Pràctica productiva: sumes i restes de nombres enters

Fa uns quants anys ja vam comentar dues tasques que permeten practicar el treball amb operacions additives amb nombres enters 

• una tasca sobre quadrats màgics de constant zero analitzada al post Quadrats màgics i nombres enters
• la tasca "Full Integer Collatz" relatada al post "Conjectura de Collatz: una activitat de classe"

Però aquests són només dos exemples de les moltes tasques d'aquest tipus que podem proposar als nostres alumnes dels primers cursos de secundària. A continuació presentarem d'altres: 

1) Casetes de nombres enters

La tasca "Number Shacks" proposada pel recentment mort Don Steward en el seu blog Median dona oportunitat de practicar sumes i restes entre nombres naturals i convida a conjecturar la relació entre els valors que omplen una caseta en relació als que omplen la caseta que es troba dues posicions cap a l'esquerra.

Uns pocs conceixements de manipulació algebraica permeten justificar la conjectura formulada:

2) Nombres consecutius

Inspirats en la tasca que amb aquest mateix nom ens proposa NRICH, podem preguntar a l'alumnat: Quina regularitat trobes en els resultats d'aquests operacions quan a les targetes escrius de gran a petit diferents quaternes de nombres consecutius? Canvien les teves respostes si en lloc d'ordenar els nombres consecutius de petit a gran, ho fas de gran a petit?

A partir de diverses tries de quaternes de nombres consecutius l'alumnat podrà observar que:

• el resultat de la primera operació sempre és el doble del nombre que hi ha a la segona targeta
• el resultat de la segona operació sempre és zero
• el resultat de la tercera operació sempre és el doble de l'oposat del nombre que hi ha a l'última targeta

També podran concluoure que aquestes observacions són vàlides tant quan els quatre nombres consecutius s'ordenen de forma ascendent com a descendent (encara que no si no s'ordenen). 

A l'igual que en la primera tasca, quan els alumnes ja compten amb els primers coneixements sobre manipulació d'expressions algebraiques, aquestes observacions són fàcilment justificables.

Es poden complementar aquestes preguntes amb altres del tipus: què passaria si canviem nombres consecutius per senars consecutius? què passaría si en els cercles de color taronja hi ha altres disposicions de signes de suma i resta? o com descriuries el patró que compleixen els resultats de les següents seqüències:

• Seqüència 1 
• Etapa 1: 1 – 2 = ... 
• Etapa 2: 1 – 2 + 3 = ... 
• Etapa 3: 1 – 2 + 3 – 4 = ... 
• ...
• Seqüència 2 
• Etapa 1: 1 – 3 = ... 
• Etapa 2: 1 – 3 + 5 = ... 
• Etapa 3: 1 – 3 + 5 – 7 = ...
• ...

3) Targetes numèriques

Tria algunes d’aquestes 8 targetes i suma-les. Quins resultats pots obtenir?

Aquesta tasca proposada per Don Steward al post "Matter and antimatter" es pot complementar preguntant a l'alumnat si podrien trobar altres valors positius per a les targetes verdes i negatius per a les taronges de manera d'obtenir un rang de nombres consecutius més extens que l'aconseguit amb els valors proposats inicialment (tots els nombres del rang [-60,20] admetent que es poden obtenir el 0 quan no es tria cap targeta).

Algunes tasques per treballar amb funcions de 1r i 2n grau

Hem triat les tasques considerant la importància que donem a l'etapa de secundària obligatòria a la traducció entre els diferents llenguatges en que pot aparèixer representada una funció: algebraic, numèric i gràfic

Tasca 1:
En la taula de dos files que representa una funció de primer grau es troben els nombres 1, 2, 3 i 4. Quines són les possibles funcions representades?

Les taules que donen lloc a nou funcions diferents

Les fórmules i les gràfiques associades

En aquesta piulada trobareu una tasca semblant:

I en aquesta altra del John Rowe una idea que dona lloc a tres propostes del tipus: "Col·loca els nombres de l’1 al 9 en cada cel·la perquè les rectes siguin concurrents"

Cadascun dels quals té diverses solucions:
  

Tasca 2:

a) Connecta cada gràfic amb la targeta que li correspongui entenent que f(x)=ax²+bx+c

Treballs de dos alumnes de 4t d'ESO que deixen clar amb els seus errors que la tasca no és innocent

b) Dissenya un exercici anàleg a l’anterior per a funcions de primer grau i resol-lo

Proposta d'un alumne de 4t d'ESO (amb aspectes millorables més enllà
de la polidessa i de l'ús d'un regle) incloent l'opció d'un paràmetre 0 

Proposta alternativa

Tasca 3:
Classifica les següents funcions representades algebraicament segons diferents criteris

Invitem als alumnes a que estableixin criteris que no es restringeixen a l'ús de la informació donada de manera directa pels valors del paràmetres de l'expressió algebraica. Pretenem que plantegin criteris que requereixin representar les funcions gràficament. Per exemple:

• posició del vèrtex: als quadrats I, II , III i IV o als eixos
• quadrants que travessa el gràfic: dos, tres o quatre 
• ...

En la mateixa línia, podriem proposar altres tasques que posen el focus en les característiques de les funcions de 1r i 2n grau:

• Qui és l'intrús?

Proposta extreta de WODB i resolta per una alumna de 4t d'ESO durant una prova

• Semblances i diferències:

Proposta extreta de Same or Different?

            En ensenyar aquesta imatge pretenem que apareguin arguments d'aquest estil:

• En els dos casos el gràfic de la funció talla a l'eix vertical al punt (0,4) i a l'eix horitzontal en el punt (2,0)
• En un cas, el gràfic de la funció té punts en els quatre quadrants mentre que a l'altra, el gràfic no té punts amb ordenada negativa
• En els dos casos l'expressió algebraica de la funció té un coeficient negatiu i els altres dos positius
• ... 

Nombres irracionals i materials manipulatius

Òbviament els materials manipulatius tenen un lloc a les aules de l'ESO, també a les de 3r i 4t. les tasques que presentem en aquest post tenen com a finalitat il·lustrar aquesta possibilitat.

Tangrams

Si considerem que el costat del quadrat mesura 1, podem classificar els costats de les set peces segons tinguin longituds enteres o racionals

I a partir d'aquí podem fer-nos preguntes del tipus: 

• quin són els polígons formats per peces del Tangram que tenen tots els seus constats enters?
• hi ha uns quants quadrilàters 

Rectangles de perímetre 4, 6, 8, 10 i 12

• però també altres polígons amb una quantitat parell de costats (a la imatge següent veiem una mostra d'hexàgons, octàgons i decàgons) 

• i tots els seus costats irracionals?

Hi són tots?

Font: capítol 4 del llibre Time Travel and Other Mathematical Bewilderments del Martin Gardner.

Val a observar que si considerem que la mida dels costats del quadrat gran és 1, val la classificació feta simplement variant el fet que ara el vermell indica "irracional" i el blau "racional".

Pattern Blocks 
Tal com ja vam comentar en el post Pattern Blocks del blog d'Applets del Puntmat, les sis peces diferents que hi ha en aquest material es poden classificar en dos grups:

• D'una banda el triangle, el trapezi vermell (que equival a tres triangles), el rombe blau (que equival a dos triangles) i l'hexàgon (que equival a sis triangles) i 
• D'altra banda, el quadrat i el rombe de color molt clar, que no podem posar en correspondència amb el triangle com les peces de l'altre grup però sí que podem relacionar entre elles (tal com es veu en la imatge, un quadrat equival a 2 rombes clars)

https://apps.mathlearningcenter.org/pattern-shapes/

Aquesta classificació no és arbitrària. Si considerem que els costats de les sis peces sempre mesuren 1 unitat, les àrees del quadrat i el rombe de color clar són nombres racionals (respectivament 1 i 1:2) però les àrees del triangle, trapezi vermell, rombe blau i hexàgon són nombres irracionals (respectivament: √3:4, 3√3:4, √3:2 i 3√3:2).

Aquestes relacions ens permeten deduir que l’àrea del dodecàgon de costat 1 és 6+3√3 (12 triangles verds i 12 rombes de color clar) i la imatge següent ens permet observar que aquest valor coincideix amb l'àrea de 3 quadrats que tenen per costat el radi del dodecàgon. Aquest radi coincideix amb la mida de la diagonal major de la peça clara: √(2+√3)

Teniu molta més informació sobre aquest material manipulatiu a la presentació de M. Àngels Portilla i Dani Ruiz al C2EM 2016: Pattern Blocks: tot un ventall de possibilitats a l'aula

Puig Blocs

El Pere Puig Adam al capítol “Iniciación al cálculo con irracionales cuadráticos” del seu llibre “Didáctica Matemática Eurística” (1956) parla de les peces d'un joc anomenat ROMBO que els amics del Grup Cúbic ens han donat a conèixer com a #puigblocs (peces amb forma de triangle rectangle isòsceles i rombe, angles interiors 45º, 45º i 90º i 45º, 135º, 45º i 135º, perímetres 2+√2 i 4, àrees 1/2 i √2/2 respectivament)

Font: www.todocoleccion.net

La gent del Creamat les va construir amb la seva impressora 3D i així van formar un mosaic amb el qual el Puig Adam va mostrar que (4+2√2)² = 24+16√2 (48 peces triangulars i 32 rombes, la totalitat de peces que conté cada capsa)

Aquesta idea permet visualitzar diferents productes de nombres irracionals. O com diu l'Anton Aubanell en Materials per a construir mosaics... i matemàtiques! (NouBiaix, 36): "la geometria i els nombres tenen aquí una esplèndida trobada!"

Per exemple: (1+√2)(2+√2) = 4+3√2

O (4+√2)² = 18+8√2 com es veu en aquesta imatge promocional d'un altre joc: 

Font: http://aliexpress.com

Amb aquestes també peces es poden construir octàgons regulars i deduir que l'àrea de l'octàgon de costat 1 és 2+2√2.

Teniu molta més informació sobre aquest material manipulatiu i la seva relació amb els Pattern Blocks a la presentació del Grup Cúbic a la seva primera jornada anual: Mostra de l’activitat del mosaic de Puig Adam i generalització a Pattern Blocks

Geoplans 

Les tasques relacionades amb irracionals i els geoplans de trama quadrada són moltes

• podem donar sentit visual a igualtats del tipus √2 + √2 = √8

Aprender a enseñar matemáticas en la educación secundaria obligatoria
(Calvo, Deulofeu, Jareño & Morera, 2016)

• podem preguntar-nos quines longituds es poden representar sobre un geoplà
• la resposta depèn de la mida del geoplà (per exemple en un geoplà de 3x3 com el que apareix en la tasca anterior, les longituds representables són 1, 2, √2, √5 i √8)
• en un geoplà "infinit" les longituds representables són els múltiples d'1, √2, √5, √8, √10, √13, √17, √18 ... √x quan x és la suma de dos nombres quadrats

• sabem pel Teorema de Pick que l'àrea de tot polígon que es pugui representar en aquests geoplans és un nombre racional (més precisament, un enter o un enter més 1/2) i aquest fet ens permet deduir que en aquests geoplans no es poden construir 
• triangles equilàters 
• imaginem per un moment que fos possible fer un d'aquests triangles de costat r. L'àrea d'un triangle equilàter de costat r és √3/4·r². Sabem que r només pot ser múltiple de √x sent x la suma de dos nombres quadrats. Per tant, r² seria un nombre enter i √3/4·r² seria un nombre irracional. Ja hem dit que totes les àrees de triangles representats en aquests geoplans són racionals, per tant, era impossible la suposició feta
• octàgons regulars
• ja hem vist que l'àrea de l'octàgon de costat 1 és 2(1+√2), o sigui, que l'àrea de l'octàgon de costat r és 2r²(1+√2), sempre irracional i per tant impossible en un geoplà de trama quadrada
• dodecàgons regulars
• també impossible atenent al fet que, com hem vist més a dalt, l’àrea del dodecàgon de costat r és 3r²(2+√3).

Triangles no equilàters (un d'ells ni tan sols és isòsceles)

• altres propostes que podem plantejar sobre geoplans:

https://twitter.com/raulf/status/619990253806469120

https://twitter.com/CcBcnMvd/status/723916677935730689

Pràctica productiva: restes (4)

A partir de que els alumnes sàpiguen fer restes en el rang 0-100 els podem presentar aquesta tasca, inspirada en "Monty the Python" una tasca publicada per l'ATM a "Rich Task Maths 1" (2011): "Hem dibuixat cinc serps sobre la graella del 100. La longitud d'una serp es calcula comptant quantes cel·les ocupa i el seu pes, fent la diferència entre els nombres que estan al cap i a la cua de cada serp. Les cinc serps dibuixades tenen longitud 7 però, quant pesa cadascuna?" 

Encara que no és imprescindible diferenciar els dos extrems, per simplificar la comunicació direm que el cap és, dels dos extrems, el que conté el menor nombre i el cap, l'altre.

No hi ha misteri en el càlcul del pes de les serps rosa, taronja, verda o groga. El problema es presenta al moment de calcular el pes de la serp blava: el cap és el 18, però quina és la cua? el 29? el 38? el 40?. Els tres nombres poden ser la cua!! i aquí tenim la primera oportunitat per plantejar un repte als alumnes: trobar totes les serps que s'amaguen en aquesta imatge blava i els seus pesos.

Tres serps de formes diferents però amb la mateixa "silueta"

Atenent a aquesta distinció entre forma i silueta podem demanar maneres de representar una serp perquè no quedi dubte de com és la seva forma ni on està ubicada. Per exemple, la primera de les tres serps de l'última imatge podria representar-se així: 18, 28, 38, 39, 40, 30, 29.

Però hi ha moltes més preguntes amb les que podem enriquir aquesta activitat: 

• Pensant en serps de longitud 7 podem preguntar-nos: quant pesen les serps més pesants? quina forma tenen? Però és molt més interessant pensar en les serps més lleugeres... Totes les serps de pes 60 tenen la mateixa forma (la de la serp rosa de la imatge inicial) però les serps de pes 2 poden tenir formes molt diferents. A continuació aprofitem un applet de math_bot per ensenyar serps de longitud 7 i pes 2 però amb diferents siluetes: 

• Com canvia el rang de pes de les serps en funció de la seva longitud? Aquesta taula fa intuir interessants patrons i provoca fer-se noves preguntes (què més podem demanar a una taula?)

Aquesta taula substitueix una altra que els companys del 

CEIP Sant Jordi de Palma van detectar que contenia errades:

el pes mínim d'una serp de longitud senar pot ser 1!

Aquí es veu una serp de longitud 11 i una 

altra de longitud 33, totes dues de pes 1.

• Si 26 és el cap d'una serp de longitud 5, on pot estar la seva cua?

Observar que el fet d'haver fixat que el cap és l'extrem amb
menor valor evita que les solucions d'aquesta pregunta
incloguin als nombres 24, 22, 19, 17, 15, 13, 8, 6 i 4  

• Quins són tots els pesos possibles per a les serps de longitud 6? Sabem que el pes mínim és 1 i el màxim és 50 però quins valors entre 1 i 50 són efectivament pesos de serps de longitud 6?

Podem començar pensant on pot estar la cua d'una serp de longitud 6, que tingui el cap, per exemple al 5 i a partir d'allí pesar les serps per ariibar a que els pesos possibles són 1, 3, 5, 6, 8, 10, 12, 14, 17, 19, 21, 23, 28, 30, 32, 39, 41 i 50!! 

Observar que aquí no perdem solucions per demanar que el cap tingui un valor
més petit de la cua (perdem serps, per exemple, 5-15-25-24-14-4, però no perdem
pesos possibles ja que ja tenim una serp de pes 1: la que té el cap al 5 i la cua al 6)

Però això només és l'inici. Se'ns obre un ventall enorme de preguntes que encara no ens hem fet: quina és la serp més llarga que no toqui a cap nombre parell? i a cap primer? i a cap quadrat?

Una serp de longitud 19 que no toca cap múltiple de 3

Pràctica productiva: equacions de primer grau

Encara que ja havíem fet posts amb tasques que promoguessin la resolució d'equacions de segon grau o la resolució de sistemes de dos equacions de primer grau amb dues incògnites en un ambient de resolució de problemes, encara no havíem proposat tasques semblants per un tipus d'equacions que proposemb amb anterioritat als alumnes: les equacions de primer grau.

Els dos primers exemples s'inspiren en la proposta de @colinfoster77 a "Expression Polygons" i el tercer exemple, en la proposta de @openmiddle "Solving Equations with Variables on Both Sides"

TASCA 1:

a) Escriu sobre cada segment negre la solució de l'equació que resulta d'igualar els dos quadres associats a aquest segment. Què observes?

Als alumnes que no troben dificultats en aquesta primera part de la tasca els podem plantejar preguntes com aquestes:

• què passa amb les solucions si multipliques per 10 els termes independents de les quatre expressions? 
• i si els valors multiplicats són els coeficients del terme de primer grau?
• i si a cadascuna de les expressions li sumes el coeficients del terme de primer grau?

Després d'haver treballat amb aquestes preguntes, o altres de semblants, poden fer front a un repte com el següent:

b) Què expressions escriuries en els quadres per obtenir els sis primers nombres parells? I per obtenir 6 números de dues xifres consecutius?

TASCA 2: 

Tria tres nombres enters diferents i col·loca cadascun al lloc d'una de les estrelles Escriu sobre cada segment negre la solució de l'equació que resulta d'igualar els dos quadres associats a aquest segment. Fes-ho per diferents ternes de nombres inicials. Què observes?

El primer que observen els alumnes és que en ocasions els tres nombres que han d'escriure són el mateix i en la resta d'ocasions els tres nombres són diferents. Aquí, podem guiar-los per concloure que és impossible que en dos segments el valor coincideixi i en el tercer no com a conseqüència de la propietat transitiva de les igualtats. Però no els resulta fàcil veure quina relació tenen els tres nombres entre sí quan són diferents: un d'ells és la mitjana dels altres dos. En aquests casos, creiem que és bona idea suggerir-los que representin els tres nombres sobre una línia numèrica i allí podran observar que un dels tres nombres equidista dels altres dos. 

Quan vam proposar aquesta tasca a alumnes de #eso3sdk van trobar la mateixa dificultat per concloure que una de les solucions és la mitjana de les altres dos però un dels grups a partir de tres casos van arribar a una formulació molt propera:

TASCA 3:

a) Si omplim les cel·les amb nombres naturals diferents entre 1 i 9, quines solucions enteres es poden obtenir? I si no exigim que siguin enteres, quantes solucions diferents es poden obtenir?

b) Omple les cel·les amb nombres naturals diferents entre 1 i 9 perquè la solució sigui el més propera possible a √2

En relació a la primera pregunta del primer apartat, els alumnes hauran de veure que es poden obtenir com a solució qualsevol nombre enter entre -8 i 8 exceptuant el 0. Però si volen comptar totes les solucions diferents que existeixen han d'organitzar molt bé la feina:

• Una de les solucions és 1 que es pot aconseguir a partir de moltes equacions diferents (per exemple: 5x+7=4x+8) 
• Hi ha vint solucions més grans que 1: 8, 4, 8/3, 8/5, 2, 4/3, 7, 7/2, 7/3, 7/4, 7/5. 7/6 6, 3, 3/2, 6/5 5, 5/2, 5/3, 5/4, 
• aquestes fraccions les hem obtingut combinant els nombres1 a 8 per fer de numerador o denominador, però en aquest sentit, val a observar que 8/7 no és una solución possible a pesar de que el numerador i el numerador són números entre 1 i 8 
• Hi ha vint solucions entre 0 i 1 que són les inverses de les solucions més grans que 1 llistades abans
• Hi ha 41 solucions negatives que són les oposades de les 41 solucions positives esmentades abans 
• En total tenim 82 solucions diferents

També es pot preguntar directament, quina és la menor solució positiva que es pot obtenir. Així ho va plantejar l'Ainhoa L. als seus alumnes:

Zona verda "hi ha una única manera d'aconseguir el nombre més gran"
Zona rosa: "hi ha moltes maneres d'aconseguir el nombre més petit"

En relació a l'últim apartat poden veure que encara que cap d'aquestes equacions té un valor irracional com a solució, n'hi ha algunes que tenen solucions properes a √2:

• 8x+1=2x+9 té solucó 1.333... 
• 7x+1=5x+4 té solució 1.5
• o l'òptima: 7x+1=2x+8 que té com a solució 1.4

TASCA 4

Amb els coeficients (1,3,5,8) s'obtenen 12 solucions: 2/7, 2/3, 4/5, 5/4, 3/2, 7/2 i els seus sis oposats. Clarament (1,3,5,8) no és l'única quaterna de coeficients que dona lloc a 12 solucions racionals però no enteres, per exemple (2,4,6,9) dóna lloc a les mateixes solucions racionals però (1,3,6,9) dona lloc a "altres" 12 solucions no enteres: 3/8, 2/3, 5/6, 6/5, 3/2, 8/3 i els seus sis oposats (3/2 i -3/2 es repeteixen en els dos casos). Però la gran majoria de quaternes de dígits diferents sí que donen lloc a solucions enteres. Per exemple,

• (1,2,3,6) dona lloc a 12 solucions: 2, 3, 5, els seus inversos i els seus oposats, per tant, 6 solucions enteres que representen un 50% del total. 
• (1,2,3,8) dona lloc a 12 solucions: 3, 5, 7, els seus inversos i els seus oposats, per tant, també 6 solucions enteres que representen un 50% del total
• (1,2,3,4) dona lloc a 6 solucions diferents: 1, 3, els seus inversos i els seus oposats, per tant 4 solucions enteres que representen un 66,7% del total. 
• ...

Font: tasca 25 del document The Proving Ground – an introduction to mathematical proof