació o assessoraments que fem els de "PuntMat", sigui quin sigui el tema, quan ja portem uns dies junts, hi ha algú diu: "et volia fer una pregunta, no té res a veure amb el tema, però... i la resta portant-ne?" El més divertit és que ja no especifiquen més. Solament dient el títol (resta portant-ne) l'interlocutor ja sap les preguntes (els misteris).

3. Mercat de Gràcia: a l'escola del meu nen fan la resta portant-ne a tercer, però a la del seu cosí la fan a segon. Aniré a parlar (protestar) amb la mestra.

Un conte que podria deixar de ser-ho
La Marta, és una mestra novell, però amb molta iniciativa, no coneixedora encara dels misteris de la resta portant-ne. Al mes març comença una substitució de tres setmanes. Pel que fa a les matemàtiques, li toca fer la resta portant-ne.
El primer dia fa una petita observació i s'esgarrifa: la cosa no funciona, els alumnes no entenen el que fan, no sap com explicar-ho, etc. En arribar a casa seva, es planteja què fer. Fullejant un llibre de Brian Bolt troba un algorisme diferent, i decideix utilitzar-lo. A l'endemà i utilitzant la pissarra digital ho ensenya als alumnes.

No feia ni una setmana que havia acabat la seva substitució que va rebre un e-mail de la mestra titular felicitant-la per la seva feina i els seus resultats!.
El conte ens porta a formular una pregunta: un cop la Marta sigui responsable d'una classe durant tot l'any què ha de fer? explicar l'algorisme que li ha donat tant bon resultat o canviar a fer l'algorisme de tota la vida? Vosaltres que li aconsellaríeu i per què? Teniu l'apartat dels comentaris per a discutir-ho. Creiem que podem tenir un bon debat si us animeu. 

Protagonisme de la resta

El fet que, a més, se li hagin dedicat cançons és una prova més de la singularitat d'aquest algorisme. La cançó és obra de Thom Lehrer 

El dia 25/06/21015, en Dani Ruiz ens ha fet arribar un segon vídeo que ajuda a seguir millor l'anterior (als no "angloentenedors potents")

 

Dos comentaris
És fàcil justificar l'algorisme "constructiu" de la resta, però l'algorisme de la resta de Bolt també té una justificació bastant fàcil. Us donem una pista als comentaris.
Pel que fa a la relació algorisme/habilitats, durant el segon trimestre del curs passat, hem estat observant nens i nenes de tercer. Hem constatat que forces alumnes resolen correctament restes portant. El problema és alguns tarden  molt. La raó és que les restes parcials (tipus 14-8) les resolen amb els dits. Aquest sí que és un problema, que per cert queda amagat darrera una resta correcta escrita en un paper. A més si un nen tarda molt en fer una activitat mecànica, comença a pensar que les matemàtiques són "un rollo"

Reflexió final

Caricatures postvacances apart, i parlant seriosament: cal deixar tancat d'una vegada el tema dels algorismes. És possible que no hi hagi una única sortida. El que actualment ja no és aconsellable ens continuar fent pàgines d'algorismes. A més guanyarem molt temps per fer Matemàtiques de veritat.
Un segon problema és que es confon "saber restar" amb saber fer l'algorisme. Es desvia la importància de la part conceptual, la comprensió de les operacions i les seves propietats.
Cal plantejar-se per què els algorismes escrits continuen sent "de facto" els organitzadors del currículum. Dit d'una altra manera: en una societat on les calculadores les portem en el mòbil, cal centrar el currículum per competències en que els alumnes sàpiguen solucionar els problemes aritmètics (amb nombres a l'abast) amb altres eines que no pas solament l'algorisme: les estratègies de càlcul.

Posts relacionats: Resta portant-ne (II)  Resta portant-ne (III) i Resta portant-ne (IV)