Geoplans triangulars i teorema de Pick

Al post Geoplans i pensament exhaustiu ja vam parlar de geoplans de trama quadrada i de trama circular. Fins i tot en el post Joc del geoplà ja apareixia un geoplà de trama isomètrica. Ara reprendrem l'ús d'aquest material per fer alguns comentaris que poden donar lloc a interessants propostes de classe.

Anomenarem geoplà triangular de mida n a un tauler triangular amb n(n+1):2 claus distribuïts de manera que formen n² triangles equilàters iguals

1) Troba tots els triangles diferents que es poden construir en un geoplà triangular de mida 3 i calcula les seves àrees fent servir com a unitat l’àrea d’un triangle bàsic de la trama

2) Troba tots els quadrilàters diferents que es poden construir en un geoplà triangular de mida 3 i calcula les seves àrees

3) Troba tots els triangles diferents que es poden construir en un geoplà triangular de mida 4 i calcula les seves àrees

A partir de les dades anteriors podem buscar adaptar el teorema de Pick, molt conegut per calcular àrees en geoplans estàndard, per a trames isomètriques:

B és la quantitat de punts del geoplà que toquen en perímetre del polígon
I és la quantitat de punts del geoplà que estan a l'interior del polígon

Pot ser ens faria servei analitzar alguns polígons que deixéssin 2 punts del geoplà a l'interior, aquests polígons només es troben en geoplans de mida superior a 4. Aquí hi ha alguns exemples en un geoplà triangular de mida 5:

 

4) Troba tots els triangles equilàters diferents que es poden construir en un geoplà triangular de mida 6 i calcula les seves àrees

Si no considerem com a iguals dos triangles cuando estan col·locats de manera diferent al geoplà la quantitat de solucions seria 70 (veure A000332 i la imatge associada)

Afegides aquestes dades a la taula donen més pes a la conjectura de que l'àrea és 2 unitats més petita que la suma de B + 2 I, o sigui, A = B + 2I - 2 (tenint com a unitat d'àrea el triangle més petit que forma la trama)

• Hi ha una demostració d’aquest resultat aquí
• Observar que en geoplaans de trama quadrada  A = (B + 2I- 2) : 2 (tenint com a unitat d'àrea el quadrat més petit que forma la trama)