Pràctica productiva: equacions de primer grau

Encara que ja havíem fet posts amb tasques que promoguessin la resolució d'equacions de segon grau o la resolució de sistemes de dos equacions de primer grau amb dues incògnites en un ambient de resolució de problemes, encara no havíem proposat tasques semblants per un tipus d'equacions que proposemb amb anterioritat als alumnes: les equacions de primer grau.

Els dos primers exemples s'inspiren en la proposta de @colinfoster77 a "Expression Polygons" i el tercer exemple, en la proposta de @openmiddle "Solving Equations with Variables on Both Sides"

TASCA 1:

a) Escriu sobre cada segment negre la solució de l'equació que resulta d'igualar els dos quadres associats a aquest segment. Què observes?

Als alumnes que no troben dificultats en aquesta primera part de la tasca els podem plantejar preguntes com aquestes:

• què passa amb les solucions si multipliques per 10 els termes independents de les quatre expressions? 
• i si els valors multiplicats són els coeficients del terme de primer grau?
• i si a cadascuna de les expressions li sumes el coeficients del terme de primer grau?

Després d'haver treballat amb aquestes preguntes, o altres de semblants, poden fer front a un repte com el següent:

b) Què expressions escriuries en els quadres per obtenir els sis primers nombres parells? I per obtenir 6 números de dues xifres consecutius?

TASCA 2: 

Tria tres nombres enters diferents i col·loca cadascun al lloc d'una de les estrelles Escriu sobre cada segment negre la solució de l'equació que resulta d'igualar els dos quadres associats a aquest segment. Fes-ho per diferents ternes de nombres inicials. Què observes?

El primer que observen els alumnes és que en ocasions els tres nombres que han d'escriure són el mateix i en la resta d'ocasions els tres nombres són diferents. Aquí, podem guiar-los per concloure que és impossible que en dos segments el valor coincideixi i en el tercer no com a conseqüència de la propietat transitiva de les igualtats. Però no els resulta fàcil veure quina relació tenen els tres nombres entre sí quan són diferents: un d'ells és la mitjana dels altres dos. En aquests casos, creiem que és bona idea suggerir-los que representin els tres nombres sobre una línia numèrica i allí podran observar que un dels tres nombres equidista dels altres dos. 

Quan vam proposar aquesta tasca a alumnes de #eso3sdk van trobar la mateixa dificultat per concloure que una de les solucions és la mitjana de les altres dos però un dels grups a partir de tres casos van arribar a una formulació molt propera:

TASCA 3:

a) Si omplim les cel·les amb nombres naturals diferents entre 1 i 9, quines solucions enteres es poden obtenir? I si no exigim que siguin enteres, quantes solucions diferents es poden obtenir?

b) Omple les cel·les amb nombres naturals diferents entre 1 i 9 perquè la solució sigui el més propera possible a √2

En relació a la primera pregunta del primer apartat, els alumnes hauran de veure que es poden obtenir com a solució qualsevol nombre enter entre -8 i 8 exceptuant el 0. Però si volen comptar totes les solucions diferents que existeixen han d'organitzar molt bé la feina:

• Una de les solucions és 1 que es pot aconseguir a partir de moltes equacions diferents (per exemple: 5x+7=4x+8) 
• Hi ha vint solucions més grans que 1: 8, 4, 8/3, 8/5, 2, 4/3, 7, 7/2, 7/3, 7/4, 7/5. 7/6 6, 3, 3/2, 6/5 5, 5/2, 5/3, 5/4, 
• aquestes fraccions les hem obtingut combinant els nombres1 a 8 per fer de numerador o denominador, però en aquest sentit, val a observar que 8/7 no és una solución possible a pesar de que el numerador i el numerador són números entre 1 i 8 
• Hi ha vint solucions entre 0 i 1 que són les inverses de les solucions més grans que 1 llistades abans
• Hi ha 41 solucions negatives que són les oposades de les 41 solucions positives esmentades abans 
• En total tenim 82 solucions diferents

També es pot preguntar directament, quina és la menor solució positiva que es pot obtenir. Així ho va plantejar l'Ainhoa L. als seus alumnes:

Zona verda "hi ha una única manera d'aconseguir el nombre més gran"
Zona rosa: "hi ha moltes maneres d'aconseguir el nombre més petit"

En relació a l'últim apartat poden veure que encara que cap d'aquestes equacions té un valor irracional com a solució, n'hi ha algunes que tenen solucions properes a √2:

• 8x+1=2x+9 té solucó 1.333... 
• 7x+1=5x+4 té solució 1.5
• o l'òptima: 7x+1=2x+8 que té com a solució 1.4

TASCA 4

Amb els coeficients (1,3,5,8) s'obtenen 12 solucions: 2/7, 2/3, 4/5, 5/4, 3/2, 7/2 i els seus sis oposats. Clarament (1,3,5,8) no és l'única quaterna de coeficients que dona lloc a 12 solucions racionals però no enteres, per exemple (2,4,6,9) dóna lloc a les mateixes solucions racionals però (1,3,6,9) dona lloc a "altres" 12 solucions no enteres: 3/8, 2/3, 5/6, 6/5, 3/2, 8/3 i els seus sis oposats (3/2 i -3/2 es repeteixen en els dos casos). Però la gran majoria de quaternes de dígits diferents sí que donen lloc a solucions enteres. Per exemple,

• (1,2,3,6) dona lloc a 12 solucions: 2, 3, 5, els seus inversos i els seus oposats, per tant, 6 solucions enteres que representen un 50% del total. 
• (1,2,3,8) dona lloc a 12 solucions: 3, 5, 7, els seus inversos i els seus oposats, per tant, també 6 solucions enteres que representen un 50% del total
• (1,2,3,4) dona lloc a 6 solucions diferents: 1, 3, els seus inversos i els seus oposats, per tant 4 solucions enteres que representen un 66,7% del total. 
• ...

Font: tasca 25 del document The Proving Ground – an introduction to mathematical proof