Pràctica de divisions decimals

Després d'haver introduït la divisió decimal fent repartiments de diners i d'anar, poc a poc, independizant-se del context arriba el moment de practicar el procediment. Aquesta pràctica es pot en un fer en un ambient de resolució de problemes a partir de la proposta de petites investigacions. A continuació relatem un exemple portat a l'aula.

Primer de tot es van proposar unes quantes divisions de nombres enters de dues xifres entre 9 (23:9, 32:9, 45:9, 56:9, 65:9, 71:9 i 17:9) i a partir dels resultats obtinguts es va veure que és molt habitual que el resultat sigui un decimal periòdic i que el període no canvia quan s’invertien les xifres del dividend. Com a ampliació a aquesta primera tasca es va suggerir una pregunta: passarà el mateix amb nombres de tres xifres?

En la discusió de tancament de la tasca es va concluoure que en dividir un nombre natural entre 9 havia dos possibilitats: el resultat era un nombre enter o el resultat era un nombre decimal periòdic i que aquest periode coincidia amb el residu de la divisió entera

Després del treball fet amb el divisor 9 es va proposar investigar que passava amb altres divisors Què passa en dividir un nombre enter entre 3? Quines possibilitats hi ha? 
 

Què passa en dividir un nombre enter entre 2? Quines possibilitats hi ha?

Què passa en dividir un nombre enter entre 4? Quines possibilitats hi ha?

Què passa en dividir un nombre enter entre 5? Quines possibilitats hi ha?

Què passa en dividir un nombre enter entre 6? Quines possibilitats hi ha?

Què passa en dividir un nombre enter entre 8? Quines possibilitats hi ha?

Què passa en dividir un nombre enter entre 7? Quines possibilitats hi ha?

Com sempre que fem investigacions hem de tenir clar que les conclusions a les que arribem són conjectures que poden ser molt febles si els experiments que fem són pocs o poc representatius.

Cometre errades en aquest tipus de context no ha desanimar a cap alumne per dos motius: l’objectiu de practicar divisions decimals ha estat plenament assolit i cometent aquest tipus d’errades ens apropem a entendre com es validen les afirmacions matemàtiques.

Una altra qüestió que ens vam plantejar era analitzar com es feien aquestes divisions amb calculadora. Vam començar plantejant quatre divisions:

I vam preguntar què tenien en comú els resultats obtinguts:

A continuació vam proposar que fessin les mateixes divisions amb calculadora i van trobar un resultat que els va sorprendre molt:


Inspirats en la tasca Noodle Whack, per acabar la classe vam proposar que els alumnes, amb l’ajuda de la calculadora i el que havien après sobre com s’han de llegir els resultats que dóna aquesta eina, trobessin noves divisions entre nombres enters que tinguessin un quocient decimal format per una mateixa xifra repetida:

Vam proposar als mateixos alumnes uns anys després una tasca inspirada pel blog Matemàtiques Marines. Es tracta de classificar fraccions segons el tipus d'expressió decimal que generin, o el que és el mateix, classificar divisions entre dos nombres enters segon el tipus de decimal que sigui el quocient:

Aquí podem veure treballs d'alumnes amb aquesta taula

• què passa en estendre aquesta taula cap a la dreta? 
• la idea és que vegin que els patrons de colors es repeteixen i el patró mínim és el que va des de la cel·la que està més a l’esquerra fins a la primera cel·la groga 
• què passa en estendre aquesta taula cap a baix? en quines files hi ha només cel·les grogues i taronges? en quines files hi ha només cel·les grogues i verdes? en quines files hi ha cel·les de tots els colors? 
• la idea és que vegin la relació entre les respostes a aquestes preguntes i els nombres primers que apareixen en la descomposició factorial del denominador

Expressió decimal de a/b amb a i b entre 1 i 100
(verd: enter, marró: decimal finit, groc: periòdic mixt, lila: periòdic pur)
(Font: document drive enlaçat al blog Matemàtiques Marines)