Mondrian i la dissecció d'un quadrat en rectangles

Composició en vermell, groc, blau i negre
Oli sobre tela, 59.5x59.5, Piet Mondrian, 1921

Inspirant-se en l'obra de Mondrian MathPickle ens proposa aquest problema que ha estat un èxit cada vegada que l'hem portat a l'aula:

• Fes una graella de 10x10 
• Divideix la graella en rectangles diferents. ACLARIMENT: no es poden fer servir dos rectangles iguals, però sí que es poden fer servir dos rectangles diferents que tenen la mateixa àrea (per exemple, si hem utilitzat un rectangle de 2x3 no podem utilitzar un altre de 3x2 però sí un de 1x6).
• Acoloreix els rectangles seguint l’estètica del pintor Piet Mondrian. 
• Calcula la diferència entre el nombre de quadrets del rectangle més gran i el del més petit.

REPTE INICIAL: Quina és la diferència més petita que podeu aconseguir?

Els alumnes de 6è de @escolasadako van gaudir molt amb el problema, encara que cap d'ells va aconseguir la menor diferència possible (8).

La solució òptima de diferència 8 es pot obtenir així:

Però els alumnes de l'escola Tecnos de Terrassa, que es van entusiasmar moltíssim amb aquest problema, en conèixer aquesta solució es van proposar el repte de buscar-ne una altra que cap dels rectangles fos un quadrat. I no només ho van aconseguir sinó que ho van fer amb una solució més "elegant", utilitzant només sis rectangles!

Alguns mestres del seminari "Gràcia Barri Matemàtic" ho van proposar als seus alumnes de Cicle Mitjà i van explicar la seva experiència amb aquest problema al C2EM.

Els mestres del departament Col·laboratiu de Matemàtiques de la @FTrams també van proposar el problema als seus alumnes de Cicle Superior en el context del projecte Problemàtiques

Simon Gregg també va proposar aquest problema als seus alumnes:

ANEM MÉS ENLLÀ

• I si la graella inicial no és de 10x10 sinó de 4x4, 5x5, 6x6…?

El @druizaguilera ha representat així les solucions òptimes en aquests tres casos:

Així ho vam proposar als alumnes de 1r d'ESO de @escolasadako

MÉS REPTES

• És cert que a mesura que creix la mida de la graella inicial creix la solució òptima?
• És cert que si la graella inicial és de nxn, la solució òptima és menor o igual que n?

Podeu trobar un recull de solucions més informació sobre el problema aquí, aquí i aquí. En aquest últim enllaç trobareu aquest vídeo de Numberphile:




Al nostre blog tenim altres dos posts en els quals relacionem matemàtiques i art:

• en un d'ells analitzem els quadrats màgics que apareixen en les obres de Durer i Subirachs.
• en l'altre aprofitem les escultures d'Oldemberg per treballar la proporcionalitat geomètrica.