Onze pomes

Vam conèixer aquest joc a les jornades sobre materials manipulatius i jocs que està organitzant la UAB per celebrar els 25 anys de la Facultat de Ciències de l'Educació.

Gaire bé en simultani vam escoltar al Jordi Deulofeu parlant d'aquest joc en el programa sobre "Aprenentatge i Joc" de DEUWATTS (Btv)

Es tracta d'un joc dissenyat per Juan Carlos Pérez Pulido que s'ha comercialitzat amb noms com "22 pommes" o "11 Äpfel". Les seves regles de joc estan descrites aquí en francès:

Aquí les trobareu en català. I aquí en castellà. Com veieu es tracta d'una manera fantàstica de practicar les descomposicions de l'11, al mateix temps que es desenvolupen estratègies de joc.

El podem materialitzar amb un click i cubets encaixables: quatre torres de 5 cubets verds, quatre torres de 5 cubets vermells, tres torres de 3 cubets verds, tres torres de 3 cubets vermells, dos torres de 2 cubets verds, dos torres de 2 cubets vermells, tres cubets verd i tres cubets vermells.

El puzle de la graella del 100 (2)

En el post anterior "el puzle de la graella del 100" ens havíem quedat aquí: un cop completat el puzle ens vàrem adonar que faltava una peça i la mestra, l'Ana, va proposar als alumnes que construïssin la peça faltant, per completar-lo. 

Al dia següent, a la classe, es realitza la activitat de construcció de la peça. En una taula central hi ha el problema "plantejat". Dibuixar una peça que ompli el forat. Es treballa en grups, cadascun a la seva taula, i els alumnes es desplacen a la taula central quan necessiten recollir dades.

1.Agafant dades necessàries per omplir el forat. 2. Dibuixant la peça sobre paper utilitzant els instruments necessaris. 3. La peça dibuixada.

Ara cal posar els nombres que hi falten

Encara que de vegades no acaba de sortir el que preteníem. Aquest és un exemple. Cal dir que hi van haver altres errades (que no hem reproduït  al blog) com: col·locar els nombres correctament però girats 90º en relació als altres, omplir la peça amb els nombres 20, 43, 44 i 54, errades de precisió, com es veu a l'imatge inferior etc.

Uiii! per poc. Encara que l'instrument de la mesura que utilitza la nena no sabem si serà del tot útil.

L'anècdota

No hi ha res que ofereixi estratègies més imprevistes que deixar que els alumnes es "barallin" amb els reptes utilitzant els seus recursos. Es fantàstic deixar fer, però també portar a classe discussions sobre quines estratègies són més eficients, quines poden portar a més errades, etc. Expliquem la de la nena de la última imatge:

1. Obra els dits per pendre la distància que li fa falta
2. Va cap a la seva taula, en arribar xerra amb el company que li fa una pregunta, després es mira els dits i se n'adona que la mida "ha crescut"
3. Torna a la taula central a prendre la mida de nou, i... torna corrent! amb els dits marcant la nova distància. Es veu que la velocitat es inversament proporcional a la possibilitat d'errada
4. Posa "la distància" sobre una línia recta que els seus companys tenen dibuixada sobre un paper
5. El seu company li pren la mida de la distància entre dits amb una regla, no sense haver-li fet canviar la inclinació de la mà tres o quatre cops, i diu: "8 centímetres"!

Aquesta és una anècdota, però és que si entrem a les diferents maners de prendre mides dels alumnes quan la situació no és "academitzant" podríem omplir dos posts més. El millor és que ho proveu vosaltres, segur que n'apareixeran moltes a la classe, si els deixem fer.
La pregunta important a fer-nos és: com hem d'actuar perquè la propera vegada cada alumne arribi un pas més enllà del que ha fet avui? si "manem molt" malament! però hem d'intervenir per a que millorin, oi? Com? Aquest és el repte.

Taules de multiplicar II

Ja fa més de dos anys vam publicar una entrada Taules de multiplicar I que avui reprenem per complementar amb una troballa casual, aquestes que compensen les hores dedicades a reorganitzar l'armari del material manipulatiu d'una escola abans de començar el curs.

En aquella entrada a partir d'un applet vam analitzar un joc no difícil de materialitzar a partir de la construcció de nou tetraedres que en les seves cares contenen els 36 resultats diferents que s'obtenen en les taules des de 1x1 a 9x9.

El disseny d'aquests tetraedres no és elemental: com s'han de distribuir els 36 valors sobre les 36 cares de manera que es puguin desplegar simultàniament els nous resultats de qualsevol taula (des de la taula de l'1 a la taula del 9)?

El desplegament dels nou resultats de la taula del 6

Presentem a continuació dues de les 188 possibles distribucions dels 36 nombres en els tetraedres:

Jon Millington va extendre aquesta idea dissenyant Tables Cubes un joc com l'anterior però per desplegar els resultats de les taules des de 1x1 a 12x12 (en relació a la discusió de si les taules acaben en el 9 o en el 12 recomanen l'article Is There Any Point to the 12 Times Table?)

En aquest cas els resultats diferents passen de 36 a 59 i els poliedres de suport d'aquests resultats passen de 9 a 12. Clarament amb les 4 cares dels tetraedres és impossible obtenir 59 resultats per tant s'ha de recorrer a cubes malgrat que sobraran 13 cares.

Aquí tenim dues possibles distribucions dels 59 nombres en els dotze cubs (deixant en onze cubs una cara lliure i en un cub en deixem dues):

El material que vam trobar fa uns pocs dies i del que parlàvem a l'inici d'aquesta entrada és justament el desenvolupament dels cubs dissenyats per Millington:

Jocs i pràctica del càlcul: golf

Una de les tasques que cal realitzar quan fem matemàtiques és l'exercitació o pràctica de certes habilitats. Per exemple: si estem fent operacions molt elementals tipus 34:8, acostumem a proposar un seguit de divisions del mateix tipus fins que els alumnes assoleixin el mecanisme per obtenir la resposta. És el que en podríem dir pràctica reproductiva en la que l'objectiu és dir el resultat correcte (en el cas de l'exemple: 34:8=4r2, o sigui, quocient 4 i residu 2).

Però també podem optar per proposar una situació, un joc o un repte que impliqui mobilitzar d'una manera diferent les habilitats que volem practicar. Per exemple, es podria utilitzar l'applet "remainders count", on donats tres nombres cal triar una divisió, entre totes les possibles, de manera que el residu obtingut sigui el més gran possible. En aquest cas estaríem parlant de pràctica productiva, ja que l'objectiu es buscar el residu més alt i no únicament reproduir un procediment. En l'exemple de la figura l'alumne ha de triar entre totes les divisions possibles a realitzar amb un 3, un 4 i un 5, 34:5, 54:3, 45:3 etc., quina serà la que li donarà el residu més alt (el que es traduirà en més punts).

Versió casolana de l'activitat proposada a l'applet

En aquest sentit presentem una activitat d'un autor "històric", Brian Bolt, un gran creador d'activitats matemàtiques, reptes, miniprojectes, etc. que responen a aquest segon tipus de pràctica. Una de les més famoses d'aquestes activitats ha estat el "Golf amb calculadora".

Apareix en el llibre "Más actividades Matemàticas" (la primera edició en anglès d'aquest llibre és de 1985) i consisteix en reproduir una competició de golf, on cada forat porta associat resoldre una situació de càlcul fent estimacions successives i que ve plantejada en una targeta com la que apareix a sota, on es pot veure quin forat s'està jugant, el repte plantejat i la dificultat ("par 4" vol dir que 4 és el nombre d'intents que es considera adequat per posar la bola al forat).

Reproducció d'una de les targetes 
del llibre de Bolt

Descrivim el procés que podria seguir un alumne que hi juga:

1. Fa una primera aproximació: 7,5. Amb l'ajuda de la calculadora calcula el seu quadrat: 56,25. No hi arriba.
2. Prova amb 7,7. Nou resultat: 59,29. Passa de llarg
3. Després: 7,6. Resultat: 57,76. Passa de llarg
4. Finalment, tria: 7,55. Resultat 57,002. Forat! 

Ha aconseguit fer el repte en 4 cops i per tant a fet el par. El nombre de punts obtinguts per l'alumne serà doncs 4, i passa al forat següent. Si ho hagués fet en tres intents, hagués aconseguit 3 punts i si haguessin estat 5 els intents, obtindria 5 punts. Guanya qui acumula menys punts al final de 9 forats (es pot dissenyar el camp amb la quantitat de forats que creieu adequats)

Entreneu una mica i busqueu estratègies guanyadores

Us deixem alguns exemples extrets del llibre perquè us divertiu una estona. Aneu per sobre o per sota dels "pars"

Algunes consideracions relacionades amb el joc a classe
Es proposa que la calculadora la porti un "jutge", un alumne que és qui fa amb ajuda de la calculadora l'operació indicada a la targeta amb el nombre triat pel concursant.

A més de pràctica, aquest joc afavoreix la creació i discussió d’estratègies. Per exemple, l’autor en comenta una que podríem definir com “estratègia raonable”: anar fent mitjanes de les estimacions anteriors i la compara amb una altra estratègia que podría seguir una altra alumna.

 “L’estratègia de Pedro de fer la mitjana de les seves estimacions anteriors, sempre li garantirà una puntuació raonable, però sens dubte el joc més imaginatiu de Susana li farà guanyar més forats"

Les targetes

1. Disposar d'una bona col·lecció de targetes per aplicar a classe ens pot generar una dinàmica molt interessant.
2. Podem deixar als alumnes que fixin el par de cada targeta a partir de fer un recull de diferents partides. Un cop establerta ja ho podem apuntar a la targeta.
3. Els exemples plantejats són per al cicle superior de Primària o per a l'ESO, però es poden generar targetes al nivell que es vulgui.

El joc a la xarxa

Si us animeu a portar-ho a classe no us podeu oblidar de consultar la pàgina d'en Joan Jareño. Ens presenta no solament el Golf sinó també una informació molt completa sobre les diferents maneres de puntuar. Per trobar-li un defecte podríem dir que no queden apuntats en pantalla els resultats parcials, dada necessària per poder afinar el següent cop, però els alumnes ho solucionen portant un paper i apuntant.

Per accedir al joc prem aquí

Una divertida anècdota històrica

Fa una pila d'anys, Brian Bolt en una de les seves visites al nostre país, va fer una sèrie de xerrades a diferents llocs de Catalunya. El "Golf amb calculadora" era una de les seves activitats estrella. Per presentar-lo ensenyava la targeta que apareix en la següent imatge i preguntava als assistents pel valor de "x". La primera resposta obtinguda mai responia a la condició, anotava a la pissarra el resultat, i  tornava a preguntar pel valor de "x", ara ja amb un referent que donava una fita del nombre buscat.  Continuava així fins que al cap de 4 o 5 intents s'aconseguia trobar un valor adequat.

Quan va anar a Reus a fer la mateixa xerrada va tenir la poca vista (ningú l'havia avisat) de demanar-li a en Ton Vila, professor d'institut i un dels pilars de l'associació de professors de matemàtiques de la zona, que fes el primer intent... i va el "tiu" i ho clava: 22,37.

En demanar-li com ho havia pensat en Ton va contestar:

• 500 és 100 x 5 
• l'arrel quadrada de 500 és l'arrel de 100 (que és 10) per l'arrel de 5 (que em sé de memòria: 2,237)
• per tant 22,37 podrà estar a l'interval demanat.

Val a dir que el ponent va tardar uns segons a reaccionar: li havia xafat l'activitat, però pensem que per altra banda va quedar content veient la potencialitat que podia tenir el joc si saps triar bé els nombres.

Avaluar el compatge 2

En aquesta entrada presentem tres exemples que complementen el post  "Avaluar el comptatge, competències?":  un applet, un text de la Constance Kamii  i una app d'iPad

Un applet

enllaç

En aquest applet es presenta un seguit d'imatges en cadascuna de les quals els alumnes han de triar quina de les tres "safates" és la indicada per posar a cada pallasso el seu complement corresponent, en aquest cas el llaç. Altres pantalles porten boques, parelles d'ulls, barrets, etc.

Aquest és un applet fàcil de materialitzar, és a dir, de convertir-lo en un joc de taula per tenir-lo en un racó i fer-se manipulativament. Podeu trobar altres exemples de materialitzacions en el bloc.

Una pàgina del llibre de Constance Kamii

Un dels casos que recull en el seu llibre  "El número en la educación preescolar" (1984) ens dóna un exemple molt il·lustratiu, de la dificultat que representa el "saber comptar". De fet és semblant a  l'activitat dels cotxes o la dels pinzells del post citat anteriorment, però fruit d'una observació sistemàtica.

 "Una madre pedia a su hijo de cinco años que todos los días a la a la hora de la comida pusiera una servilleta en el plato de cada uno. Normalmente se sentaban cuatro personas a la mesa. Jean-Pierre sabia contar hasta 30 o más. Sin embargo iba al armario a coger la primera servilleta y la colocaba en un plato, volvía al armario a coger una segunda servilleta que colocaba en el segundo plato y así sucesivamente realizando un total de cuatro viajes. A los 5 años y 3 meses y 16 días, pensó espontáneamente en contar los platos, contó cuatro servilletas que habia de sacar del armario y las distribuyó en la mesa. Actuó de esta forma durante 6 días. El séptimo dia llegó un invitado y por lo tanto hubo un plato más de lo habitual. Jean-Pierre cogió cuatro servilletas como de costumbre, las distribuyó, y se dió cuenta que un plato seguía vacío. En vez de coger una servilleta más recogió las cuatro que estaban ya en los platos y las volvió a llevar al armario. Luego comenzó otra vez y realizó cinco viajes para llevar a cabo la tarea. Al dia siguiente el invitado no estaba, pero Jean-Pierre continuó haciendo cuatro viajes durante cinco dias más hasta que volvió a descubrir el contar..."  

Dos comentaris: el procés del comptar és molt més complex del que sembla en principi i, benvolguts pares i mares, per ajudar als fills a que aprenguin a comptar: feu-los parar taula més que intentar ensenyar-los com es fa. Caurà  pel seu propi pes quan toqui.

Finger Numbers: comptatge sobre un ipad

Continuant amb la idea d'associar dos conjunts del mateix nombre d'elements comencen a  sortir propostes molt interessants. Un exemple desevolupat per a treballar amb ipad és el següent:



A la part superior surten diferents representacions dels nombres i l'alumne ha de deixar tantes empremtes digitals com indica el nombre. Ens agrada!

Applets de divisibilitat

Els primers passos en divisibilitat giren sobre al idea de múltiple, divisor i la descomposició de nombres en producte de primers. Podríem dir que si quan treballem les taules de multiplicar partint del resultat  (42= __x__) comencem a entrar en el camp de la descomposició en factors.
Si demanem que enlloc de descompondre en dos factors ho facin en tres, quatre etc, arribarem, de manera natural, a la descomposició en factors primers a partir de les idees emergents dels alumnes. És per aquesta raó que comencem aquesta presentació d'applets per un joc restringit a les taules de multiplicar, per després anar entrant més a fons en el tema.

NOTA: Per a accedir als applets cal clicar a sobre de les imatges

Quatre en ratlla

Joc per dos jugadors. Cal aconseguir "pintar" quatre nombres en línia. Exemple: primer jugador: si vol  pintar el 18 ha de generar-lo a partir de dos dels nombres de la tira inferior. Per a fer-ho ha de situar el rectangles dels extrems sobre dos nombres de manera que el seu producte sigui 18, com per exemple  el 9 i el 2 (o també el 6 i el 3).  Un cop fet, el 18 queda marcat a la graella amb el color del jugador i passa el torn al jugador següent que ja solament podrà moure un dels dos rectangles. Podríem dir que aquí comença la part estratègica del joc.
És fàcilment "materialitzable" és a dir es pot convertir en joc de taula  per poder treballar sense ordinador.

Ànecs que corren

Applet d'exercitació que té certa gràcia: segurament caldrà anul·lar el so als ordinadors si no voleu que la classe es converteixi en un galliner. Té diverses opcions que van des d'identificar parells i senars, fins a la identificació de potències de 2 o quadrats perfectes, passant per la identificació de múltiples d'un nombre concret.








Factoritze2: una visió geomètrica de la descomposició en factors

Identificar un producte amb el model rectangular, és a dir amb una visió geomètrica, ens obre les portes a veure que els nombres es poden representar en forma de "barra" (rectangles amb un costat que mesuri 1) en forma de rectangle i alguns d'ells en forma de quadrat. D'aquí pot sortir, de manera natural, la idea que un nombre primer és aquell que solament es pot representar en forma de barra. A més a més ens obre les portes a il·lustrar per què diem nombres quadrats als nombres elevats a dos.


La caixa forta

Per obrir la caixa forta cal prémer tots els divisors del nombre que surt al centre i clicar a la maneta.
Presenta dos nivells. En el segon nivell de dificultat (amb nombres entre 101 i 199) és quan cal utilitzar, de vegades, la calculadora. Per exemple per saber si 858 és múltiple de 7 poden provar a fer 70x12=840, i a partir d'aquí veient que els 18 que falten no són múltiples de 7 el nombre no ho és. La genialitat és que la calculadora no té tecla de dividir!

Arbre de factors i càlcul del mcd i mcm

Aquest applet, ja ha estat comentat en dos posts d'aquest bloc: "Un algorime més transparent per a calcular el MCD" i "Més sobre l'arbre de factors". Ens planteja un camí  alternatiu al model de factorització que normalment utilitzem. Per altra banda, "fórmules" del tipus "comuns i no comuns elevats a l'exponent més gran" desapareix del mapa per donar lloc a una proposta molt més transparent. Per més informació  mireu  els posts citats.

Factor game: dominar els divisors i tenir estratègies

Joc per a dos jugadors, el primer tria un nombre, per exemple el 28 clicant a sobre. El segon jugador ha de clicar els divisors propis del nombre, en aquest cas 1, 2, 4, 7 i 14.
El primer jugador guanya tants punts com el nombre triat (28) i el segon guanya tants punts com el resultat de la suma dels divisors que ha escrit (1+2+4+7+14 = 28). En aquest cas dóna també 28, com en el cas del 6, per això s'anomenen "nombres perfectes", però en general no passa.
Un cop s'ha utilitzat un nombre tant dels que s'han triat com dels divisors, ja no es poden utilitzar més. Per quin nombre començaríeu a jugar? i si fóssiu el segon jugador, quina seria la vostra estratègia?

Vols ser milionari...comptant cares?

Seguint en el món dels jocs, en presentem un de televisiu: "Vols ser milionari?" El vàrem trobar a Mathplayground.com i proposa una "partida" en la que les preguntes a formular són de l'àmbit matemàtic. Disposa de totes les ajudes del programa televisiu: el comodí del públic, el de meitat i meitat i el de consultar l'opinió de l'expert. Jugueu-hi una estona. Cal dir que cada cop que s'obre presenta preguntes diferents.

Per accedir al joc, clicar aquí. Comprovat el 5/03/2012

Volem remarcar que contestar un test d'elecció múltiple, genera unes estratègies diferents que poden ser força interessants, ja que incorpora una idea poc treballada: la de descartar solucions no possibles. Les "Proves Cangur" en són un bon exemple i un bon banc de dades per a consultar.

Aspectes del joc que ens agraden

Participar en aquest concurs implica que els concursants, en aquest cas els nostres alumnes, han de pensar les coses dues vegades abans d'actuar, actitud força positiva, per cert.  No com en altres jocs d'ordinador que "van provant botons" fins que l'encerten. En aquest joc, quan t'equivoques no solament s'acaba la partida, sinó que pots perdre diners que ja tenies guanyats: això implica saber retirar-se a temps i a més, gestionar els comodins amb prudència. Per a qui no conegui el joc, heu de saber que existeix la possibilitat de demanar tres ajudes (o comodins) que es poden fer servir només un cop cadascun: demanar al públic quina solució agafaria, demanar que s'esborrin dues solucions falses i així facilitar la tria o demanar a un expert, que està a l'altre costat del telèfon, que et doni la solució.

Experiència a classe de 2n d'ESO: poliedres

A partir d'una plantilla buida: un PowerPoint creat per Mark E Damon, que us permet simular el joc "Vols ser milionari?" amb les vostres pròpies preguntes. La professora/presentadora va passant el Power Point i els alumnes/concursants van contestant. En aquest cas, la classe pott ser col·lectiva i es pot organitzar un grup en que cada alumne respon una pregunta. La gestió dels comodins es pot organitzar de la següent manera: quan es demana el comodí de meitat i meitat la professora elimina dues de les opcions falses. El comodí del públic, es pot simular fent aixecar la ma als companys de classe demanant successivament: "qui contestaria a, b, c, o d?" i comptant les mans. Finalment el paper de l'expert l'ha de jugar algun alumne que qui contesta cregui que sap la resposta correcta.

Us presentem un exemple fet a l'Escola Sadako de Barcelona, com a cloenda del tema "cares, arestes, vèrtexs i el teorema d'Euler". Si us el voleu descarregar entreu a Slideshare (clicant dos cops a sobre la presentació) on trobareu el botó per fer-ho. Si algú dissenya un altre PowerPoint del joc o demana als seus alumnes fabricar-ne un com a recull final d'un tema, ens agradaria veure'l.

 

Poliedres millionaire

Applets, fraccions i mitjons

L'appet del mitjons

Us proposem que feu jugar als vostres alumnes amb aquest applet, a classe o a casa com a deures, i poder discutir a posteriori com s'ho han fet per decidir on han de posar cada mitjó.

Anar a l'applet 2/02/2012

Jugueu-hi vosaltres una estona. Com que no és complicat de càlcul, us recomanem que si ho esteu fent tot bé, cosa que no dubtem, us equivoqueu expressament un cop per veure què passa. També val la pena que veieu quines càlcul utilitzeu per a jugar (realment se n'utilitzen un munt).

I si no tenim ordinador?
Comencem per dir que un dòmino és un excel·lent material a l'abast que pot ser un bon recurs per a la a classe de Matemàtiques. En aquest cas, per a treballar fraccions ja que podem entendre que la fitxa que conté el 2 i el 4 dóna lloc a dues fraccions, depen com la posis: 4/2 i 2/4

A patir d'aquí, podem reproduir l'applet dels mitjons: es posa una fitxa, a l'atzar i a partir d'aquí es van aixecant les altres i col·locant-les en ordre d'esquerra a dreta. En aquest cas podem jugar en l'interval entre 0 i 1, com en l'applet (triant sempre el nombre més gran com a denominador) o en el (0,6) si triem la possibilitat de girar-les.

També podem fer construir les fitxes en cartolina per jugar amb els mateixos valors que presenta l'applet (treballa amb denominadors més alts). Presenta un inconvenient respecte a l'applet: com controlar les equivocacions. Una proposta és fer que els alumnes, en cas de discussió sobre un fitxa tirada, ho comprovin amb la calculadora a partir de les expressions decimals.

Mireu quina activitat més maca que ens proposen des de l'IES Marratxí (Mallorca), que els va fer mereixedors d'un premi del concurs Videomat 2016

En Fernando Corbalán, un dels divulgadors matemàtics més productius que tenim a prop, ens va explicar un joc que lliga perfectament amb el tema que tractem. Planteja una variant del joc en el que, un cop repartides les fitxes, enlloc de posar el nombre que coincideix cal col·locar la fitxa a la dreta si és més gran, a l'esquerra si és més petita i a dalt o a baix si és equivalent. Tres moments de la partida, en la que després de començar per 2/3 els jugadors han anat posant les seves fitxes.

Ordenem fraccions
Per acabar, presentem unes reflexions sobre ordenació de fraccions, partint del que podrien ser preguntes d'avaluació i respostes desitjades

1. Si per ordenar dues fraccions amb el mateix numerador com per exemple 2/5 i 2/6 els alumnes redueixen a comú denominador per a fer-ho, anem malament, ja que en tenen prou amb el "comú numerador"
2. Si de manera automàtica ens diuen que 2/5 > 2/6 no ens podem quedar aquí: demanem que ho justifiquin (si reparteixo 2 pizzes entre 5 persones me'n toca més que si la reparteixo entre 6, o bé la resposta més usual dels alumnes "si la reparteixo en 5 parts i n'agafo 2, és més gran que si la divideixo en 6 i n'agafo dues, ja que són parts més petites")
3. Ordena 12/24 i 13/25. Quin és el més gran? (13/25 perquè 12/24 és 1/2 i 13/25 és més gran que 1/2)
4. Si els alumnes apliquen la fórmula de multiplicar en creu per ordenar dos fraccions, una pregunta a constestar seria: per què funciona? qué és el que fem, en el fons?
5. Per ordenar 3/5, 4/12, 6/7, 14/28, 6/14, 12/46 i 7/28, sembla lògic fer connexions, simplificacions, passar a expressió decimal amb la calculadora i ordenar després. El que passa és que normalment no presentem cap problema que ho impliqui.
6. Per trobar una fracció entre dues donades, es poden sumar numeradors i denominadors. Proposem que ho justifiquin?

Per acabar una pregunta que en Francesc Esteva em va suggerir per als alumnes: després de preguntar quin era el següent de 5, de 8 de 256 etc, preguntar quin és el següent d'1/2: una bona manera d'entrar a la idea d'ordenació densa que plantejàvem a la pregunta anterior.

Visualització amb cubets (II)

Segur que ja us heu adonat quant ens agraden als del Punt Mat, els cubets encaixables. Per si necessiteu més evidències aquí us llistem algunes:

• és un del "deu materials" que considerem que no poden faltar a l'armariet de materials manipulatius de matemàtiques en una escola (podeu trobar la nostra proposta al post Triar Materials Manipulatius)
• a l'Espai Jordi Esteve li vam dedicar en exclusiva un dels tallers de la sèrie "els dimarts de l'EJE" (aquí podeu trobar un resum d'aquest taller)
• a aquest bloc hem parlat sobre aquest material en quatre posts fins ara. Per exemple: Visualtzació amb cubets i Patrons i cubets encaixables

Avui us tornem a parlar de cubets en relació a la materialització d'un applet del projecte Wolfram que, encara que senzillet, ens ha agradat molt.

http://demonstrations.wolfram.com/FindTheNumberOfCubesRemoved/
Val a dir que quan es veu un quadradet negre vol dir que s'ha extret tota la fila de cubets, de dreta a esquerra, de davant a darrera o de dalt a baix.

Vam decidir portar-lo a l'aula, però aquesta vegada no ens interessava fer-ho amb ordinadors i per tant el vam proposar amb paper i cubets: els donavem una imatge com les de l'applet, els preguntavem quants cubets havien estat eliminats i que ens demanéssin la quantitat exacta de cubets que necessitarien per reproduir la figura.

El teorema de Pitàgores: aigua i puzles

Fa uns dies ens va arribar via Twitter (recordeu que ens podeu seguir a @puntmat) l'existència d'aquest vídeo on es materialitza la relació establerta pel teorema de Pitàgores:  

La visualització d'aquest vídeo ens va recordar un frustrat intent que vam fer fa un parell d'anys per tenir aquest dispositiu (vam rebre l'encàrrec de materialitzar entre altres qüestions matemàtiques el teorema més famós de l'ensenyament obligatori però, malhauradament, després d'haver presentat la nostra feina el projecte no va ser portat a terme).  

La diferència del dispositiu del vídeo amb aquell que vam dissenyar era que l'aigua que hi ha als quadrats petits fos de diferent color i que el líquid de cada color omplís una part del quadrat construït sobre la hipotenusa tal com apareix en la següent figura:

D'aquesta manera es suggereix la justificació donada pel propi Euclides al teorema de Pitàgores: 

Imatge de les pàgines on apareix la demostració del Teorema de Pitàgores en la edició de "Els Elements"

d'Oliver Byrne (1847) “The first six books of the Elements of Euclid, in which coloured diagrams and 

symbols are used instead of letters for the greater ease of learners” Podeu veure les imatges més
grans aquí i podeu accedir a una versió online del meravellós llibre de Byrne aquí.

També es pot experimentar aquesta justificació mitjançant aquest applet.

Segurament a la majoria de vosaltres us passa el mateix que a nosaltres, us encantaria poder portar a l'aula un dispositiu com el que hem estat comentant, però no en teniu cap a l'abast. El que segur que teniu possibilitat de portar a l'aula són puzles. Tal com es pot veure en la següent experiència de classe, creiem  molt en la virtut dels puzles perquè els alumnes s'apropin a aquest teorema.

El teorema de Pitàgores a la classe de segon d'ESO

Jornades de l'ABEAM i Estadística

El dissabte 5 de novembre es van celebrar una nova edició de la jornada anual de l'ABEAM. Aquí parlarem en particular de la part de la presentació de la col·lecció de llibres "El mundo es matemático" de RBA. Trobareu totes les presentacions en el link de les jornades.

Segur que els llibres són bons i en general amens, vista la categoria, el discurs i el sentit de l'humor (sobretot en relació a les explicacions sobre la història dels diferents títols) dels autors.

La presentació del llibre "La certeza absoluta y otras ficciones"

En aquesta presentació vàrem tenir el plaer d'escoltar de nou en Pere Grima amb la seva dèria d'acostar  l'Estadística a la gent. Intenta fer veure que l'estadística és alguna cosa més que fer gràfics o taules i i planteja situacions que, segurament, fan que molts de nosaltres tinguem ganes de fer-les a les nostres classes de Secundària, i fins i tot de Primària.

Un exemple: l'Estadística ens permet que si un dia anem pels carrers de Barcelona o de Nova York tot veient la carrera de la Marató i ens plantegem quants corredors  hi participen, podem trobar una aproximacó molt ajustada anotant els dorsals d'un nombre petit de participants i fent una senzilla operació.

Més sobre el llibre i sobre l'autor

Si el portem aquí és perquè cal destacar la informació "amagada" de la seva feina paral·lela al llibre. Té penjat a la seva pàgina web un apartat anomenat "más sobre el libro", en la que podeu trobar comentaris de l'autor i les fonts consultades. A l'apartat "conferencias", i ja fora l'àmbit del llibre, que no del tema, trobareu transparències, textos i "artefactes" construïts, tant per l'autor com pels seus alumnes.

A la pàgina del Creamat podeu veure una altra xerrada d'en Pere on també  explica aquests temes: Quants peixos hi ha en un llac? Quants taxis en una ciutat? (en particular, aquí trobareu l'exemple dels corredors)

Visualització amb cubets

Un "llistat comprimit" de fites que pot ser molt útil

Ja fa força anys que la "visualització" es considera un camp important en l'aprenentatge de la Geometria. Una referència la trobem al document "Educación matemàtica en los paises Bajos, un contenido guiado", aquí hi ha una taula molt interessant anomenada "Fites bàsiques a l'escola primària holandesa" que resumeix en 23 ítems tot el que han d'aprendre els alumnes en aquesta etapa. L'ítem 22 està dedicat a Geometria, concretament a Visualització i diu el següent: "Pueden razonar geométricamente utilizando bloques de construcción, planos de planta". Hem pensat que un post dedicat a aquest punt us podria ser d'utilitat.

Applets
Si cliqueu a la imatge accedireu a un conjunt de 7 propostes diferents que treballen diferents aspectes. Fins i tot la possibilitat de decidir que es faci de nit per així presentar les "vistes".

obert el 4/10/2013

Representacio per vistes
L'últim apartat de la llista anterior, presenta activitats en les que a l'esquerra dóna tres vistes d'una construcció realitzada amb cubets: des de dalt, des de davant i des de la dreta, i l'usuari clicant sobre el tauler que està part dreta de la pantalla ha de construir la figura corresponent. La part superior l'informa sobre com són les vistes de la construcció a mesura que la va fent.

 Per a accedir-hi a Building with three sides

La materialització.

Ja hem parlat de materialitzacions en altres posts (busqueu per la seva etiqueta si en voleu localitzar més) en relació a la possibilitat de convertir un applet en un material manipulatiu.

Quan vàrem plantejar fer aquesta activitat en una classe de 3r, es va pensar que el millor era començar manipulativament, i per tant es va convertir l'applet en un material "de taula", aprofitant els cubets encaixables (o Multilink) dels que disposava l'escola. Es van imprimir en fulls A4 còpies de pantalla dels exercicis resolts (figura de la dreta), es van plegar per la meitat aquests fulls i es  van plastificar. Aleshores, es van obtenir unes fitxes de treball que presenten en una de les seves cares les tres vistes, a partir de les quals els alumnes han de construir amb cubets encaixables la figura, i a l'altra cara la solució per poder comprovar si ho han fet correctament. S'ens acut que informar també als alumnes sobre el nombre total de cubets necessaris podria ser una bona idea.

Un material per petits.
Existeixen al mercat alguns jocs, de cara als més petits, que treballen aquest aspecte de la visualització. El que nosaltres coneixem és el de la casa Nathan "Atelier Tours cachées". Realment és interessant i es troba fàcilment al mercat. El problema és el seu preu, encara que sempre es pot materialitzar, però cal ser una mica "manetes".

Foto: Catàleg Nathan

  

El joc consisteix en donades les cartolines amb les imatges de les vistes, fer que els alumnes col·loquin les torres, que donades les torres els alumnes busquin les vistes, o qualsevol altre combinació que us vingui al cap.

Una mena de tuit final
Si els holandesos resumeixen les idees principals de les Matemàtiques de Primària en 23 punts, no ens aniria bé disposar  d'una "cosa" com aquesta aquí?

Estratègies de càlcul a infantil

Comencem per un exemple que ve del 2004: a les aules de P5 de l'Escola Baloo de Barcelona, els alumnes utilitzen aquest material el·laborat per Carme Barba, per treballar "els dobles".

"Les samarretes dels dobles" porten el mateix dibuix a la part del darrera que a la del davant. Els alumnes mirant la samarreta plegada han d'anticipar el nombre total de dibuixos que hi ha en total. Un cop fet això i per facilitar-ne la comprovació les samarretes "s'obren"com es veu a la fotografia i així facilitar el comptatge.

Aquest material, així com molts d'altres, és un dels fruit de la llicència d'estudis realitzada per Carme Barba al 2004, sota la direcció de Roser Codina i la col·laboració, en moments puntuals, d'en David Barba.
L'objectiu d'aquesta llicència té dues vessants: per una banda el·laborar aplicar i treure conclusions de l'adaptació de la prova per alumnes de final d'educació infantil, i per l'altra dissenyar activitats i materials de classe destinats a treballar els aspectes fonamentals reflectits a l'esmentada prova. Tota aquesta informació la trobareu a la llicència. 
La llicència porta un annex amb els materials perquè puguin ser reproduïts, que també us podeu baixar, si hi voleu accedir directament cliqueu aquí. Molts d'aquests material són útils també per a primer de Primària.
Si l'hem portada al bloc és perquè creiem que és una publicació molt interessant que pot ajudar a la pràctica del dia a dia a Educació Infantil. Per altra banda les activitats de la prova poden representar un banc d'idees sistematitzat que pot ajudar molt al seguiment dels v vostres alumnes.

Materialitzacions d'applets

Si ens reps per mail, demanaríem que cliqueu al títol per llegir directament el bloc: tindreu  més informació i a més us podrem "comptar"

Un repte
Una dels reptes clàssics jugant amb nombres és aquell que a partir de quatre nombres, i les operacions necessàries, planteja obtenir-ne un cinquè predeterminat. El problema dels quatre quatres és un exemple d'això: amb quatre quatres aconseguir els nombres de l'1 al 100.

Un applet
La pàgina d'applets del Freudenthal Institute, presenta forces exemples d'aquest tipus d'activitats. En aquest post ens centrarem en el més elemental: completar un un llibret en el que a cada pàgina cal obtenir un dels nombres del 31 al 40.
El joc consisteix en que a partir dels quatre nombres (5,6,7 i 8) de la pàgina de l'esquerra i  combinant les operacions bàsiques, cal aconseguir el nombre que apareix a la pàgina  de la dreta, en aquest cas el 31, amb la condició que cal utilitzar tots el nombres, un sol cop cadascun.  Quan aconsegueixes el nombre passes pàgina, el llibre et té 10 i cal aconseguir els nombres del 31  fins al 40.

Clicar imatge. Obert el 4/06/2011. en cas que no hi podeu accedir envieu un comentari a PuntMat.

Us aconsellem entrar-hi i completar un dels llibres per veure la potencialitat que pot tenir per a alumnes de 3r de primària en endavant i "experimentar" alguna de les instruccions ja que són en holandès.
És de destacar i per això diem que és de nivell baix, que l'applet organitza la feina pas per pas, anotant totes les operacions i fent desaparèixer els nombres utilitzats, cosa que més endavant, en applets dirigits a alumnes més grans,  es deixarà com a part del treball de l'alumne.

Applets sense ordinadors: "materialitzacions"

Els applets a part de ser un recurs important tenen una segona lectura: si sabem trobar "bones pàgines" esdevenen un banc de recursos i de bones idees que ens suggereixen activitats per a ser portades a classe tot i sense ordinador, convertint-los en una activitat de classe o en un joc o material per treballar.
Amb aquesta idea i a partir del curs  2005/2006 en  l'assignatura  "Didàctica del Càlcul" dels estudis de Mestre de Primària de la UAB , es va decidir incorporar el coneixement de l'ús d'applets per a l'ensenyament de les Matemàtiques, amb un treball final, consistent en fer una materialització (joc o material de taula)  d'un d'ells. Aquesta materialització havia de complir certes condicions: ser estèticament bonic. és a dir pensant en els nens i havia de ser presentat en una capsa, amb instruccions per ser portat a terme, és a dir pensant en els mestres. De fet la idea és simular que es fabricava un material o joc que es pogués comercialitzar de cara a centres docents.

Un exemple: La pissarra màgica
Feta pels alumnes Pilar de la Asunción Molina, Eva Barrachina i Vicenç Màrquez, aquesta materialització de l'applet anterior,  consisteix en una pissarra magnètica de mida DIN A3, la creació de tres llibrets d'exercicis" per poder treballar per grups o  individualment. i els materials complementaris (cartes de nombres)  i que físicament està dipositada als armaris de l'ADRE de la facultat de Ciències de l'Educació,de la UAB conjuntament amb d'altres materialitzacions, algunes dels quals veureu en propers posts, d'aquest bloc.

Clicar imatge. Obert el 4/06/2011. en cas que no hi podeu accedir envieu un comentari a PuntMat.

Si l'appplet us agrada i a més voleu crear un material per fer un racó, cliqueu a la imatge de de dalt (la que es veu el tauler i les fitxes) i us baixarà una zip en el que hi trobareu tot el material necessari per poder fabricar-lo:

• Instruccions del joc: un power point on les explica, pot servir pel mestre però està pensada per que la vegin els alumnes.

• Els tres llibrets en un document pdf.

mostra d'un dels fulls

• Cartes de nombres (dígits) 
• Carles de nombres per fer els resultats 
• Tauler de joc, que de fet és la plantilla DIN A3 per fer la pissarra magnètica, però que pot ser un tauler de sobretaula

Per acabar volem destacar que el més important d'aquesta experiència ha estat la il·lusió, esforços i qualitat  que tots i cadascun dels grups de treball dels alumnes de segon de Magisteri UAB tant de matí com de tarda, varen posar en les seves materialitzacions respectives de les quals farem públiques, les que siguin fàcilment "empaquetables". Des d'aquí el nostre agraïment pel seu esforç.