Conjectura de Collatz: una activitat de classe

Com es veu a la imatge aquesta conjectura és fàcil d'enunciar: Agafem qualsevol nombre enter N més gran que zero. Si és parell, es divideix per 2. Si és senar, ho multipliquem per 3 i sumem 1. Repetim aquest procés. La conjectura sosté que sempre al final s'obté el nombre 1. Encara no es coneix contraexemple o prova d'aquesta afirmació. Al 2011 es va pensar que l'alemany Opfer, un exalumne de Collatz, havia aconseguit provar-la però no va ser així. Podeu veure la notícia aquí (06/06/2011).

Font: http://es.xkcd.com/site_media/strips/collatz_conjecture.png

Podeu jugar a verificar casos particulars clicant aquí (06/06/2011) Malgrat l'enunciat tan simple, el problema, presentat pel matemàtic alemany Lothar Collatz en 1937, fins a la setmana passada no tenia solució. Ara s'ha d'esperar que la revista a la que ha enviat Opfer la seva demostració la validi (aquí trobareu la demostració enviada) per saber si ara ja en té.

D'un problema "potent" a una activitat d'escola
Aquests tipus de problemes poden inspirar activitats de classe molt riques tant per Primària com per Secundària.

Un exemple

Per exemple, per a alumnes de vuit anys, es pot presentar una versió modificada com aquesta: "Triar un nombre entre 0 i 100. Si és parell, es divideix per 2. Si és senar, li sumem 1" (s'ha anul·lat la multiplicació per 3 i acotat a 100). Repetim aquest procés fins a arribar a 1. Amb quin nombre aconsegueixo fer la seqüència més llarga? L'Ana va portar aquest problema a la seva classe de 3r de primària de l'escola "Can Sorts" de Sentmenat. Per explicar les instruccions va partir d'un cuc en el que el primer nombre era el 24 plantejant que el cuc "s'acabaria" quan arribessin al nombre 1.

La primera discussió ja va ser com calcular la meitat de 24, cosa no elemental a 3r. Les intervencions varen ser moltes i en destaquem una que mai haguéssim imaginat.
Alumna: 12
Mestra: Com ho has calculat?
Alumna: Doncs com que un dia té 24 hores però els rellotges en tenen dotze i han de donar dues voltes, la meitat de 24 és 12.

Poc a poc es va arribar a completar el cuc i a comptar que tenia 7 anelles

Arribats aquí i un cop més familiaritzats amb el càlcul de meitats, en una altra sessió la mestra va plantejar trobar un cuc més llarg, amb la condició que el primer nombre no podia ser més gran de 40. Molts alumnes van pensar que seria el 40, es va dibuixar a la pissarra: tenia 9 anelles.

Es va començar a discutir a partir de preguntes de la mestra si realment era el més llarg. Hem triat dues intervencions d'alumnes d'aquelles que sorprenen per la seva "qualitat matemàtica":

Mestra: El cuc té 9 anelles. Es el més llarg? Serà el més llarg perquè el 40 és el nombre més gran?
La resposta majoritària va ser si, fins que...
Alumna: jo no hi estic d'acord ja que si el nombre és més gran quan li fas meitat aleshores n'hi treus més que no si el nombre és més petit
Mestra: Voleu provar a veure si en en trobeu un de 10 anelles?
Gairebé immediatament un alumne va aixecar la ma i va dir: El 39 ja que si li sumo 1 vaig al 40, i aleshores com que el de 40 en té 9 el de 39 en tindrà 10

A partir d'aquí van anar fabricant cucs en grup fins que van trobar el més llarg, però això es feina que us deixem per vosaltres. I és que una bona activitat i unes bones preguntes, uns alumnes educats en el repte, i una mestra que els estiri poden fer meravelles.

Cloenda: els grups pengen el cuc que han estudiat

Els resultats finals

Us posem feina: primer acabeu el problema plantejat als alumnes de tercer i trobeu quin és el nombre més petit que %0 que genera una fila més llarga?

Aquest applet fet en Geogebra pel José Luis Muñoz pot fer-vos servei

https://www.geogebra.org/m/hb7syhk6

• I si no posem el límit de 50 i anem tirant amunt, quin serà el primer nombre que superarà en llargada al cuc de major nombre d'anelles trobat anteriorment? I el que superarà a aquest segon?
• I si canviem sumar 1 per restar 1?

Un altre exemple
Amb alumnes més grans podem analitzar com altres petites variacions en la regla de formació del "cuc" alteren les conclusions a les que podem arribar, inspirant-nos en la proposta de MathPickle (una pàgina que ja vam comentar al post Problemes irresolubles a l'ensenyament obligatori?)

• Si el nombre és parell, el dividim per 2. Si el nombre és senar, el tripliquem i li restem una unitat. Es poden trobar exemples de nombres que triguin més en arribar a l'1 amb aquesta llei que amb la convencional? I que triguin el mateix? I que triguin menys? (solució). Es poden trobar exemples de nombres que amb aquesta llei no arribin mai a l'1? (resposta a la imatge de la dreta)

Per altre banda, al vídeo "Full Integer Collatz" dels mateixos autors, es fa una proposta per fer pràctica productiva amb enters fent unes altres modificacions:

• Si el nombre és parell, el dividim per -2. Si el nombre és senar, el tripliquem i li afegim una unitat.  Quin és el nombre entre 1 i 20 que triga més en arribar a l'1?  (solució)
• Si el nombre és parell, el dividim per 2. Si el nombre és senar, el multipliquem per -3 i li sumem 1. Quin és el nombre entre 1 i 20 que no arriba mai a l'1? (solució)

Informació complementària:

• Si voleu aprofundir sobre aquest tema us suggerim llegir "La conjectura 3x+1 i els límits de la matemàtica" de J. Llibre que va apareixer al volum del 2008 de la revista MAT2 de la UAB 
• Una animació que il·lustra el comportament dels camins generats Animated fun with the infamous Collatz conjecture: 
• La @MartaMachoS ens dóna més informació sobre aquesta conjectura: un applet on escrivint qualsevol nombre fa el camí per arribar a l'1 indicant la longitud i quants parells i senars hem tocat durant el camí i referències bibliogràfiques per aprofundir-hi The 3x+1 Problem: An Annotated Bibliography