Tasques riques i Fibonacci

La successió de Fibonacci (una successió en que cada terme és la suma dels dos anteriors) és una font inesgotable de tasques riques. En aquest post comentem tres exemples.

Tasca 1

Aquí tenim un exemple proposat en Cicle Inicial on l'objectiu és practicar de manera productiva sumes en el rang 0-100:

"Laboratori de nombres" (1r Primària, Innovamat)

A diferència del primer apartat de la tasca en que la solució en cada cas és única (encara que les estratègies que demanen no és la misma en els quatre casos)

• a l'apartat 2 es demanen dues de deu solucions possibles (en les primeres dues cel·les es poden col·locar els nombres 1-10. 2-9, ..., 10-1) Val a observar que els cucs generats en col·locar en les dues primeres cel·les 3 i 8 o 8 i 3 no són iguals: 

• a l'apartat 3, el fet de no demanar que l'última anella hagi de tenir al 50 sinó un nombre proper a ell, permet que els alumnes vagin provant i millorant les seves solucions sense sensació de fracàs mentre fan un munt de sumes que és en el fons el que volem practicar.

Aquesta proposta es pot complementar amb les #actrivitats "Cucs de Fibonacci" i "Cucs de Fibonacci acolorits" on es proposa aprofundir en patrons sobre els cucs com el comportament de la cinquena anella quan en les dues primeres hi ha nombres iguals o la distribució de les anelles que contenen nombres parells o senars.

https://innovamat.com/blog/ca/introduccio_actrivitats/

A alumnes més grans o com a tasca d'ampliació els podem preguntar quina relació troben entre l’anella central i la suma de les dels extrems (a la imatge següent es veu una justificació que pot complementar la conjectura que facin els alumnes al respecte)

Tasca 2

Però no cal restringir-nos a successions de 5 termes, aquí tenim un exemple proposat en Cicle Superior on l'objectiu és practicar de manera productiva el càlcul de mitjanes:

Quadern de Matemàtiques 6è (2015, Ed. Barcanova)

La justificació de que la mitjana entre la cel·les n i n+3 és la cel·la n+2 pot ser visual:

I també pot ser visual la justificació de que la mitjana entre la cel·les n, n+1 i n+6 és la cel·la n+4

Tasca 3

Comencem demanant que s'escriguin tots els termes de la successió de Fibonacci (en la seva versió estàndar, o sigui, començant amb 1 i 1) menors que 1000. Pot semblar una tasca molt llarga però ens adonem que no és així: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987

A continuació fem propostes com aquestes:

• verifica que entre aquests nombres només un de cada tres termes és parell, un de cada quatre és múltiple de 3, un de cada cinc és múltiple de 5. Com continuaries aquesta sèrie? 

• divideix cada terme de la successió entre 3 i pren nota dels residus que vas obtenint. Què observes? Què passa si canvies el divisor per un altre nombre (per exemple: 7)? 

Es pot veure que en dividir entre 3 els termes de la successió s'obtenen els residus: 1,1,2,0,2,2,1,0 en bucle. I aquests bucles es poden trobar qualsevol sigui el divisor. El @DavidKButlerUoA va piular imatges que il·lustren aquest fet amb reglets Cuisenaire. Per exemple, el cas del divisor 3:

@DavidKButlerUoA

La xifra final dels nombres que formen la successió de Fibonacci (o sigui, el residu de dividir aquests nombres entre 10) no s'escapen a aquest resultat i també es repeteixen seguint un bucle de longitud 60!! A més unint aquests nombres a mida que apareixen en el bucle es dibuixa un interessant patró geomètric, tal com es veu en aquesta imatge de @panlepan

@panlepan

• verifica la següent afirmació amb tots els nombres de dues xifres: "tot nombre natural es pot escriure de manera única com la suma de termes diferents de la successió de Fibonacci" 

Aquest resultat es coneix com a teorema de Zeckendorf i, a més afirma, que si exigim que no hagi nombres de Fibonacci consecutius la descomposció és única.