Visualització amb cubets IV

Després de les vacances reprenem el blog amb una entrada semblant a l'entrada amb la que ens vam acomiadar al juliol: una entrada post-JAEM.

En aquestes jornades els de PuntMat juntament amb la Laura Morera (@lau_morera) i en Miquel Ferrer (que encara no piula) vam proposar un taller al voltant d'un material que ens agrada molt: Tridio

Una de les activitats que es poden realitzar amb aquest material és la construcció d'objectes tridimensionals a partir de la  informació que donen les seves vistes: zenital, frontal i lateral. Aquest tipus d'activitats les considerem molt importants i en total consonància amb el document de conslusions del “Debat sobre el sistema educatiu català” (2000) que esmenta "l'utilització de sistemes convencionals de representació espacial per obtenir o comunicar informació relativa a l’espai físic" com a una de les competències matemàtiques bàsiques a desenvolupar durant l'etapa d'escolarització obligatòria.

D'aquest tipus de construccions ja hem parlat en altres entrades

• Visualització amb cubets
• Visualització amb cubets III

Però encara tenim altres comentaris a fer sobre el tema. En el mític llibre de Dickson, Brown & Gibson "El aprendizaje de las Matemáticas" (editat en castellà al 1991 pel MEC) es fa referència a una investigació portada a terme per Lappan i Winter amb alumnes de 8 a 11 anys que havien de construir l'objecte tridimensional a partir de les següents tres vistes bidimensionals:

Aquest problema té 10 solucions diferents!! En el cas dels reptes proposats pel Tridio la solució és sempre única mentre que els exemples que havíem esmentat en altres entrades del blog sí que tenien moltes solucions. Es podia creure que aquesta indeterminació era deguda a la falta d'informació de la vista zenital però en aquest exemple de Lappan i Winter es veu que no.

Quan vam proposar aquest problema a alumnes del Màster de Secundària de la UPF, van tornar a sortir maneres molt imaginatives de representar les solucions:

Quatre de les deu solucions representades amb formatge i torrades

Les deu solucions del problema (una amb 12 cubs, cinc amb 13 cubs, tres amb 14 cubs i una amb 15 cubs) en aquest cas, utilitzant eines digitals.

Graella, applets i materialització

La setmana passada vam estar a les XVI JAEM, hi vam treure un munt d'idees per futures entrades d'aquest blog i hem volgut triar-ne una per fer cloenda del curs 2012-13.

Tot comença amb un applet de numeració que ens agrada molt

http://www.curriculumsupport.education.nsw.gov.au/countmein/children_hundred_chart.html

9/10/2011/ Nota: el problema dels applets és que desapareixen: la pàgina ja no funciona. Gràcies Sílvia  Margelí, per avisar-nos. De totes maneres l'activitat de construir màscares amb els alumnes continua sent vàlida.
 
Es tracta de posar una màscara sobre una graella del 100 buida i anar omplint-la a partir dels forats que deixa la màscara, quan s'ha acabat d'omplir aquests forats es gira la màscara 90º en sentit horari es torna a col·locar a sobre de la graella i ara ja hi ha noves cel·les per emplenar.

L'applet fa servir tres màscares per acabar d'omplir la graella però òbviament es pot fer amb una sola màscara. Creiem que fins i tot es pot proposar a alumnes una mica més grans que dissenyin màscares que permetin cobrir tota la graella amb el mínim de forats.

Exemple d'una màscara de 25 forats que permet omplir tota la graella
Dissenyada per una alumna de Magisteri de la UAB

El Joan Jareño en una entrada dedicada a decodificació de missatges al seu blog del Calaix +ie comenta un mètode molt senzill per dissenyar màscares de 25 forats que permetin omplir tota la graella (mirar l'apartat "Un algoritme per construir graelles clau")

Hem de tenir en compte que surtiran exercicis de diferent grau de dificultat per emplenar la graella segons tinguin molt o pocs forats consecutius.

El Jordi Font Gonzàlez ens ha suggerit una manera de generar bones graelles. 

Fins aquí, tot normal però @divermates i @fblascoc al seu taller de les JAEM 2013: "Construcción de puzles y máquinas matemáticas" ens han donat la idea de que aquest treball el podem materialitzar amb "escorreplats" i gomets!! 

Per dissenyar la màscara hem enganxat gomets tapant forats. Un cop feta ja podem escriure els nombres en els llocs buits, girar quatre cops  i comprovar si el disseny és correcte.

Bones vacances!!
Ens retrobem al setembre

Autocorrecció (V) Petit homenatge al "gran" Segarra

No podem acabar aquesta sèrie d'autocorrectius sense parlar d'en Lluís Segarra i de com ja fa molts anys va fer arribar l'autocorrecció a les escoles amb dues idees genials: incorporar "l'autocorrecció lúdica" i editar-ho com a material escolar en format quadern de càlcul. Parlem del Polimat editat per Teide i que ja no es comercialitza. Cadascun dels jocs rebia un nom com per exemple Lotomat, Sorpremat, Enigmat, Pintamat etc.

Consisteix en uns quaderns que es presenten en una doble pàgina. La de l'esquerra planteja el full d'exercicis i la de la dreta proposa un joc o repte en el que s'utilitzen els resultats del exercicis per poder resoldre el joc. Si els resultats han estat correctes, s'arriba a la solució del joc o enigma.

Imatge ampliada en l'exemple següent

Sorpremat

Full de l'esquerra: problemes

Full de la dreta: autocorrecció

En aquest cas es donen dues respostes una de les quals és la vàlida. Cadascuna s'associa amb una lletra diferent i cal posar en la columna de la dreta la que s'associa amb el resultat obtingut de l'alumne. Al final de la correcció obtindrà la resposta a l'enigma que es presenta: nom d'un personatge invencible.

 

La imatge superior mostra tres dels autocorrectius que es presenten als quaderns
Lotomat

Cal marcar amb una creu el resultat que ha donat l'exercici, en cadascun dels tres cartons que apareixen. El resultat pot estar en en més d'un dels cartons. Si no està en cap és que l'exercici està malament.

Enigmat

Cal acolorir el nombre que coincideixi amb el resultat que ha obtingut l'alumne. Al final de la feina apareix una lletra. Si no acaba de "tancar" l'alumne veurà clarament quin hauria de ser el resultat correcte i així repassar on s'ha equivocat.

Pintamat

Amb la mateixa idea que l'anterior però ara el que obtindran serà pintar l'objecte: l'avió. 

Si us ha agradat la idea sempre podeu mirar de construir un fitxer autocorrectiu amb els vostres alumnes amb jocs proposat per ells. Combinant-los amb els que s'obtenen a la xarxa.

Per acabar la sèrie d'autocorrectius

No seria el moment de canviar el "contracte" amb els alumnes i passar-los a ells la responsabilitat de la validació i control dels seus exercicis? Una idea senzilla utilitzant la calculadora, o senzillament un full amb els resultats,  podría ser preparar uns "fulls de control de l'alumne" on els alumnes:

1. anotin el resultat que els hi ha donat l'operació, el resultat obtingut amb una calculadora,
2. marquin les xifres equivocades,
3. intentin identificar en què s'equivoquen,
4. valorin el seu progrés observant  si cada cop fan menys errades, o no, quines fan etc. 

No és millor això que les correccions (no parlem de discussions sobre l'activitat) a la pissarra on un nen o nena "fa" i els altres miren? No hauria de passar a la història aquest tipus de correcció col·lectiva? Nosaltres pensem que han de desaparèixer: que els alumnes vinguin "corregits de casa" i a l'aula discutim sobre altres aspectes com per exemple, com ha anat? on t'has equivocat? com et sembla que  podries millorar? notes que n'aprens? com? com?

Autocorrecció (IV) Proves i tests

Un model de tests per Secundària

Aquesta pàgina presenta un seguit de tests interactius en els que el els alumnes poden comprovar en qualsevol moment si la seva resposta és o no correcta. El test que apareix a la figura és d'opció múltiple amb la particularitat que les opcions correctes poden anar des d'una fins a totes. 

Exemple d'una de les preguntes contestades amb la correcció corresponent

A més d'aquest format n'hi ha d'altres de diferents tipus: de resposta única, d'identificació d'equacions (en la que cal que l'alumne faci l'exercici apart), puzles on cal col·locar una resposta correcta, etc. El llistat de preguntes que planteja el trobem interessant.

Aplusclick

És una fantàstica pàgina de "preguntes test" per a tots els cursos i  per a tots els camps de continguts. Té l'inconvenient que  està en anglès i això amb petits pot ser un problema, però no la desestimeu per això, creiem que és un gran aparador de preguntes que ens pot aportar moltes idees d'activitats.

Presenta preguntes de múltiple opció:

Té l'inconvenient respecte de l'anterior que no queda constància "escrita" de les errades, de manera instantània. De totes maneres ho recull en una  "pantalla resum" que es pot guardar fent una còpia de pantalla i que permet localitzar les preguntes mal resoltes de manera ràpida.

Fabrica el teu propi autocorrectiu

El programa blubbr permet, de manera molt fàcil, crear tests a partir de seqüències de vídeo filmades personalment o baixades de la xarxa. Vam preparar aquest per als alumnes de 2n d'ESO i s'ho van passar d'allò més bé. El vídeo triat "Poliedres regulars d'aperitiu" està penjat a Youtube i el seu autor és Francesc Forcada. El programa permet posar el llistat de preguntes cada 20 segons com a màxim.

Primer passa un fragment de vídeo

Al cap de 20 segons cal inserir una pantalla de preguntes. El nombre encerclat amb fons vermell indica el temps que queda per a respondre. Es van guanyant punts a mesura que es van encertant preguntes.

ATENENT QUE BUBBLR JA NO ESTÀ ACTIU, HEM REFET LA PROPOSTA AMB @EDUPUZZLE I LA PODEU TROBAR AQUÍ:

https://edpuzzle.com/media/5dc7ef9a172fe8409e9009c3

Autocorrecció (III) Estimació

Si tenim una operació com per exemple 65x38 i volem que ens diguin una estimació del resultat, de quina manera podem crear propostes autocorrectives d'estimació?

Donant respostes suggerides on les alternatives falses siguin exagerades
Vàrem trobar en uns quaderns holandesos (Rekenen wiskunde 2002 Opgavenboekje E6 C¿to Groep) uns exercicis de mesura que exemplifiquen el que diem.

Fabricar un autocorrectiu amb l'únic objectiu que l'alumne comprovi si ha encertat deixa de banda una molt bona oportunitat perquè "parlin ells". Demanar que expliquin com han fet la tria i corregir discutint la justificació potser s'allunya una mica de la idea d'autocorrectiu, però, en el fons l'autocorrecció està implícita en la justificació de l'alumne. Generalment a'arriba a la resposta per eliminació de les falses. Per exemple, en el cas de la imatge, dues tones és el que pesa aproximadament una furgoneta i 200g un got de llet.

Quanta aigua cap en una galleda de fregar 15dl, 15L o 150L? en seria un altre exemple: 15 dl, o sigui un litre i mig és la capacitat d'una ampolla d'aigua gran i 150L, ocuparia aproximadament l'espai de 150 tetrabriks. Par tant 15 litres hi poden cabre.
El més important no és dir el resultat correcte sinó justificar amb algun exemple la no validesa dels extrems

Autocorregir avaluant sobre la recta numèrica

Verd o groc?

En el camp dels applets trobem propostes molt interessants. Com s'avalua una estimació? Quina errada és acceptable i quina ja no? L'ús de la recta numèrica com a autocorrecció és una molt bona idea que ens brinda aquest applet que ja havíem esmentat a l'entrada "applets i estimació"

anar a l'applet

Un cop anotat el resultat l'applet indica quin és el resultat exacte, i posiciona el resultat donat sobre la recta. Mentre caigui en la zona verda es considera dins dels límits d'allò raonable. Fer-ho amb un temps limitat és molt important ja que obliga en certa manera a triar l'estimació com a mètode resolució.

Podeu trobar aquesta activitat contextualitzada en l'activitat "arrodonint preus".

Calculadora "exigent"
The Estimation Calculator no dóna el resultat d'una operació fins que l'usuari no li dóna una estimació raonable del resultat, si l'estimació està molt allunyada del resultat utilitza la línia numèrica en el mateix sentit que l'aplet anterior per donar pistes sobre com millorar l'aproximació.

Petar globus

Un applet mític del Freudenthal Institute del que ja hem parlat en l'entrada "l'applet dels globus". Mirat de del punt de visita de l'estimació hi apareix ja que dóna un marge d'error: l'amplada de globus. Pot ser interessant veure amb els alumnes quin és aquest marge d'error. Accés a la col·lecció completa de propostes





Acotacions succesives
Aquest és un applet del que ja hem parlat a l'entrada "applets i diners" on l'estimació ens acompanya fins el moment final en el que es demana una solució exacta. Accés a l'applet

Una primera autocorrecció és la que informa sobre la línia numèrica de la distància entre el preu estimat i el preu real.

A partir d'aquí i guiat per la barra l'alumne acota cada cop amb més precisió el preu ajudat per la informació de la línia.
Finalment quan el preu és exacte il·lumina de color verd.

Bloc de matemàtiques 6-8

Acabem de publicar un bloc (dels de paper) de 96 activitats matemàtiques per a alumnes de 6 a 8 anys amb l'objectiu de fer-los pensar i divertir-se. Pot servir per a suggerir idees, passar l'estiu o incorporar activitats de cara a racons. Esperem que us agradi. Les activitats pertanyen a cinc aspectes diferents que van identificats amb una icona.

Exemples d'activitats

Compta quants nens, nenes, estels i pilotes hi ha en el dibuix i anota-ho en el requadre corresponent

Identifica les set diferències entre els dos dibuixos. Pensa que les diferències tenen a veure amb les matemàtiques.

Encercla el que veu el ninot en cada cas.

Llegeix amb atenció els enunciats i vés fent el que se’t demana.Treballaràs la simetria! 

(es tracta d'una mena d'encreuat en el que, com a guia, apareixen els eixos de simetria que té la lletra que va a cada requadre)

La Maria, la Paula, en Leo i en Lluís juguen a escacs.
Volen jugar tots contra tots. Podries ajudar-los a organitzar-se? Escriu les partides i els jugadors en el requadre.

Munta en les graelles com serien de dia les cases

amb els gomets que trobaràs al final del bloc.

Anna Cerezo, Cecilia Calvo, David Barba, Toni Benages:
"El bloc de MATES" Ed. Barcanova. ISBN: 978-84-489-3254-1

Autocorrecció (II). Virtuals

Aquest post en complementa amb l'anterior anomenat "Autocorrectius (I). Manipulatius" i precedeix a Autocorrectius (III) que vindrà de seguida.

La interacció immediata dels applets confereix a les activitats autocorrectives realitzades amb l'ordinador una gran potencialitat en comparació als manipulatius. Veiem-ne uns quants exemples de diferents tipologies, no sense donar un consell previ: quan mireu els applets i els valoreu és gairebé més important fixar-se en com informen de l'errada que no com certifiquen l'encert.

 

entrar a l'applet.Clicar l'icona de globus

Per mecanitzar habilitats

Cal petar el globus que tingui el resultat correcte però els globus pugen molt lentament i si es peta el globus equivocat o si es triga massa es perd una vida (de les quals n'hi ha 5). De fet no varia massa d'un full de rapidesa d'operacions.

Per avaluar el progrés

Els applets del tipus anterior no aporten cap eina de control que permeti als alumnes ser conscients de la seva millora. El següent applet incorpora un comptador de temps, en segons. Això permet a l'alumne comprovar el seu procés d'aprenentatge controlant la seva millora en funció del temps emprat. En l'exemple l'alumne ha tardat 144 segons en construir la taula del 8. 

enllaç. En entrar a la pàgina cal prèmer "Tables Race"

En aquest cas l'autocorrecció té més a veure amb el temps que amb si el resultat és correcte o no. Si els preguntem com els va la memorització de taules escoltarem respostes del tipus "abans tardava més en fer-ho". 

Per identificar les errades

enllaç a l'applet

Aquesta és la pantalla que apareix al final d'una carrera de cotxes, on per avançar cal contestar resultats de les taules. L'avantatge és que reporta molta informació al jugador: el % d'encerts, la velocitat i la dada més important: un llistat de les errades. Així l'alumne té una guia per saber quins són els punts febles, què ha d'estudiar i què pot deixar de banda perquè ja s'ho sap.

Per corregir i reflexionar sobre l'errada

En aquesta activitat es treballa la ordenació de mesures i el sistema mètric decimal. Cal posar les anelles del cos del cuc en el seu lloc corresponent ordenades de gran a petit, començant des del cap. A cada anella hi ha escrita una mida (per exemple: 10 mm, 5 dm 8 km, 10 cm, etc.) Un cop acabat, apareixen unes barres. Si l'ordenació és correcta, aleshores les barres són totes grogues, i si no marca en vermell les errades. En el cas de la imatge l'alumne ha posat que 8 m és més petit que 5 dm (errada deguda a la confusió dm/dam?). I aquí cal "que parlin ells" i reflexionen perquè s'han equivocat. 

enllaç a l'applet

Per avaluar també procediments

enllaç a l'applet

Aquesta proposta de l'Institut Freudenthal no planteja solament una activitat, sinó  un paquet complet sobre un aspecte determinat, en aquest cas la resolució d'equacions.
Força applets de l'esmentat institut tenen aquest format i són una gran ajuda  per a les classes.

Aquesta és la pantalla inicial. A la part blanca és on es van resolent les equacions. Les rodones roses són 20 exercicis graduats per dificultat. A mesura que l'alumne els va resolent es van tornant de color verd (cal dir que en altres applets si un exercici no es fa a la primera el marca de carbassa, però no és el cas d'aquest). El requadre on diu "make an equation..." serveix per introduir qualsevol altre equació que el docent vulgui  que resolguin els alumnes. 

Pel que fa a l'autocorreció, en aquest cas està present, no solament al final, sinó al llarg de tot el procés. A la imatge es veu com cada vegada que es transforma l'equació per tal de resoldre-la l'applet avalua la correcció del pas fet posant un senyal verd o vermell. 

Trobareu una explicació sobre aquest applet i d'altres per a resoldre equacions al post resolució d'equacions amb una balança.

Per guiar resolucions d'assaig- error o  a validar conjectures

enllaç a l'applet

Un altre "paquet" de l'Institut Freudenthal és una proposta fantàstica relacionada amb divisió, residu i descomposició de nombres.
 

Activitat 1
Col·locar les sis boles de manera que en repetir-se el patró al llarg del fila la bola passi per el 102. Els alumnes fan una conjectura la posen al principi i prement "fill" es completa el colleret i es  comprova si la bola blava "cau" o no al 102. Si no s'aconseguix cal canviar la conjectura

Activitat 2
Col·locar les boles de manera que la vermella caigui al 15, la verda al 28, etc. Els alumnes segurament validaran per parts. Aniran a per el primer i provaran. Poc a poc les comprovacions els serviran per validar les seves hipòtesi. Aquí la correcció es barreja amb la comprensió. Un gran problema on el residu de la divisió està amagat darrere les cortines.

En aquest últim cas la interacció que donen els applets oferint respostes ràpides i validacions instantànies van molt més enllà de la correcció com a validació per ser una ajuda a la resolució del problema. Aquí solament hi ha dos exemple de la proposta. Val la pena mirar-les, donen bones idees.

Autocorrecció (I). Manipulatius

Partim de la idea que desprès de treballar junts, discutir col·lectivament, i entendre les coses des del context, els alumnes assoleixen de diferent manera el tema tractat. Per tancar el procés cal realitzar un treball que indiqui als alumnes i els seus mestres el grau d'assoliment individual del tema tractat. Vist des del punt de mira actual això ha de servir per reflexionar i ser conscients de la millora personal de cadascú. Com diu Neus Sanmartí "no hi ha res més engrescador que tenir la sensació que aprens". L'autocorrecció pot ajudar als alumnes a controlar aquest procés de millora.

Posats en aquest context plantegem la pregunta eterna: els alumnes han de disposar dels resultats dels exercicis? Per què als llibres de text no hi apareixen? A aquesta última pregunta s'hauria d'afegir  "al nostre país" ja que, per exemple, el llibre (de text) "La Geometria" de Emma Castelnuovo, a la seva edició de 1970, presenta molts dels exercicis proposats, amb el resultat incorporat.

Con es veu a la imatge tots els problemes menys el 22 i el 23 donen el resultat

Autocorrectius manipulatius
Hi ha una llarga tradició de propostes de materials autocorrectius, des de fa molts anys. I també de nova creació. En presentem un quants:

Capses Heinevetter

Podríem dir que la idea d'autocorrecció ha estat present des de fa molt, en poden ser exemples: el treball de Freinet o materials específics que van sortir al mercat a la dècada del 70. "Heinevetter" és un d'aquests materials: unes capses amb taules en que en cada cel·la es proposa una "pregunta", sobre cada cel·la s'ha de posar una peça de puzle que contingui la resposta numèrica corresponent. L'autocorrecció està basada en que les peces encaixen quan les respostes són correctes.

L'exemple de la imatge és de comptatge i identificació de numerals però hi ha una extensa varietat de capses que treballen diferents nivells i aspectes. Més informació: EJE

Capses ARCO
Material força conegut al nostre país, també treballa amb peces que cal col·locar en una base. La diferència està en la dinàmica: els alumnes posen les "peces resposta" sobre la pregunta. Es tanca la capça, se li dona la volta i en obrir per l'altre costat, si les respostes són correctes ha de sortir una sanefa. Si no surt queda clar on estan les equivocacions. Més informació: EJE.

Les dues peces de color mostren la part del darrera que crea la sanefa

Aquesta idea va ser recollida pel @HenkReuling en una sèrie d'applets als que anomena "Mini-loco"

Claus d'aprenentatge ARCO

Enfocades bàsicament  a aprenentatges d'habilitats, com per exemple sumes de dígits o taules de multiplicar tal i com s'ensenya en aquest vídeo. En acabar de passar el fil per les solucions correctes, en donar la volta el fil ha de seguir un camí marcat a la part del darrere. Més informació: EJE

 

Materialització de "Claus d'aprenentatge" realitzada pels
mestres de la Skogsbackeskolan (Karlstad, Suècia)

Autocorrectius actuals

Tot i que fins ara això de l'autocorrecció sembla més aviat un relat històric, no és així. Actualment hi ha propostes noves que continuen sortint al mercat, com per exemple les propostes de "K2 publishers" malauradament, per nosaltres, escrites en holandès. Els tipus d'activitats proposades, són molt interessants en general i responen a la manera de fer actual. Podria ser un bon material per a un racó d'aprenentatge. Us presentem una activitat de "vistes". 

Tal com es veu al primer exemple els nombres de les
graelles indiquen l'altura de cadascuna de les torres. 

L'autocorrecció funciona posant un plàstic transparent vermell als requadres de la dreta i així es visualitza el resultat. Per facilitar la visió d'aquests resultats el material disposa d'un artefacte com el següent. Mireu-ne el funcionament a la imatge.

Autocorrecció com a ambient de classe
Independentment dels materials involucrats l'autocorrecció, el tema està en la decisió de si la integrem o no al funcionament normal de les nostres classes. Imaginem un full d'operacions on l'exercici final fos:

1. comprova els resultats (amb la calculadora o amb un llistat de solucions adjunt);
2. marca les errades que has fet;
3. en un parell d'aquests casos, explica en què t'has equivocat.

Un dels aspectes positius que pot aportar l'autocorrecció és el canvi de dinàmiques: ja no es tractaria de que la mestra reculli la feina i marqui si cada apartat està ben fet o malament, sinó que és el propi alumne qui ho fa i no es queda simplement en trobar els apartats on el resultat no és el correcte sino que ha d'identificar el tipus d'errades que ha comès i decidir si farà de nou aquests apartats o si necessita plantejar algun dubte a la seva mestra. Una feina d'aquest estil podria portar a la substitució de les sessions de classe dedicades a corregir col·lectivament la feina dels alumnes per sessions dedicades a discutir el tipus d'errades més comuns i estratègies per evitar-les.

El post "autocorrectius" no s'acaba aquí us convidem a seguir llegint el paper de les noves tecnologies en l'autocorrecció en el post "Autocorrectius 2" que penjarem en un parell de dies.