Onze pomes

Vam conèixer aquest joc a les jornades sobre materials manipulatius i jocs que està organitzant la UAB per celebrar els 25 anys de la Facultat de Ciències de l'Educació.

Gaire bé en simultani vam escoltar al Jordi Deulofeu parlant d'aquest joc en el programa sobre "Aprenentatge i Joc" de DEUWATTS (Btv)

Es tracta d'un joc dissenyat per Juan Carlos Pérez Pulido que s'ha comercialitzat amb noms com "22 pommes" o "11 Äpfel". Les seves regles de joc estan descrites aquí en francès:

Aquí les trobareu en català. I aquí en castellà. Com veieu es tracta d'una manera fantàstica de practicar les descomposicions de l'11, al mateix temps que es desenvolupen estratègies de joc.

El podem materialitzar amb un click i cubets encaixables: quatre torres de 5 cubets verds, quatre torres de 5 cubets vermells, tres torres de 3 cubets verds, tres torres de 3 cubets vermells, dos torres de 2 cubets verds, dos torres de 2 cubets vermells, tres cubets verd i tres cubets vermells.

Perímetre i àrea 2

A escola parlem de perímetres i àrees. Plantejar quina és la relació entre el perímetre d'una figura i la seva àrea dóna un joc a classe molt interessant. Per altra banda és una manera de rendir un petit homenatge a l'Emma Castelnuovo, que ens ha deixat fa molt poc.

En el seu llibre de text, per a alumnes del que seria actualment un primer d'ESO, publicat al 1949 sota el títol "La via della Matemàtica la Geometria" publicat en català per la Editorial Ketres presenta la següent imatge. El redactat és un resum del text del llibre.

Relació intuïtiva entre el perímetre i l'àrea de diferents rectangles
“Agafeu un cordill que tingui les dos extrems lligats per un nus i poseu-lo entre els dits de les mans de manera que en l'interior es vegi un quadrat. Acostem els dits i separem les mans  per formar  un rectangle com el de la figura. Repetim alguns cops el pas de quadrat a rectangle i de rectangle a quadrat.

La pregunta formulada és: què passa amb el perímetre i l'àrea? Veure que el perímetre no canvia és una deducció fàcil, ja que s'utilitza el mateix tros de corda, però davant la pregunta de l'àrea, un gran nombre d'alumnes (i d'adults) responen que l'àrea es manté igual, ja que el que es perd per una banda es guanya per l'altra.

Una versió Mateclicks d'aquest problema 

Figures:© PLAYMOBIL/ geobra Brandstätter GmbH & Co. KG.

A l'ARC trobareu una activitat relacionada:

http://apliense.xtec.cat/arc/node/29111

Al blog del Joan Jareño també trobareu una entrada fantàstica on s'esmenta i analitza aquesta activitat: Les tires dels tiris: tancant àrees màximes. 

Mateix perímetre, diferent àrea

Deixant el llibre de banda, però entomant la idea de tractar conjuntament perímetre i àrea una activitat interessant podria ser estudiar quants rectangles del mateix perímetre i diferent àrea es poden trobar dibuixat sobre una quadrícula.

A la imatge l'estudi amb el perímetre 24:

Com es pot observar a l'últim rectangle l'alumne ha badat. Tant bé que anàvem!

Podem obrir-lo a figures sense la restricció que siguin rectangles: partint d'un quadrat de perímetre 16, buscar totes les figures del mateix perímetre que es puguin obtenir dibuixant sobre la trama, i calcular-ne l'àrea.

Exemples de figures amb perímetre 16 que abasten des de l'àrea 16 fins a la 10.

• Quina és la figura d'àrea més petita que es pot trobar?
• Podem aconseguir totes les àrees des de 16 fins a la mínima, baixant d'un en un?
• Podem aconseguir dues figures diferents de perímetre 16 amb la mateixa àrea? 

Una de les discussions interessants a portar a terme és identificar quines accions (sobre els costats) fan que el perímetre disminueixi i quines no. Un exemple de resposta: "doblegar les puntes el revés" (pas de la figura de 16 a la de 15 per exemple)

La mateixa activitat es pot proposar amb escuradents en lloc de treballant sobre paper quadriculat, l'únic aclariment que hem de fer és que els escuradents només poden ser paral·lels o perpendiculars entre sí:

Presentem un exemple de cada valor que pot prendre l'àrea (fets amb Geogebra)

Mateixa àrea, diferent perímetre
Els Tangrams y els Tetraminós són dos materials que ens poden ajudar molt a treballar aquest  aspecte:

Tetraminós
Disposant d'un joc de tetraminós podem preguntar als nostres alumnes si tots tenen la mateixa àrea i el mateix perímetre. Quants perímetres diferents us sembla que trobarem?

Ajuntant dos tetraminós: quina és la figura de perímetre més petit que es pot obtenir? Aquesta activitat aporta discussions interessants. Sobretot si es proposa trobar totes les figures possibles (obtingudes a partir dels dos tetraminós donats), per així comprovar les conjectures prèvies.

Si es volen ampliar les possibilitats de trobar figures diferents ajuntat dues figures podem dels pentaminós
 

Tangrams
En una conferència José Luís Lupiáñez en la que parla de competències, va presentar un exemple que solament de veure'l et ve de gust plantejar-ho als alumnes. De les dues figures de la imatge següent, quina és la que té l'àrea més gran? I perímetre? La part important d'aquesta activitat és demanar que ho justifiquin, utilitzant el vocabulari matemàtic necessari: que parlin ells!

Ajuntant les dues idees, l'activitat proposada anteriorment de buscar figures de perímetre mínim per a tetraminós es pot fer perfectament amb peces del tangram. Aporta un element de dificultat ja que en aquest cas no tots els costats són iguals.

Finalment l'activitat sobre el  tangram del Median, (publicada en aquest blog) va molt més enllà,  tant en la identificació de figures com en el treball d'àrees i perímetres. Us recomanem fer-li un cop d'ull.

Projecte Nrich

Dilluns passat vam participar d'una trobada amb altres mestres de primària, secundària i universitat que tenia per objectiu compartir les nostres experiències fent servir propostes d'activitats del projecte Nrich

Aquestes són alguns dels aspectes sobre els que vam discutir:

L'edat del alumnes als que es destinen les activitats:

• encara que el punt fort d'aquest projecte és la proposta d'activitats per a alumnes a partir de 10 anys, hi ha algunes propostes molt interessant per als més petits: Largest even
• hi ha activitats que es poden plantejar a alumnes de diverses edats sabent que hi aprofundiran fins a diferents punts: Keep your distance

Les nostres estratègies per cercar activitats entre l'enorme oferta que hi trobem:

• alguns dels presents troben activitats per continguts o per procesos fent servir la finestreta de cerca que hi ha en la part superior dreta de la pàgina
• altres prefereixen cercar activitats a travès de la pàgina de pòsters que els classifica segons siguiun adients per als alumnes més petits o per als més grans

Les diferents maneres de portar les activitats a classe:

• encara que la gran majoria de les activitats que hi trobem no necessiten més que llapis i paper, algunes presenten la possibilitat de fer servir un applet: Factors and Multiples Game
• hem parlat d'activitats que s'avenen molt a combinar l'ús de applets amb l'ús de materials manipulatius de recolzament: A puzzling cube
• també hem comentat l'existència d'activitats que es poden teatralitzar: Chocolate o Chocolate Bars

Mejant supergaletes def from puntmat

Figures:© PLAYMOBIL/ geobra Brandstätter GmbH & Co. KG.

Des d'on està tirada la fotografía?

Llegint una de les entrades d'aquesta setmana del blog ORCA, la seva autora ens ha fet recordar una sèrie d'activitats sobre les quals encara no havíem parlat en el nostre blog: activitats que relacionen vistes amb fotografia.

En l'entrada a la que fem referència: Mateclicks: La pirámide apareixen dos exemples d'activitats d'aquest tipus: una extreta d'un llibre de text i materialitzada amb Clicks i una altra que els del PuntMat vam proposar fa alguns anys durant una trobada de l'Espai Jordi Esteve.

Creiem que és interessant afegir alguns altres exemples a aquests dos primers:

• Els del PuntMat vam incloure activitats d'aquest tipus per a Cicle Inicial al Bloc de Mates editat per Barcanova:

• El Freudenthal Institute inclou d'altres a un parell dels seus applets:

• L'illa: http://www.fisme.science.uu.nl/toepassingen/03298/leerling.html 

Captura de pantalla de l'applet esmentat en que s'ha d'ubicar el punt des del qual s'ha tirat la fotografia a partir de la posició de tres edificis emblemàtics d'una illa: un far, una església i la casa del pirata

• Endevina la vista: http://www.fi.uu.nl/toepassingen/00198/toepassing_wisweb.en.html

Captura de pantalla de l'applet esmentat en que s'ha d'indicar si la fotografia s'ha tirat des de davant, darrere, esquerra, dreta, adalt o abaix

• A algunes de les proves de competències bàsiques proposades pel Departament d'Ensenyament es proposen activitats d'aquesta mena:

• per a Cicle Superior (curs 2005-06)

Clique aquí per accedir al quadernet

• per a Primer Cicle d'ESO (curs 2006-07)

Cliqueu aquí per accedir al quadernet

• Entre les preguntes alliberades de la prova PISA proposada com a pilot en 2002 també podem trobar-ne un exemple:

Cliqueu aquí per accedir a la publicació

Mateclicks: "Problemes" de suma

En un post anterior: els costa molt fer 3+?=10, fèiem referència als PAE (Problemes Aritmètics Escolars) i a la classificació de tipus de problemes de sumar i restar en tres classes diferents

• Transformació (o canvi)
• Combinació
• Comparació

Problemes de transformació
Podem identificar 6 tipus de problemes de transformació segons el lloc que ocupi la incógnita:

• Suma: a+b = ?,   a + ? = c,   ? + b = c
• Resta: a - b = ?   a - ? = c,    ? -  b = c

Un dels contextos més adequats per treballar-los són els autobusos i passatgers que hi pugen (suma) o que baixen (resta). Esperem que us agradi el vídeo que hem preparat amb l'equip "Ma+eclicks" per al problema "a+b=?"

Figures:© PLAYMOBIL/ geobra Brandstätter GmbH & Co. KG. 

Les parades estan construïdes amb KAPLA 

Comentaris

• Quan el fem servir amb alumnes cal aturar el vídeo quan apareix la pregunta: quants n'han baixat? i demanar-los que anticipin el nombre final de passatgers abans l'autobús no arrenqui de nou. Engegar el vídeo i comprovar la resposta.
• L'expressió final: 6 + 4 = ? simbolitza el tipus de problema segons el lloc que ocupa "la incògnita". Podríem dir que es la forma simbòlica d'expressar: què ha passat? (veure post citat anteriorment)
• Un cop passat el vídeo podem proposar nous problemes canviant els nombres.

Mateclicks: presentació

 

A partir de la utilització dels clicks en el post "L'àbac de cadires" ens va quedar "el cuquet" d'utilitzar aquestes figuretes per protagonitzar algunes propostes. També han sortit a les activitats de comptatge (penjades en SlideShare) dels posts "Primers passos en multiplicació" i "Avaluar el comptatge, Competències?" i al post "Els costa molt fer 3+?= 10".

Finalment ens hem decidit, hem fet un petit equip de gent incorporant a en Lluís Pèrez, Jordi Losantos i Blanca Pujol per preparar activitats d'aquesta mena i és així que de volta en quan trobareu vídos o documents en SlideShare on els protagonistes són ells: els Mateclicks.


La presència del pirata no té res a veure amb les aficions dels autors del bloc, sinó a que és el representant canònic d'aquests, entranyables per a molts, ninotets de plàstic. Pel que fa als decorats de fons utilitzem el material anomenat KAPLA que en mans de nens és d'una gran potencialitat.

El primer vídeo: el problema de les abraçades

El vídeo permet o bé proposar-lo als alumnes com a "enunciat del problema" i a partir d'aquí gestionar l'activitat i fins i tot: estirar-la: plantejar què passaria amb "n" ninots o fer que siguin els mateixos alumnes els que escenifiquin el problema per comptar si les seves conjectures són encertades o no.

Comentari sobre el problema

El camí per trobar la solució del problema de la quantitat d'abraçades quan hi ha 6 ninots passa per analitzar primer que en el cas de 5 ninots les abraçades són 1+2+3+4 (quan arriba el segon ninot es fa la primera abraçada, en arribar el segon en fa dues, en arribar el terce en fa 3,...) i si al grup arribés un sisè ninot haurà d'abraçar als 5 que ja hi són produint-se un total de 5+4+3+2+1 abraçades.

Podem dir que ja hem solucionat el problema, però n'apareixen d'altres: 

• Com fer, de manera fàcil, aquesta suma? 
• Es pot trobar una fórmula general que resolgui aquest tipus de sumes de nombres consecutius?

Una manera d'encarar la recerca d'una fórmula és a partir de representacions geomètriques: si representem els ninots per punts i les abraçades per línies ens trobarem que el nombre total d'abraçades coincideix amb la quantitat de segments que es poden dibuixar entre aquests punts (els costats i les diagonals de l'hexàgon). Aquesta representació ens acosta a pensar en una solució que passa per la multiplicació: 6 vèrtexs dels que surten 5 segments són 30, però cal tenir en compte que d'aquesta manera estem comptant dos cops cada segment per la qual cosa hem de dividir 30 entre 2.

Una guia de treball: el plantejament de la pàgina "nrich"

Darrera del problema de les abraçades se'n poden trobar d'altres que tenen la mateixa estructura: el de comptar costats i diagonals (com ja hem vist) i a més el descobriment de la regularitat dels nombres triangulars. Clicant als enllaços accedireu al tractament que en fan a la pàgina "nrich" on trobareu indicacions, recursos i algun applet per a poder fer les activitats

Al maig de 2015 els alumnes de 5è de l'Escola Sadako van fer una activitat al voltant d'aquest problema, podeu veure la proposta seguint l'enllaça que trobareu al peu de la següent imatge:

https://5prmpromosadako2004.wordpress.com/2015/05/11/abracades-matematiques/ 

A l'octubre de 2016 quan els alumnes de 6è de l'Escola Sadako feien aquesta activitat, el programa DEUWATTS de BTV va entrar a la seva aula.

http://beteve.cat/clip/deuwatts-aprendre-matematiques/

Per acabar de tancar el tema us recomanem l'excel·lent recull de fotografies sobre nombres triangulars que ha fet la gent de Xeix en el seu concurs amb motiu de la cel·lebració de les properes JAEM a Mallorca

Primers passos en multiplicació

Primera aproximació al concepte de multiplicació

Podríem dir que en el fons, la multiplicació  és una manera de comptar ràpid i que el seu aprenentatge té certs paral·lelismes amb el fet d'aprendre a  comptar.

La diferència està en que mentre que comptar objectes implica assenyalar-los un a un i assignar-los un "nom" (1,2,3,etc.) fins a arribar a l'últim, la multiplicació implica reconèixer grups i elements en col·leccions d'objectes ordenades en grups iguals.

 

Per exemple, si sobre la taula tenim fitxes o boles ordenades regularment com es veu a la figura  i demanem "què hi veus?" la resposta buscada és "quatre grups de dues boles" (o també, "dos grups de quatre boles")

Després podem demanar quantes boles hi ha. Si el alumne compta 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 i 8, estarà encara en el comptatge, però si compta 2, 4, 6, 8, estem ja molt propers a la multiplicació. Per poder fer-ho l'alumne cal que sàpiga comptar de 2 en 2, cap endavant, per poder assolir aquest tipus de solució.

Imatge d'un vídeo del projecte "Count Me In Too"

Treballar amb objectes amagats ja implica un nivell més alt. A la imatge la mestra ompla els quatre tubs a la vista de l'alumne  posant cinc fitxes a dintre deixant clar que en posa 5 a cada tub i demana posteriorment el total. La manera de comptar de l'alumne ens indicarà si ho resol per suma o ja fa suma iterada 5+5+5+5 (inici de la multiplicació)

Currículum i taules de multiplicar

En el currículum apareix la presentació de la multiplicació a 2n de Primària, restringida a les taules del 2 del 5 i del 10. La raó de començar per aquestes és que els alumnes ja dominen el tipus de comptatge o contingut necessari per a plantejar-ho: el "comptatge rítmic " de 2 en 2, de 5 en 5 i de 10 en 10.

El que no ens fa el pes i més en un ambient de competències és la formulació d'aquest aspecte com "taules del 2, 5 i 10" ja que  focalitza el treball cap a l'habilitat necessària (les taules). Aquest focus hauria de centrar-se en la part competencial: saber plantejar i resoldre problemes que impliquin situacions d'agrupar (i de repartir) en el camp de les taules del 2 el 5 i el 10. En l'activitat que presentem a continuació, els alumnes van acabar resolent aquest tipus de problemes sense dedicar temps a recitar les taules.

Subitising (o "cop d'ull) i concepte de multiplicació: comptar punts

Ana Cerezo, a l'escola Ponent de Terrassa, va incorporar el subitising (reconeixement de col·leccions visualitzades un instant) per treballar la idea de multiplicació: el reconeixement ràpid de "grups i elements de cada grup" per així facilitar el comptatge posterior.
En principi es va treballar amb "taules" barrejades. La figura inferior presenta alguns exemples.

Per portar a terme aquesta activitat es va utilitzar un power point i les imatges s'anaven mostrant a la pissarra. Per aconseguir "amagar-les ràpid" es va intercalar una diapositiva en blanc a continuació de cada exemple.

La taula del 5 punts i objectes
Ara ens centrarem en la taula del 5 i en les diferents dificultats que varem observar segons el context presentat: no és el mateix reconèixer grups de punts que representacions d'objectes.

Identificar que quatre daus amb la cara del 5 a la vista va ser bastant fàcil per a ells, però en el moment que es va canviar a dits i mans la cosa canvia. Bastants alumnes que no tenien dificultat en resoldre el problema amb punts els va costar molt més davant d'aquesta imatge.

La situació es complica en arribar al "problema general": "Quants dits hi ha en 3 mans?" Les dificultats van ser importants, fins el punt que alumnes amb més dificultats van tornar a utilitzar les seves mans per comptar d'un en un enlloc de cinc en cinc... ja no multiplicaven.
Poc a poc la majoria de la classe va anat entenent i resolent els problemes de multiplicació que apareixien en el llibre de text sense haver "cantat" la taula ni un sol dia. 

Una presentació per treballar a classe

Podeu baixar-vos la presentació per fer subitising d'agrupaments de 5 objectes, en aquest cas Clicks, dins del projecte "Mateclicks" de Puntmat (que presentarem en aquest bloc en breu). Clicant dos cops seguits el botó d'avançar podreu veure l'efecte d'amagar ràpidament la imatge i com recordeu perfectament podreu comptar els pirates (la tria d'aquest protagonista és un homenatge a la figura "mítica" dels clicks).

 

Comptatge amb clicks4 from puntmat. © figures PLAYMOBIL/ geobra Brandstätter GmbH & Co. KG

Avaluar el comptatge-1

El fet de comptar

Quan parlem de comptar en els primers nivells d'escola (Infantil i començament de primer) podem identificar dos aspectes diferents: el comptatge acústic, o sigui, la "cantarella" (un, dos, tres, quatre, cinc, etc.) i el comptatge resultatiu, és a dir l'aplicació d'aquesta cantarella al comptatge d'objectes. Implica una coordinació entre recitar la sèrie numèrica i, a la vegada, assenyalar, o desplaçar l'objecte comptat. De fet saber comptar és això. Aquest fantàstic invent d'associar un nom ("sis", "vuit") a una col·lecció, és un dels aprenentatges principals a l'hora d'organitzar el món a les primeres edats. 

Una activitat d'en Guy Brousseau

Farà cosa d'uns 20 anys, en una agradable sopar amb en Guy Brousseau, ens va explicar una activitat que feia amb els alumnes i que ell classificava, si no recordem malament, com a "situació fonamental":

+ informació clicar imatge

Entorn d'una taula hi ha un grup d'alumnes i a sobre de la taula hi ha 7 gots amb pintura però necessiten un pinzell per cada recipient. Els pinzells estan en una altra classe, per tant, proposa als alumnes que vagin a buscar-los intentant que no en falti ni en sobri cap. També els explica que si són capaços de fer el que els demana correctament un cop pot ser que sigui casualitat, però si ho fan bé molts cops, encara que ell canviï el nombre de recipients, aleshores, voldrà dir que ja saben comptar!. 
Un exemple que va explicar-nos va ser el següent: "Un alumne s'aixeca, mira els gots, marxa, va a l'altra classe, n'agafa uns quants a ull, torna, els posa i no coincideixen! Mentre pensa en què ha fallat, els seus companys li diuen: "compta, compta, compta". L'alumne compta 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, va a l'altra classe, agafa una pila de pinzells sense comptar-los, torna i tampoc ho aconsegueix".


Una de les coses que ens va sorprendre més de la situació va ser la inclusió de l'objectiu "acadèmic" en l'activitat: promoure que els alumnes s'apropiïn de l'objectiu, fer-ho en un sol viatge.

Si ens parem a pensar això dels nombres és un invent genial: es disposa d'una col·lecció de gots, cal anar a buscar pinzells i no en pot sobrar ni faltar cap. Es compten els gots. S'identifica l'últim nombre dit (el 7) com el cardinal (el nombre d'elements) de la col·lecció. T'emportes el nombre al cap. Es va a un altre escenari. Es "baixa" el 7 de la memòria i es converteix en el nombre de pinzells necessaris. Es porten els pinzells al primer escenari on hi ha els gots i coincideixen! Això és saber comptar: utilitzar el comptatge per resoldre situacions en que la comparació directa no és possible. Per això és molt important que els escenaris estiguin separats.

Una aplicació posterior
Van passar els anys i a l'any 2004, la Carme Barba va realitzar una llicència d'estudis on una de les activitats que va dissenyar per a alumnes de P4, inspirada totalment en aquesta idea, va ser la que podeu veure en aquesta presentació que portem al bloc.

Material utilitzat "clicks" © PLAYMOBIL/ geobra Brandstätter GmbH & Co. KG

Si obriu la presentació amb Slideshare, clicant a la part inferior esquerra, podeu descarregar la presentació

Analitzem solament el primer el cas: cotxe amb quatre viatgers:

1. Els alumnes tenen clar l'objectiu: coneixen perfectament les lleis de joc i saben on han d'arribar
2. Fora de casos extrems els alumnes saben resoldre el problema a partir de les seves estratègies emergents, des dels que fan quatre viatges fins els que en fan un.
3. Dóna informació a la mestra sobre el nivell dels alumnes en fer l'activitat, però aquesta informació no és del tipus "ben fet - mal fet", sinó del nivell d'eficàcia.
4. La discussió en grup a la meitat de l'activitat ens acosta a un treball que fa avançar als nostres alumnes.
5. Cal tenir en compte que l'objectiu de la mestra no és "resoldre correctament la situació", de fet ho saben fer tots, sinó "resoldre-la en un sol viatge" és a dir treballant l'eficàcia de les estratègies. Però tot i així, aquest requeriment (un sol viatge) no apareix en les condicions inicials de la proposta, element que portaria a una activitat completament diferent tipus "ho saps fer, no ho saps fer"
6. L'ordre de la tria dels alumnes és important (i això no cal explicar-ho a cap mestre amb experiència ja que tots ho sabeu) fent sortir primer als alumnes més "artesanals" a solucionar el problema, per anar donant la paraula a alumnes amb estratègies més eficients, a mesura que avança l'activitat.

Diferència amb el problema dels pinzells

L'activitat dels pinzells era feta amb 7 elements. Aquesta ha estat plantejada amb 4. Aquesta diferència de nombre és important. Per resoldre situacions reals, manipulatives o gràfiques amb nombres baixos, molts els cops els alumnes utilitzen l'anomenat "cop d'ull" (o subitising) és a dir, veient la col·lecció reconeixen el nombre sense necessitat de comptar. Fer-ho amb 7 elements ja convida molt més a utilitzar el comptatge resultatiu i per alumnes més grans, segurament és més indicat.

L'activitat amb nombres més grans: del cotxe a l'autobús
La segona part de l'activitat ja entra més a la resolució de problemes ja que el que fa és ampliar el nombre de seients, des d'el cotxe de quatre places fins a l'autobús. Aquest augment del nombre de seients genera, com es veu en la presentació, dividir el problema en parts i omplir el vehicle per etapes, més o menys en funció del domini de la grandària del nombre que tingui l'alumne que el fa.

Veient això sembla que no és el mateix saber comptar fins a 20, per exemple, que tenir-ne un domini competencial a l'hora de resoldre situacions. Si fos així els alumnes aplicarien la mateixa estratègia d'emportar-se'n el nombre al cap tal com hem vist a l'exemple del cotxe. Què n'opineu?

Els costa molt fer 3+?= 10

Una dificultat "històrica"

El primer problema el tenim en la dificultat que representa pels alumnes de primer o segon de Primària identificar situacions del tipus

acompanyada de la pregunta: quin és el nombre que sumat a 6 dóna 10?
Podem observar, per començar, que en la traducció de la situació a una pregunta comencem pel mig enlloc de per l'esquerra. Però més enllà d'aquesta qüestió de l'ordre, ens hem de plantejar la fórmula de sempre: no hem de començar la casa pel terrat. O sigui, no hem de començar l'activitat per l'expressió simbòlica sinó pel context. 

Què és el que l'alumne no sap resoldre?

Si nosaltres plantegem als alumnes l'exercici de dir quants dits estan amagats utilitzant les dues mans tal i com indica la figura i els alumnes ens contesten contesten "quatre" vol dir que saben resoldre "el problema". 

Imatge treta d'un applet de l'Institut Freudenthal que treballa sumes fins a 20 utilitzant les mans. Enllaç

Una altra cosa és que vulguem que associïn aquesta situació a una expressió simbòlica tipus a + ? = c. Per aconseguir-ho hem de ser curosos en el context amb el que presentem la situació inicial.

Situacions inicials de suma: problemes de transformació

Els problemes additius més accessibles pels alumnes són els anomenats "de transformació", és a dir, aquells en que se surt d'una situació inicial que és canviada per alguna acció per arribar a un resultat final.

 

Un context molt adequat per a treballar-los són els autobusos. El primers exemples els podem presentar col·lectivament. Un autobús retallat sobre una cartolina de mida DIN A5 amb una capsa enganxada al darrera per poder acomodar els passatgers ens permetrà simular viatges en els que, de moment, solament hi ha l'estació de sortida, una parada i l'estació d'arribada

© figuretes Playmobil

Amb aquest material podem plantejar problemes com per exemple: a l'autobús hi ha 5 viatgers, a la parada en pugen 3, quants arriben al final? Es discuteix la resposta. Al final s'ensenya el contingut de la capsa i es compten els clicks per comprovar si la resposta és correcta.

Treball en paper o en pissarra: representació en vinyetes
Un cop viscuda la situació, una seqüència de vinyetes pot ser un excel·lent enunciat d'un problema. En la figura inferior, els alumnes han d'interpretar que l'autobús porta 6 viatgers. A la parada n'hi pugen tres i cal saber quants n'hi ha en total a l'arribar al final.

Aquest procés pot portar associat un altre aspecte molt important: la transcripció simbòlica de l'acció portada a terme. És a dir com s'escriu en el "món de les Matemàtiques" el que acabem de fer. Confondre aquesta "traducció" de les vinyetes als símbols amb la idea d'operació associada ens pot portar problemes. En parlem més endavant.

El lloc de la incògnita: ampliar el camp del problemes
L'exemple tractat dóna com a dades els passatgers de la sortida i els que hi pugen (la transformació) deixant que la incògnita sigui l'arribada.


Canviar el lloc de la incògnita (la part ombrejada a les imatges inferiors) genera dos tipus nous de problemes completament diferents al primer i que també cal treballar-los,  per així "tancar" la comprensió d'aquest tipus de problemes

• Quan la incògnita està a la transformació

• Quan la incògnita està a l'estadi inicial.

Si els alumnes treballen en aquest contextos, associaran expressions del tipus (a + ? = c) i (? + b = c) al model dels autobusos corresponent. Cosa que donarà sentit a les expressions simbòliques fins ara tant llunyanes. És important destacar que els tres són problemes que els alumnes associen a una suma, tant en el moment descriure-ho simbòlicament con en el moment de calcular. Tot i que en el moment de resoldre´ls utilitzin estratègies que impliquin sumar o restar

L'expressió simbòlica i "operació"
El segon problema el tenim quan pretenem que els alumnes, un cop resolt el problema "de cap", ens posin per escrit el que anomenem "l'operació" i tenim com a objectiu que ens han de posar una resta.
Per exemple: davant d'un problema associat, a l'expressió:

7 + ? = 10

el problema el tindrem nosaltres si el que esperem o volem és que posi la resta

10 - 7 = 3

ja que no es correspon  amb l'acció viscuda.

No tots els nens i nenes, ataquen aquest tipus de situacions com una situació "de resta", fins i tot diríem que no ho fan majoritàriament Si els preguntes com ho han comptat forces alumnes et diran "he comptat 8, 9 i 10: n'han pujat 3" .
Podríem dir que en últim terme el que fa que un problema sigui de sumar o de restar (tot i  que depèn molt del context) no és el problema sinó l'estratègia del resolutor.
Això ens porta a que si un grapat d'alumnes ha solucionat el problema sumant i la seva operació no és una resta, es desconcertaran. Potser som nosaltres els equivocats a l'intentar diferenciar externament situacions de suma i de resta en lloc de identificar-les totes elles com a situacions additives, enlloc d'associar-les a les estratègies de resolució.

En aquest context 7 + ? = 10, és una manera d'expressar en llenguatge matemàtic una acció determinada i que l'alumne sigui capaç de fer aquesta traducció és un objectiu important. De fet, és el mateix que quan a 2n d'ESO proposem un problema "amb enunciat" i demanem els alumnes que "el plantegin", per exemple així: 3/4x + 23= 78. Dels nostres alumnes de Cicle Inicial, demanem el mateix: saber traduir una situació com la dels autobusos en llenguatge matemàtic posant 7+ ? = 10.

Però intentar incidir en el procés de resolució demanant-los que vegin que 7+ ? = 10 és el mateix que 10 - 7 = ? no es bo per a la salut, ni dels nens ni de la mestra (al igual que no és bo, tal com vam comentar en els posts dedicats a equacions, que el professor de 2n d'ESO digui als seus alumnes que per resoldre l'equació x+ 15 = 27 "es passa" el 15 restant).

Per acabar
Diríem que no és que les tasques del tipus 6 + ? =10 els costin molt, sinó que no li veuen el sentit, al que els demanem de manera descontextualitzada.I si a més pretenem que ho associïn a una operació que no és la que utilitzen per resoldre el problema, potser la millor solució serà centrar l'objectiu en que sàpiguen transcriure el llenguatge matemàtic a l'acció portada a terme i que resolguin el problema amb les seves estratègies de càlcul.

Hem deixat de banda els tipus de problemes que contextualitzen situacions de resta: els que els viatgers baixen enlloc de pujar. És interessant tenir present aquests sis tipus, els tres que hem vist de canvi creixent i els tres associats a la resta de canvi decreixent, per tenir una llista rica de models de problemes.

Altres contextos de problemes de suma: combinació i comparació

Carpenter

A més dels problemes de transformació o canvi, hi ha dos tipus més de problemes additius segons Carpenter, Fennema i altres en el seu llibre "las Matemáticas que hacen los niños" els de combinació i els de comparació. En el capítol 2 trobareu la part dedicada a la classificació de problemes additius.

Àbac de cadires

Fa una pila d'anys en Claudi Alsina en una de les seves conferències, ens va explicar un joc per fer a classe que ell anomenava "Àbac de cadires" i que consisteix en que cinc persones seuen de costat en cinc cadires i han de moure's segons unes normes bastant fàcils d'explicar:

Qui fa anar tota la "maquinària" és la persona asseguda a la cadira de la dreta. Aquesta persona cal que canvïi de posició (s'aixequi o s'assegui) cada vegada que donem un cop sobre la taula. 

Els altres depenen del moviment del primer: quan la persona de la seva esquerra s'asseu (i solament quan s'asseu) ha de canviar la seva posició (si estan drets han de seure i si estan asseguts han d'aixercar-se). El joc s'acaba quan estan tots drets. Per poder veure com funciona mireu aquesta presentació.

 

View more PowerPoint from puntmat

Un cop entès com funciona us plantegem la primera pregunta: quants cops he donat per a arribar fins a aquesta posició?

L'activitat feta a classe 
En una reunió de planificació de classes en les pràctiques del Màster de Secundària de la UAB, en Jordi Losantos va incorporar la idea a la seva proposta inicial, utilitzar l'àbac de cadires en una classe de 3r d'ESO de l'Escola Sadako. Va ser més complicat del que semblava i aquí us explica com va anar:

-->

"Aquesta activitat pot tenir un problema, que d'entrada no imaginàvem, si el portem a classe, i és que com a mínim per a adolescents, no és gens fàcil. I no ens referim a l'activitat en si, sinó a saber seure (cosa lògica en adolescents) i aixecar-se quan toca. I si no, mireu com va sortit quan es va portar a classe, tot i que els vig posar en fila (enlloc de posar-los de costat) a veure si se'n sortien! El vídeo dura cinc minuts, però l’activitat ens va prendre entre quinze i vint minuts. Hi va haver un moment que semblava que no sortiria, però amb l’ajuda del quart bit humà (fixeu-vos-hi) ens en vam sortir."

Els subtítols incorporats al tram final del vídeo, on es marca amb un "0" la posició assegut i amb un "1" la posició "dret" ens ajuden a visualitzar i ens indiquen que el sistema binari està amagat darrera d'aquest joc.

Aquest applet es relaciona amb l'àbac humà esmentat aquí:

http://blog.keycurriculum.com/covering-your-bases-an-interactive-dials-model/

Fins a quin nombre puc comptar amb els dits d'una ma?

La segona activitat, un cop acabada la de les cadires i entesa la relació del sistema binari amb el joc, va ser plantejar el problema de fins a quin nombre puc comptar amb els dits d'una sola ma. La resposta: "fins al 31" és sorprenent. Cal dir que l'"habilitat digital" que cal tenir no és senzilla i la del protagonista del vídeo és notable. Ho podeu provar i veureu que no és fàcil. 

Sistema binari buscant a internet
Per tancar el post us mostrem un parell d'exemples de presència del sistema binari en llocs inimaginables. Un primer exemple ens acosta al món de la fotografiai està treta de l'excel·lent bloc fotomat.es

I per acabar, què millor que un regal?. El sistema binari us obre les portes. Podríeu dir-nos quina hora és? Podeu trobar aquí la resposta a aquesta pregunta.

Enllaç

Com a rellotge per tenir al despatx o a l'estudi és "un detall". No ens imaginem la seva utilitat com a rellotge de tauleta de nit.