Graella multiplicativa

Al quadern 8 de la col·lecció 3x6.mat vam incloure aquesta proposta

Quan demanem a l'alumne que col·locant la "L" en altres posicions ompli la taula, podrà observar que sense haver de fer cap multiplicació ha omplit la graella multiplicativa.

Recordeu que al blog d'applets del Puntmat hi ha una entrada amb applets relacionats amb aquesta graella.

Captura de pantalla d'un dels applets ressenyats a Graella Multiplicativa

A l'igual que vam proposar fer un puzle amb la graella del 100, podem fer el mateix amb la graella multiplicativa

I havent jugat a reconstruir la graella a partir de diferents peces podem presentar peces incompletes perquè els alumnes omplin sabent que formen part de la graella. En alguns casos la solució és única, en altres no:

La graela multiplicativa, lluny de ser simplement una taula de nombres a recordar, la considerem un terreny per analitzar:

• la seva simetria com a reflex de la propietat commutativa de la multiplicació

• els nombres que hi apareixen
• Val observar que encara que hi ha 100 cel·les a la taula només hi ha 42 valors diferents: alguns d'aquests valors apareixen només un cop (per exemple, 49) d'altres apareixen múltiples vegades (per exemple, 30 apareix quatre cops).
• Quins tipus de nombres veuen més freqüentment a la graella. parells o senars? Sorprendrà als alumnes veure que només la quarta part de les 100 cel·les corresponen a nombres senars.

• Si demanem als alumnes de cicle mitjà que davant d'una graella multiplicativa buida omplin totes les cel·les que contenen nombres superiors a 50 poden sorprendre's en veure que malgrat que els 100 nombres que omplen la graella estan en el rang [1,100], la quantitat de resultats en el rang [51,100] és  inferior al 20%. Encara més, podem analitzar la distribució dels resultats en quatre zones:

• La graella ens ofereix un bon recurs per practicar les taules. Podem oferir una graella buida (només els encapçalaments de files i columnes) i demanar als alumnes que pintin totes les cel·les on apareixerà un dígit determinat.  

Aquí veiem els patrons visuals que descobriran els alumnes al pintar les cel·les en que apareix el dígit 1, 2, 3, ..., 9 o 0.

Es parla d'aquesta tasca i d'altres al vídeo "Graella Multiplicativa" gravat pel CREAMAT en el marc de la campanya per fomentar els Laboratoris de Matemàtiques:

• si extenem la graella cap a la dreta i cap abiax, podem analitzar la distribució dels múltiples d'un nombre

Si voleu explorar altres patrons que dibuixen els múltiples sobre la graella multiplicativa, exploreu-los fent servir un applet dissenyat pel @jfontgon amb Geogebra. El Jordi també ens ha regalat la possibilitat de fer exploracions en un full de càlcul.

Els múltiples de 15

Hi ha molta més informació sobre aquests patrons a l'article The Hidden Symmetries of the Multiplication Table que vam conèixer gràcies a Raúl Ibáñez

Un dels exemples que apareix a l'article: es veuen els múltiples de 16 pintats
de taronja, entre la resta apareixen de grocs els múltiples de 8, entre la resta,
 els múltiples de 4 apareixen en vermell i els altres parells en verd.

• podem preguntar per la suma de cada fila d'aquesta taula o la suma de la taula sencera 

Si ens restringim a la graella de 5x5 la pregunta anterior coincideix amb
preguntar pel nombre de cubets necessaris per a la construcció de la imatge

• o, per què no apareix el nombre 13? i el 77?
• o, què passaria si fessim la taula ampliada a 20 x 20? i a nxn? hi hauria nombres que continuarien sense apareixer? hi hauria nombres que només apareguéssin 2 cops? i 3? 

I moltes propietats més:

• on es troben els nombres triangulars en aquesta taula?

Captura de pantalla de la proposta del projecte Nrich: Triangle Numbers

• on es troben parelles de nombres consecutius units per un vèrtex?

El resultat de nxn i de (n+1)x(n-1) són nombres consecutius

• què passa en sumar dos nombres d'una mateixa fila (o columna) que deixen una cel·la entre ells?

Imatge del quadern "Laboratori de Nombres" editat per @innovamat_cat per a  3r de primària

• la suma de cinc cel·les consecutives de la graella sempre dona un nombre acabat en 0 o en 5 (fins i tot quan les cel·les es trien seguint una diagonal)

Captura feta utilitzant aquest applet

• situem sobre la graella màscares de diferents mides
• treballant amb la màscara groga: comparem la suma dels nombres que queden en una diagonal (\) amb la suma dels nombres que queden en l'altra diagonal (/)
• treballant amb la màscara verda: comparem la mitjana del nombres que queden en les quatre cantonades amb el nombre que queda en el centre de la màscara

• què s'obté en fer la mitjana de tots els nombres de la graella des d'1x1 a nxn?

 La mitjana de totes les cel·les entre 1x1 i 9x9 és 5x5. 

En general, la mitjana de les cel·les fins a nxn és (n+1)²/4

I encara més en general, la mitjana de les 

cel·les entre 1x1 i nxm és (n+1)/2·(m+1)/2

Per una altra banda, la mitjana dels nombres de la graella que es troben en el 

rectangle de vèrtexs (n-k)x(m-h), (n-k)x(m+h), (n+k)x(m+h) i (n+k)x(m-h) és n·m

• què s'obté en sumar els nombres de la n-ésima fila i la n-ésima columna fins al punt on es troben ambes dues?

Captures de pantalla de l'applet Multiplication Square on també es troben relacions 

entre la suma de diagonals de la graella amb els nombres tetraèdrics i piramidals

Altres graelles multiplicatives
Al blog d'applets del PuntMat tenim un bon recull de recursos digitals per treballar amb aquesta mena de graelles i a continuació llistem algunes altres propostes

A la pàgina del projecte NRICH trobem un problema relacionat amb aquestes graelles: Gabiel's Problem on es demana col·locar els nombres de l'1 al 9 en les cel·les de manera que el producte de cada fila i columna sigui el valor indicat

Una altra activitat d'aquesta mena és Mystery Matrix, també del NRICH implica prendre decisions sobre l'ordre d'actuació. Per exemple el 49 és segur, i també sabem que a la fila del 15 i el 27 solament hi pot anar un 3.

Aquesta mateixa idea la treballa una tercera proposta del NRICH Missing multipliers. INclou un applet en el que cal prémer un quadret i apareix quin nombre hi ha amagat i cal triar els factors. Cal anar omplint fins obtenir tots els factors de l'eix vertical i horitzontal. És de dificultat més alta, implica haver d'utilitzar estratègies d'optimització per fer-ho en el nombre de passos que marca l'applet. Potencia  fer un treball de descomposició en factors molt interessant. L'applet es completa amb  un seguit de preguntes o reflexions a formular

Hi ha un blog anomenat "Find the factors" destinat exclusivament a proposar reptes d'aquesta mena. Aquests reptes es diferencien en sis nivells i creiem que a partir del nivell 3 comencen a tenir gràcia les propostes.





Un altre interessant applet de @PhETsims per treballar amb la graella multiplicativa: Arithmetic

Aquí podeu veure un petit vídeo explicatiu

Més sobre representacions planes d'objectes tridimensionals

En l'entrada Desenvolupament de poliedres vam parlar d'algunes activitats que es poden proposar a classe en relació a aquest tipus de representació plana de poliedres. En aquesta entrada parlarem d'una altra activitat: comptar cares, arestes i vèrtexs d'un poliedre a partir dels seu desenvolupament.

Comptar cares, arestes i vèrtexs

Font: Wikimedia

A la xerrada Entre el pla i l’espai, la visualització. Reflexions sobre el bloc Espai i Forma organitzada pel Creamat a l'abril de 2012 vam dedicar una tercera part de la nostra exposició a aquesta activitat, encara que en aquell cas no es vam restringir a fer el comptatge a partir del desenvolupament. Allí també ho feiem a partir d'envasos, d'imatges semitransparents del poliedre (imatge de la dreta), de materials de construcció de poliedres a partir de les seves cares (Polydron, per exemple) o de les seves arestes (Volumes a construire, per exemple).

Quan treballem amb desenvolupaments tenim una problemàtica específica. Per exemple, el nombre de cares del poliedre desenvolupat en la imatge de l'esquerra, clarament té 9 cares, però quantes arestes i vèrtexs té?

No podem comptar directament el nombre de segment que hi veiem perquè en alguns casos dos segments corresponen a la mateixa aresta. I el mateix passa amb els vèrtexs?

Per aquest motiu creiem que és molt convenient treballar prèviament amb applets com els que ens proposa Garcia Moreno en el seu blog Didacticprimaria.

En el primer podem treballar simultàneament amb el desenvolupament i el cos representat en perspectiva (passant d'una representació a l'altra de manera gradual, movent la barra lliscant de la part inferior). A l'entrada Cares, arestes i vèrtexs del blog AppletsPuntmat trobareu propostes anàlegs d'altres autors

En el segon i el tercer, encara que no comptem arestes, focalitzem en el problema d'identificar quins segments del desenvolupament representen la mateixa aresta.

Diagrames de Schlegel
Són una manera de representar en el pla poliedres que té la caracterítica de facilitar moltíssim el comptatge de cares, arestes i vèrtexs

Captura del minut 0:48 del vídeo 120-cell que il·lustra
l'obtenció del diagrama de Schlegel d'un dodecaedre regular

Dos diagrames de Schlegel diferents del mateix prisma
depenent del punt des del qual es faci la projecció  

Diagrama de Schlegel del poliedre esmentat a l'inici de l'entrada

Observar que per obtenir el nombre de cares del poliedre representat per un diagrama de Schlegel s'ha de sumar 1 al nombre de polígons que el conformen.

Wireframes
Una altra representació plana de poliedres que facilita el comptatge principalment d'arestes és la que proposa Anne Tying aquí

Cases de quatre cubs

El problema que descrivim en aquesta entrada el vam veure per primer cop al fantàstic llibre de Van den Heuvel-Panhuizen, M. & Buys, K. anomenat Young children learn measurement and geometry: A learning-teaching trajectory with intermediate attainment targets for the lower grades in primary school editat pel Freudenthal Institute al 2005.

En aquest problema es demana construir tots els tetracubs possibles considerant que cadascun d'ells és una casa. Es tracta per tant d'una situació que requereix pensament exhaustiu i si es vol comunicar per escrit la solució trobada, el llibre de Van den Heuvel suggereix la seva representació mitjançant vistes zenitals amb informació d'altures.

A les imatges següents es veuen algunes de les 15 cases possibles, representades a partir de captures de pantalla del applet Building with blocks:

Les cases A i B són clarament diferents encara que es tracti del mateix tetracub i el mateix passa amb les cases C i D. Però no és tan fàcil apreciar que les cases E i F o G i H són diferents entre sí. 

El problema es fa més interessant encara quan es demana als alumnes que assignin un preu a cada casa en funció de les unitat de sòl que ocupen o del nombre d'obertures que caldrien si s'ha de col·locar una en cada cara dels cubets si aquesta dóna a l'exterior. Per aprofundir en aquesta derivació del problema es poden consultar aquestes tres propostes: 

• Four Cube Houses
• Rumer's Cube Houses
• Hotel Snap

Visualització amb cubets V: esculpir

A la xerrada Entre el pla i l’espai, la visualització. Reflexions sobre el bloc Espai i Forma organitzada pel Creamat a l'abril de 2012 vam fer servir per introduir el capítol de "vistes" aquesta imatge:

http://berdinanimus.tumblr.com/post/17274298723

Les que nosaltres acostumem a anomenar "vistes" són les projeccions dièdriques de l'objecte (encara que la imatge anterior és prou explícita del significat  d'aquests projeccions, hem trobat un vídeo molt senzillet per il·lustrar aquest concepte)

http://youtu.be/Eoh5ZK5UBnk

Revisant aquests dies el que hi ha al projecte Nrich sobre aquest tema ens hem trobat una activitat, The Perforated Cube, que ens ha recordat la imatge de l'inici. Allí es proposa construir un cos format per cubets de manera que les diferents projeccions dièdriques siguin una S, una H i una E. El podriem fer amb cubets multilink? Millor, seguirem el suggeriment que ens fan d'utilitzar Building with blocks:

Solució realitzada amb http://www.fisme.science.uu.nl/toepassingen/00724/

La manera de resolver aquest problema posa en evidència la diferència entre construir la solució i esculpir-la. Sent aquesta última una estratègia fonamental en totes les activitats en que s'ha de trobar el cos a partir de les seves vistes.

Ceno con Nicole y con Adoum. Nicole habla de un escultor que ella conoce, hombre de mucho talento y fama. El escultor trabaja en un taller inmenso, rodeado de niños. Todos los niños del barrio son sus amigos. Un buen día la alcaldía le encargó un gran caballo para una plaza de la ciudad. Un camión trajo al taller el bloque gigante de granito. El escultor empezó a trabajarlo, subido a una escalera, a golpes de martillo y cincel. Los niños lo miraban hacer. Entonces los niños partieron, de vacaciones, rumbo a la montaña o el mar. Cuando regresaron, el escultor les mostró el caballo terminado. Y uno de los niños, con los ojos muy abiertos, le preguntó: Pero... ¿cómo sabías que adentro de aquella piedra había un caballo? 

Eduardo Galeano, Días y noches de amor y de guerra

Desenvolupaments de poliedres

Revisant què teniem al blog sobre representacions planes d'objectes tridimensionals ens hem adonat que teniem unes quantes entrades parlant de vistes (l'última sobre Tomografies geomètriques, però també altres com Des d'on està tirada la fotografia? o la sèrie sobre Visualització amb cubets) però fins ara havíem parlat molt poc sobre desenvolupaments. 

Entenem que els desenvolupaments són molt més que models per construir poliedres amb cartolina, el veiem com una manera de donar informació sobre l'objecte representant-lo en dues dimensions. Esmentem algunes activitats que podem servir d'exemple:

Pensament exhaustiu
Podem demanar als alumnes trobar entre els 35 hexòminos possibles tots els que representen desenvolupaments d'un cub. Aquesta activitat sí que la havíem esmentat en dues entrades prèvies (en Poliòminos i pensament exhaustiu i en Noves entrades a l'Espai Jordi Esteve on s'esmenta una activitat del projecte Nrich que involucra desenvolupaments: A puzzling cube) però ara, a més, afegim alguns applets relacionats amb aquest problema

http://illuminations.nctm.org/ActivityDetail.aspx?ID=84

http://www.transum.org/Maths/Activity/Net_or_Not/

http://dmentrard.free.fr/GEOGEBRA/Maths/Espace/3.247/patrondecubeMD.html

• Tal com planteja Don Steward en el seu post Nets of a cuboid és interessant generalitzar l'estudi anterior: hi ha 11 desenvolupaments per a un cub però quants n'hi haurà d'un prisma de base rectangular qualsevol? 

Al post abans esmentat ja es veia que la resposta a aquesta pregunta és 54 però, el Bernat Castro ens ha suggerit una justificació molt convincent: 

• També podem demanar als alumnes que trobin entre els 3 tetriamants possibles els que representen desenvolupaments d'un tetraedre, entre els 12 hexamants els que representen desenvolupaments d'una bipiràmide triangular o entre els 66 octiamants els que representen desenvolupaments d'un octaedre. Per aprofundir-hi llegir al blog Median l'entrada: Other numbers of nets

Imatge dels 3 triamants (Font: http://commons.wikimedia.org)

Imatge dels 12 hexamants (Font: http://commons.wikimedia.org)

• I una última proposta, en aquest sentit, difícil però interessant és la de trobar tots els desenvolupaments possibles d'un prisma de base rectangular. Per aprofundir-hi llegir al blog Median l'entrada: Nets of a cuboid

Què hi ha a la cara oposada?

http://demonstrations.wolfram.com/FindTheOppositeFace/

Identificar la mateixa aresta

Un cop més trobem en la biblioteca de manipulatius virtuals del Juan Garcia Moreno una activitat molt interessant.

http://2633518-0.web-hosting.es/blog/manipulables/geometria/g17.html

http://2633518-0.web-hosting.es/blog/manipulables/geometria/g64.html

Identificar el desenvolupament correcte

http://demonstrations.wolfram.com/DeduceTheNetForADie/   

http://demonstrations.wolfram.com/DeduceTheNetForADiesNet/

http://demonstrations.wolfram.com/DeduceTheNetForAnOctahedralDie/

Desplegaments partits

http://nrich.maths.org/2315

Més exemples al blog d'applets del PuntMat: Cares, arestes i vèrtexs (1a part) i Cares, arestes i vèrtexs (2a part)