Qui és l'intrús?

Una de les taques amb més èxit durant les trobades de formació de mestres són les QUELIs. Els mestres de seguida veuen el seu potencial per fer parlar als alumnes i intueixen com s'engrescaran els alumnes buscant arguments per defensar les seves respostes. O sigui, les QUELIs són tasques ideals per valorar les dimensions "comunicació i represantació" i "raonament i prova".

Què són les QUELIs?
Per explicar què significa QUELIs o WODB i quines característiques tenen aquestes tasques, per comentar com podem portar-les a l'aula i quines variants hi ha creiem que el millor es remitir-vos al resum de la presentació que van fer @davidobrador i @ccbcnmvd al C2EM 2016:

Exemples de QUELI's
Hi ha exemples per a totes les edats i relacionades amb tots els blocs temàtics. A més de la pàgina "oficial" que recull exemples d'aquestes tasques: http://wodb.ca, a Twitter, sota l'etiqueta #wodb els usuaris comparteixen les que dissenyen ells i les que proposen en les seves aules:

Comentarem la nostra experiència amb tres QUELIs de geometria que vam portar a l'aula

Anomenarem A a l'objecte que està a dalt a l'esquerra, B el que està a dalt a la dreta, C el que està a baix a l'esquerra i D a l'últim

Amb aquesta proposta surten arguments relacionats amb

• els eixos de simetria: B és l'intrús perquè és l'únic que les diagonals són eixos de simetria o C és l'intrús perquè és l'únic que té un únic eix de simetria o D és l'intrús perquè és l'únic que no té cap eix de simetria  
• les diagonals: A és l'intrús perquè és l'únic que té les diagonals iguals tallant-se al punt mig o  és l'intrús perquè és l'únic que té diagonals perpendiculars o C és l'intrús perquè és l'únic que les diagonals no es tallen al punt mig
• els costats: C és l'intrús perquè és l'únic que té tres costats de mides diferents o A és l'intrús perquè és l'únic que té costats perpendiculars o B és l'intrús perquè és l'únic que té tots els costats igual
• els angles: A és l'intrús perquè és l'únic que té tots els angles iguals o C és l'intrús perquè és l'únic que té un angle obtús oposat a un angle agut
• ... 

Aquí també els arguments han estat variats

• A és l'intrús perquè és l'únic acutangle, o l'únic que té com a eix de simetria la diagonal del geoplà
• B és l'intrús perquè és l'únic escalè, o l'únic que té un costat de longitud major que 4
• C és l'intrús perquè és l'únic rectangle o l'únic que la seva frontera només té contacte amb tres punts del geoplà
• D és l'intrús perquè és l'únic que no té punts del geoplà a l'nterior, o l'únic que té un costat de longitud 4

En aquest cas, a més de convidar als alumnes a exposar arguments sobre perquè cadascuna de les figures era "l'intrusa" vam plantejar que pensessin què tenien en comú les peces vermelles, les verdes i sobre tot les blaves. El fet de reconeixer que el mateix color indicava mateixa àrea els va donar nous arguments: C és l'intrús perquè és l'únic que té àrea 9 triangles verds o D és l'intrús perquè és l'únic que té àrea 8 triangles verds.

A la fase final del Fem Matemàtiques 2019 l'organització va proposar als participants com a activitat inicial per formar grups puzzles relacionats amb #QUELIs (a cada participant es lliurava amb la inscripció una imatge que corresponia a la cinquena part d'una imatge major que corresponia a una tasca del tipus "qui és l'intrús?" havien de juntar-se amb la resta de participants que tenien imatges de la mateixa QUELI i entre tots argumentar les quatre opcions)

Pràctica productiva: restes (2)

Aquest curs és el segon en el que portem a terme un projecte de col·laboració entre el PuntMat, i les escoles de Gràcia, anomenat Gràcia Barri Matemàtic. Aquest curs el dediquem a fer  un "seminari de pràctica productiva". Us mostrem algun exemple.

Un cop presentada la idea que hi ha darrera de l'expressió "Pràctica Productiva" (treta de les idees del Freudenthal Institute) --

Les destreses matemàtiques bàsiques (càlcul mental, càlcul d’àrees de figures   elementals, algoritmes, etc.) necessiten pràctica.   Aquesta pràctica es pot fer de manera reproductiva, quan només s’enfoca a l’automatització de les destreses, o productiva, quan aquest objectiu s'assoleix   ambientant-lo en la resolució d'un problema.   Creiem que aquest tipus de pràctica hauria de tenir un lloc destacat en les   activitats d’aula, perquè al mateix temps que els alumnes consoliden habilitats   matemàtiques, desenvolupen maneres de fer que inclouen “els processos”.

... ens vam posar a treballar en la primera activitat

L'activitat

Un dels "espais naturals" de la pràctica productiva,  és reconvertir un full de rutines, en una activitat que plantegi un problema que, per solucionar-lo, s'hagin de realitzar les operacions plantejades en el full, en aquest cas, un full de restes.

L'activitat es va realitzar en una classe de cinquè de Primària. L' objectiu de pràctica eren les restes, i el repte plantejat va ser el següent:

 L'ambient de la classe va ser molt diferent, fins i tot el comentari de la mestra va ser "s'han posat a fer restes com uns bojos"

Exemples de respostes

En una activitat com aquesta les estratègies i processos utilitzats, són diferents. En el cas del treball següent, fer per una de les nenes de classe, si no és la perfecció li falta poc. El seu mètode de treball és molt bo, i l'esquema de presentació demostra un cap estructurat, a l'hora d'organitzar la feina i comunicar-la. Però es "culpa" de la mateixa nena... ja és així!

• Comença per escriure tots els nombres que es poden obtenir, combinant aquestes quatre xifres. Una mostra de pensament exhaustiu, en la que es veu certa estratègia organitzativa: tria un nombre i després escriu l'invers.
• En la segona part, comença organitzant les restes ordenadament: horitzontalment canvia les xifres del nombre de dalt i verticalment el de sota, fins que troba repeticions. 
• Va marcant als nombres utilitzats a la primera llista, per comprovar que no se'n deixa o no repeteix

Però la discussió fantàstica es pot produir quan surten respostes  com aquesta: en la que també hi ha cert ordre, però sembla que canvii de criteri. Raonaments com aquest fan complicat trobar-les totes o no repetir-ne cap.

Deixant de banda que l'alumne es va equivocar en una de les restes, cosa irrellevant un treball com aquest, respostes com aquestes són fantàstiques, ja que  ens permeten reflexionar col·lectivament sobre el fet de ser curosos en  el procés de treball sistemàtic. 

En aquest cas, l'alumne va trobar 11 restes (en total eren 12). Saber quina era la que s'havia deixat, no li va ser gens fàcil (pel que corregeix tampoc) ja que en no seguir un camí sistemàtic, trobar-la, implica de fet  resoldre de nou el problema. Aquesta discussió és molt profitosa per a crear hàbits i processos de treball matemàtics.

Preguntes com: Com ho puc fer per estar segur que no me'n deixo cap?, o com assegurar que no n'hi ha dues de repetides? son preguntes clau, que presideixen aquesta activitat.

Activitats multinivell

Una de les característiques de les activitats de pràctica productiva, és que tenen un ventall ampli de cursos en el que poder ser proposats. Un mateix problema proposat en diferents nivells dóna resultats diferents i mètodes més o menys sofisticats.

 Exemple de resposta del problema posat a 1r d'ESO

Com es veu a la imatge, en aquest cas apareixen nombres negatius com a solucions de les restes, e llistat ja treballa amb operacions indicades i no en forma d'algorisme etc.

La dinàmica  

Els alumnes, encara que el treball es individual, seuen en taules de quatre, parlen amb els companys, verifiquen resultats o demanen ajudes, però al final han de presentar un full individual.

En aquest tipus de treball canvia el contracte didàctic: no es tracta de resoldre unes restes, presentar-les i ser validades com correctes o no. En aquest cas, assegurar que estiguin ben fetes forma part de les condicions de treball. Un mal resultat  pot "amagar" la possibilitat de trobar relacions per arribar a conclusions vàlides.

Hi ha alumnes que poden necessitar fer-se "cartes" amb els nombres, per a organitzar-se. No deixa de ser un mètode més, molt útil per molta gent quan comença. Però hauria de sortir d'ells com estratègia.És a dir no es tracta que el mestre li doni el material fabricat per facilitar-li la feina. Ha de ser una estratègia triada per l'alumne, que fins i tot pot explicar: m'he fet cartes per no repetir cap nombre a l'hora d'escriure les restes", per exemple.

En ser activitats obertes, surten preguntes inesperades, que obren camps desconeguts. Per exemple, un alumne (de cinquè) va preguntar si "valien" els nombres negatius. Creiem que  si un alumne de cinquè ho planteja, cal deixar que continuï: n'hi sortiran el doble, però obra un camí nou. i a més segurament, descobrirà ràpidament, que els resultats són els mateixos però amb el signe canviat.

Extensions  

L'activitat es pot "estirar". Us convidem a resoldre les dues situacions següents i a enviar-nos respostes, vostres o d'alumnes als  comentaris.

Exemple 1
A partir de triar quatre nombres (que son consecutius)  investigar que passa amb els resultats i quants resultats diferents surten

Un cop trobat el resultat, i observant que són nombres consecutius, podem plantejar que passaria si ho féssim amb altres nombres consecutius diferents. Sortirien el mateix nombre de resultats diferents que en el primer cas? Es repetiria algun resultat? quines conclusions? podem treure?

Exemple 2
Poder canviar de camp numèric i plantejar investigacions amb fraccions:

 

Algunes preguntes possibles a fer podrien ser que el resultat fos que el resultat fos:

• la fracció més petita possible
• la que s'apropi més a 1/2
• una de denominador 10, els pot semblar sembla impossible d'entrada, però recordem que segons quins resultats es poden simplificar

Perímetre i àrea 2

A escola parlem de perímetres i àrees. Plantejar quina és la relació entre el perímetre d'una figura i la seva àrea dóna un joc a classe molt interessant. Per altra banda és una manera de rendir un petit homenatge a l'Emma Castelnuovo, que ens ha deixat fa molt poc.

En el seu llibre de text, per a alumnes del que seria actualment un primer d'ESO, publicat al 1949 sota el títol "La via della Matemàtica la Geometria" publicat en català per la Editorial Ketres presenta la següent imatge. El redactat és un resum del text del llibre.

Relació intuïtiva entre el perímetre i l'àrea de diferents rectangles
“Agafeu un cordill que tingui les dos extrems lligats per un nus i poseu-lo entre els dits de les mans de manera que en l'interior es vegi un quadrat. Acostem els dits i separem les mans  per formar  un rectangle com el de la figura. Repetim alguns cops el pas de quadrat a rectangle i de rectangle a quadrat.

La pregunta formulada és: què passa amb el perímetre i l'àrea? Veure que el perímetre no canvia és una deducció fàcil, ja que s'utilitza el mateix tros de corda, però davant la pregunta de l'àrea, un gran nombre d'alumnes (i d'adults) responen que l'àrea es manté igual, ja que el que es perd per una banda es guanya per l'altra.

Una versió Mateclicks d'aquest problema 

Figures:© PLAYMOBIL/ geobra Brandstätter GmbH & Co. KG.

A l'ARC trobareu una activitat relacionada:

http://apliense.xtec.cat/arc/node/29111

Al blog del Joan Jareño també trobareu una entrada fantàstica on s'esmenta i analitza aquesta activitat: Les tires dels tiris: tancant àrees màximes. 

Mateix perímetre, diferent àrea

Deixant el llibre de banda, però entomant la idea de tractar conjuntament perímetre i àrea una activitat interessant podria ser estudiar quants rectangles del mateix perímetre i diferent àrea es poden trobar dibuixat sobre una quadrícula.

A la imatge l'estudi amb el perímetre 24:

Com es pot observar a l'últim rectangle l'alumne ha badat. Tant bé que anàvem!

Podem obrir-lo a figures sense la restricció que siguin rectangles: partint d'un quadrat de perímetre 16, buscar totes les figures del mateix perímetre que es puguin obtenir dibuixant sobre la trama, i calcular-ne l'àrea.

Exemples de figures amb perímetre 16 que abasten des de l'àrea 16 fins a la 10.

• Quina és la figura d'àrea més petita que es pot trobar?
• Podem aconseguir totes les àrees des de 16 fins a la mínima, baixant d'un en un?
• Podem aconseguir dues figures diferents de perímetre 16 amb la mateixa àrea? 

Una de les discussions interessants a portar a terme és identificar quines accions (sobre els costats) fan que el perímetre disminueixi i quines no. Un exemple de resposta: "doblegar les puntes el revés" (pas de la figura de 16 a la de 15 per exemple)

La mateixa activitat es pot proposar amb escuradents en lloc de treballant sobre paper quadriculat, l'únic aclariment que hem de fer és que els escuradents només poden ser paral·lels o perpendiculars entre sí:

Presentem un exemple de cada valor que pot prendre l'àrea (fets amb Geogebra)

Mateixa àrea, diferent perímetre
Els Tangrams y els Tetraminós són dos materials que ens poden ajudar molt a treballar aquest  aspecte:

Tetraminós
Disposant d'un joc de tetraminós podem preguntar als nostres alumnes si tots tenen la mateixa àrea i el mateix perímetre. Quants perímetres diferents us sembla que trobarem?

Ajuntant dos tetraminós: quina és la figura de perímetre més petit que es pot obtenir? Aquesta activitat aporta discussions interessants. Sobretot si es proposa trobar totes les figures possibles (obtingudes a partir dels dos tetraminós donats), per així comprovar les conjectures prèvies.

Si es volen ampliar les possibilitats de trobar figures diferents ajuntat dues figures podem dels pentaminós
 

Tangrams
En una conferència José Luís Lupiáñez en la que parla de competències, va presentar un exemple que solament de veure'l et ve de gust plantejar-ho als alumnes. De les dues figures de la imatge següent, quina és la que té l'àrea més gran? I perímetre? La part important d'aquesta activitat és demanar que ho justifiquin, utilitzant el vocabulari matemàtic necessari: que parlin ells!

Ajuntant les dues idees, l'activitat proposada anteriorment de buscar figures de perímetre mínim per a tetraminós es pot fer perfectament amb peces del tangram. Aporta un element de dificultat ja que en aquest cas no tots els costats són iguals.

Finalment l'activitat sobre el  tangram del Median, (publicada en aquest blog) va molt més enllà,  tant en la identificació de figures com en el treball d'àrees i perímetres. Us recomanem fer-li un cop d'ull.

Més activitats relacionades amb la graella del 100

La graella del 100 és un dels deu materials que considerem imprescindibles per treballar les matemàtiques en una escola. Vam parlar d'una activitat per a la seva construcció i de la possibilitat de fer amb ella dictats de nombres al post La graella del 100. I vam tornar a dedicar-li un post a Graella, applets i materialització. Avui el que volem proposar és una sèrie d'activitats per relacionar la graella amb les taules de multiplicar.

Primer hauriem de proposar als nostres alumnes que en una graella (triem la que va de l'1 al 100 per fixar idees però també es pot fer amb la que va del 0 al 99) pintin d'un mateix color tots els nombres que van a la taula del 6 (extesa fins a que el resultat sigui més gran que 100) o la del 2, del 3, o del 4... i que descriguin el patró que s'hi veu.

Aquest vídeo, encara que utilitza una orientació de la graella diferent a la que fem servir nosaltres habitualment, il·lustra quines són les cel·les que hem d'acolorir (les que tenen escrit un nombre en el video)

Multiplication Hundreds Chart Connection from Berkeley Everett on Vimeo.

Els podem proposar que relacionin els diferents patrons fent preguntes com: Quines relacions poden establir, per exemple, entre les taules del 4 i del 8? o entre les del 2, del 3 i del 6?

Font

Graella feta amb #ggb per representar patrons de @jfontg 

Després podem proposar-los una activitat com la que apareix al Quadern 10 de 3x6.mat Barba i Calvo (2005) Ed. Barcanova:

Creiem que una bona manera de continuar aquesta sèrie és la següent: 

Imaginem la graella del 100 construïda a base de peces d’un puzle, on n'hi ha de diferents formes. Quins nombres són els que formarien la peça dibuixada? De quantes maneres podries col·locar la peça perquè un dels nombres que formen la peça sigui el 58? etc.

Si la casella pintada correspon a un nombre de la taula del 2,
quines altres caselles corresponen a nombres de la taula del 2?

Si la casella pintada correspon a un nombre de la taula del 3,
quines altres caselles corresponen a nombres de la taula del 3?

Si la casella pintada correspon a un nombre de la taula del 8,
quines altres caselles corresponen a nombres de la taula del 8?

 Si la casella B correspon a un nombre de la taula del 5 y la casella A a un nombre de la taula del 9, quins nombres formarien les peces?

Quins nombres formarien les peces si sabem que en cada una hi ha dos nombres de la taula del 6 i un de la del 7?

Pot ser interessant complementar aquesta activitat amb la proposada pel projecte Nrich a Multiples Grid

En la línia d'aquest post val la pena esmentar l'activitat proposada al blog PinkMathematics:

http://pinkmathematics.blogspot.com.es/2014/05/weaving-three-times-table.html

Una seqüela a partir d'una piulada de @Veganmathbeagle: es pot analitzar com varien els patrons que dibuixen les taules sobre la graella quan modifiquem les graelles: posant els nombres de l'1 al 100 en zig zag o posant-los en espiral. Algunes taules (com la del 6) continuen dibuixant patrons unes altres (com la del 9), no.

El puzle de la graella del 100 (2)

En el post anterior "el puzle de la graella del 100" ens havíem quedat aquí: un cop completat el puzle ens vàrem adonar que faltava una peça i la mestra, l'Ana, va proposar als alumnes que construïssin la peça faltant, per completar-lo. 

Al dia següent, a la classe, es realitza la activitat de construcció de la peça. En una taula central hi ha el problema "plantejat". Dibuixar una peça que ompli el forat. Es treballa en grups, cadascun a la seva taula, i els alumnes es desplacen a la taula central quan necessiten recollir dades.

1.Agafant dades necessàries per omplir el forat. 2. Dibuixant la peça sobre paper utilitzant els instruments necessaris. 3. La peça dibuixada.

Ara cal posar els nombres que hi falten

Encara que de vegades no acaba de sortir el que preteníem. Aquest és un exemple. Cal dir que hi van haver altres errades (que no hem reproduït  al blog) com: col·locar els nombres correctament però girats 90º en relació als altres, omplir la peça amb els nombres 20, 43, 44 i 54, errades de precisió, com es veu a l'imatge inferior etc.

Uiii! per poc. Encara que l'instrument de la mesura que utilitza la nena no sabem si serà del tot útil.

L'anècdota

No hi ha res que ofereixi estratègies més imprevistes que deixar que els alumnes es "barallin" amb els reptes utilitzant els seus recursos. Es fantàstic deixar fer, però també portar a classe discussions sobre quines estratègies són més eficients, quines poden portar a més errades, etc. Expliquem la de la nena de la última imatge:

1. Obra els dits per pendre la distància que li fa falta
2. Va cap a la seva taula, en arribar xerra amb el company que li fa una pregunta, després es mira els dits i se n'adona que la mida "ha crescut"
3. Torna a la taula central a prendre la mida de nou, i... torna corrent! amb els dits marcant la nova distància. Es veu que la velocitat es inversament proporcional a la possibilitat d'errada
4. Posa "la distància" sobre una línia recta que els seus companys tenen dibuixada sobre un paper
5. El seu company li pren la mida de la distància entre dits amb una regla, no sense haver-li fet canviar la inclinació de la mà tres o quatre cops, i diu: "8 centímetres"!

Aquesta és una anècdota, però és que si entrem a les diferents maners de prendre mides dels alumnes quan la situació no és "academitzant" podríem omplir dos posts més. El millor és que ho proveu vosaltres, segur que n'apareixeran moltes a la classe, si els deixem fer.
La pregunta important a fer-nos és: com hem d'actuar perquè la propera vegada cada alumne arribi un pas més enllà del que ha fet avui? si "manem molt" malament! però hem d'intervenir per a que millorin, oi? Com? Aquest és el repte.

Més sobre minilliçons

Fa més de dos anys vam publicar una entrada sobre Minilliçons i estratègies. En aquest temps hem continuat pensant en aquesta manera de practicar destresses bàsiques que posa el focus en la relació entre fets coneguts i fets derivats com estratègia per millorar el càlcul mental (o simplement: eficient).

Hem portat a l'aula activitats presentades en aquest format i hem ampliat les temàtiques abordades. Avui us volem ensenyar algunes noves minilliçons:

Una sobre operacions amb decimals

Vam fer l'activitat oralment amb tota la classe (5è de Primària @escolasadako amb la col·laboració de les mestres Marta i la Cristina), però de tant en tant, alguna de les explicacions les demanàvem per escrit

També podem presentar activitats d'aquesta mena relacionades amb el càlcul de percentatges:

O amb la relació entre fraccions i decimals tal com es veu en les següents fotografies del treball d'una alumna de 3r d'ESO

La Marta P. de l'escola La Sínia de Vic va portar a l'aula activitats amb aquest format. En les següents fotografies es pot veure un exemple:

La mateixa idea la podem trobar a l'applet "Calcula porcentajes pensando" del Juan Garcia Moreno

https://dl.dropboxusercontent.com/u/44162055/manipulables/numeracion/fporcentajes1.swf

Minilliçons i estadística

Les minilliçons no estan restringides al treball al bloc de Numeració i càlcul. A continuació proposem un exemple de minilliçó que podem proposar en treballar el concepte de mitjana:

Creiem que és una bona oportunitat per discutir sobre: Què passa amb el valor de la mitjana quan a tots els valors els sumem o restem un mateix valor? I si els multipliquem per un mateix valor? Què passa amb la mijtana si un valor augmenta i un altre disminueix en la mateixa mida? Què passa si afegim al conjunt de dades el valor de la seva mitjana? Una bona oportunitat per apropar-nos a la noció de mitjana més enllà del procediment que coneixem per calcular-la. 

Calculadora trencada

Al nostre nou blog dedicat als applets (ja l'heu visitat, oi?) tenim una entrada amb el mateix nom que la present entrada. Allà parlem d'aquestes calculadores que ens donen fantàstiques oportunitats per analitzar propietats de les operacions aquí parlarem de com es pot portar aquesta activitat a l'aula sense fer servir ordinadors.

Als quaderns 13, 14 i 15 de la col·lecció 3x6.mat editada per Barcanova ja vam incloure algunes propostes en aquest sentit:

Aquesta setmana, amb la Cristina i la Marta, vam proposar aquestes tasques als seus alumnes de 5è de l'Escola Sadako i les discussions van ser riquíssimes.

Primer vam haver d'aclarir molt que no volíem una resposta aproximada sinó exacte ja que la primera proposta dels alumnes per fer 35x14 van ser 36x13!! També van presentar-se algunes confusions perquè alguns alumnes van calcular 35x14 amb paper i llapis i com els resultat era 490 proposaven operacions amb aquest resultat sense fer servir el 4, per exemple: 500-10. Però després d'haver fet aquests aclariments i haver resolt un primer exemple entre tots, la classe va funcionar molt bé.

Alguns exemples de les produccions dels alumnes (malauradament el que no podem presentar aquí són les justificacions verbals dels alumnes):

L'enorme majoria dels alumnes recorrien (sense saber-ho i tal com es veu a la imatge) a la
propietat distributiva, ja sigui en relació al primer o al segon factor i no vam veure exemples
d'aplicació intuïtiva de la propietat associativa com seria calcular 35x14 fent 35x7x2

Una manera de propiciar que pensin més d'una manera de fer el càlcul alternatiu va ser
demanar-los que treballèsin en parelles però que cadascú dels integrants de la parella
havia d'escriure una solució diferent al seu full.

Després de felicitar a l'Aina per la fantàstica justificació gràfica de la resposta

(5 grups de 44 és el mateix que 5 grups de 33 als que va afegir els 55 sobrants),

vam discutir per què 33x5=165+55=220 no era una bona manera d'expressar-la

Com a material de recolzament es poden utilitzar calculadores convencionals posant un gomet a sobre de les tecles que no es poden utilitzar (o anar recol·lectant calculadores d'aquestes que en totes les nostres aules van perden tecles!! no les llenceu mai més!!)

Afegit a posteriori (16/11/13): els alumnes van gaudir tant d'aquesta activitat que uns dies després els vam proposar fer en paper la proposta d'altre applet de calculadora trencada (un que no focalitza tant en propietats de les operacions però sí en altes aspectes importants de l'aritmètica escolar) proposat al blog Cut the Knot : escriure els nombres de l'1 al 15 en calculadores en les que només funcionen unes poques tecles.